专题07 相交线、平行线与平移（原卷版讲义）

这是一份专题07 相交线、平行线与平移（原卷版讲义），共25页。试卷主要包含了 垂线，5B．4等内容，欢迎下载使用。

知识点1：相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
知识点2：对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现
在相交直线中，一个角的邻补角有两个．
邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
知识点3：垂线与垂线段
1. 垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
2．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
3．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
知识点4：同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
知识点5：平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
知识点6：平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
注意：平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
注意：平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
知识点7：平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
知识点8：平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
知识点9（补充）：平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
知识点10：平移
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
注意：（1）平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
（2）确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
2．平移的性质
（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质：
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
3．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
4．利用平移设计图案
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
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题型归纳
【题型1 相交线】

1．（2023春•无为市期中）按下列语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，且直线、、两两相交，下列图形符合题意的是
A．B．
C．D．
2．（2023春•埇桥区校级期中）同一平面内有四条直线，最多有个交点，最少有个交点，那么
A．1B．6C．8D．4
3．（2023春•萧县校级月考）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是 个．
A．3个B．1或3个C．1或2或3个D．0或1或2或3个
【题型2 对顶角、邻补角】
4．（2024春•砀山县月考）下列各图中，和是对顶角的是
A．
B．
C．
D．
5．（2024春•淮南月考）若与是对顶角，与互补，且的余角为，那么的度数为 ．
6．（2023秋•太湖县期末）如图，直线，相交于点，平分，平分，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
7．（2024春•太和县月考）如图，直线，相交于点，平分，．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，求的度数．
【题型3 垂线】
8．（2024春•淮南月考）如图，直线，交于点，射线且平分，若，则
A．B．C．D．
9．（2024春•庐江县期中）过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是
A．B．
C．D．
10．（2024春•芜湖期中）已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是，则这两个角的度数分别是 ．
11．（2023秋•凤阳县期末）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，则 （用含的式子表示）
（2）若，，则 ．
【题型4 垂线段最短】
12．（2024春•芜湖期中）如图，在同一平面内，，，垂足为，则与重合的理由是
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．已知直线的垂线只有一条
13．（2023春•宿州期中）如图，点是直线外一点，过点作于点，在直线上另取一点，使，点为直线上任意一点，连接．若，则线段的长不可能是
A．5.5B．4.5C．3.5D．2.5
14．（2023春•砀山县校级期末）如图，已知，，垂足分别是，，则下列线段大小关系不成立的是
A．B．C．D．
15．（2021春•淮南月考）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由 ．
【题型5 点到直线的距离】
16．（2024春•太和县月考）下列图形中，线段的长能表示点到直线的距离的是
A．B．
C．D．
17．（2023春•砀山县校级期中）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论中正确的是
①线段的长度是点到直线的距离；②线段的长度是点到直线的距离；③在，，三条线段中，最短；④线段的长度是点到直线的距离
A．①②③B．③④C．①③D．①②③④
18．（2024春•无为市期中）如图，，，则点到直线的距离是线段
A．的长B．的长C．的长D．的长
19．（2023春•砀山县期中）如图所示，，，则下列结论中：①；②与互相垂直；③线段的长度是点到的距离；④，其中正确的个数为
A．0个B．1个C．2个D．3个
【题型6 同位角、内错角、同旁内角】
20．（2024春•砀山县月考）如图所示，下列说法中，错误的是
A．与是同旁内角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同位角
21．（2024春•庐江县校级月考）如图所示，和是
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
22．（2023春•淮北期末）如图，下列结论中错误的是
A．与是同旁内角B．与是内错角
C．与是内错角D．与是同位角
【题型7 平行线】
23．（2023春•萧县校级月考）下列说法正确的是
A．不相交的两条线段是平行线
B．不相交的两条直线是平行线
C．不相交的两条射线是平行线
D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
24．（2022春•宣州区校级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是
A．平行B．相交C．垂直D．平行或相交
【题型8 平行公理及推论】
25．（2023春•芜湖期末）下列结论正确的是
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．不相交的两条直线必平行
26．（2024春•砀山县月考）对于下列说法，正确的是
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．测量孙浩的跳远成绩，正确做法的依据是“两点之间，线段最短”
D．不相交的两条直线叫做平行线
27．（2023春•凤台县期中）下列说法错误的个数是
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型9 平行线的判定】
28．（2024春•埇桥区校级期中）如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件有
A．①②B．②③C．①④D．③④
29．（2024春•庐江县校级月考）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是
A．B．C．D．
30．（2024春•无为市月考）如图所示，于点，于点，，．求证：．
31．（2024春•黄山期中）完成下面的解答．如图，，平分．．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）与的位置关系如何？为什么．
解：（1）．理由如下：
（已知），
（邻补角的定义），
，
．
（2），理由如下：
平分（已知），
，
又（已知），
即，
，
．
【题型10 平行线的性质】
32．（2024•安徽三模）如图，已知直线，点，在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的度数为
A．B．C．D．
33．（2024•临泉县校级三模）一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则
A．B．C．D．
34．（2024•新城区校级二模）如图，已知直线，在中，，则图中与互余的角有
A．1个B．2个C．3个D．4个
35．（2024春•淮南月考）如图，，一块三角板的两个顶点分别落在、上，且，则的度数为
A．B．C．D．
36．（2024春•凤台县月考）如图，将长方形纸片沿翻折，点、的对应点分别是点、．若，则的大小是
A．B．C．D．
37．（2024春•庐江县校级月考）如图，，，．
（1）求的度数；
（2）在直线上取一点，使得，求的度数．
【题型11 平行线的判定与性质】
38．（2024春•庐江县期中）如图，下列判断中错误的是
A．，B．，
C．，D．，
39．（2024春•淮南月考）填空并完成以下证明：
如图，于点，于点，，，求证：．
证明：，（已知），
垂直定义 ，
，
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
，
，
（已知），
．
40．（2022春•宣州区校级期中）如图，，平分，与相交于，．求证：．
41．（2024春•太和县月考）如图，点在射线上，点在射线上，，．求证：．（要求每步写出推理依据）
42．（2024春•无为市月考）如图，已知，，，．
（1）判断和的位置关系，并说明理由；
（2）若平分，，求和的度数．
【题型12 生活中的平移现象】
43．（2023春•淮南期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是
A．B．C．D．
44．（2024春•淮南月考）“友谊宾馆”在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米50元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需 元．
45．（2024春•庐江县校级月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为 平方米．
【题型13 平移的性质】
46．（2024春•庐江县期中）如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法：①；②；③；④平移距离为线段的长．其中说法正确的有
A．①②B．①③C．①④D．②④
47．（2024春•庐江县期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为
A．B．C．D．
48．（2024春•田家庵区校级期中）如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ．
49．（2024春•林州市月考）如图，将一个正方形，第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右平移连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色，，则第次平移后所得到的图案中正方形的个数是 ．
【题型14 作图-平移变换】
50．（2024春•无为市月考）三角形在网格（每个小方格的边长均为1个单位长度）中的位置如图所示，请根据下列提示完成作图：将三角形先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到三角形，试画出三角形；
51．（2024春•庐江县期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点的坐标是，现将三角形平移，使点平移到点处，，分别是，的对应点．
（1）画出平移后的三角形（不写画法）；
（2）若将点向右平移个单位长度到点，使得三角形的面积等于3，求的值．
52．（2024春•无为市期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△，点，，的对应点分别为，，．
（1）写出，的坐标；
（2）在图中画出平移后的△；
（3）求△的面积．
【题型15 利用平移设计图案】
53．（2024春•淮南月考）2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在杭州举行，杭州会徽的标志如图所示，以下通过平移这个标志得到的图形是
A．B．
C．D．
54．（2024春•凤台县月考）每年的5月8日是世界微笑日，在对别人的微笑中，你也会看到世界对自己微笑起来．下列图案是由图中所示的图案平移得到的是
A．B．
C．D．
55．（2023春•歙县月考）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是
A．B．
C．D．
过关检测
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，，，点，，在同一直线上，则的度数为
A．B．C．D．
2．（2022春•太和县期末）如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是
A．两点之间线段最短B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
3．（2024春•泗县期中）如图，下列条件中，不能判断直线的是
A．B．C．D．
4．（2022春•镜湖区校级期中）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是
A．B．C．D．
5．（2024春•无为市期中）如图，过四边形的顶点作交的延长线于点，连接、，下列说法正确的是
A．和是同位角
B．若，则
C．线段是、两点间的距离
D．线段、、中，最短，理由是两点之间，线段最短
6．（2022秋•大观区校级期中）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于
A．B．C．D．
7．（2022春•定远县校级期末）如图，在中，，直线，，分别经过的顶点，，，且，若，则的度数为
A．B．C．D．
8．（2024春•埇桥区期中）如图，三角形沿方向平移得到三角形，，，则平移的距离为
A．2B．3C．5D．7
二．填空题（共7小题）
9．（2023春•宣城期末）已知的两边与的两边分别垂直，且比的3倍少，则 ．
10．（2023春•淮南期中）如图，同一平面内的三条直线交于点，，，则与的位置关系是 ．
11．（2022春•田家庵区期末）如图，直线，被直线所截，，请写出能判定的一个条件： ．
12．（2024春•埇桥区校级期中）如图，的边的延长线交于点，且．若，，则 ．
13．（2023春•淮北期末）如图，已知，，则 ．
14．（2023春•肥东县校级期中）如图，是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿方向平移得到．如果，，，则图中线段为 ．
15．（2023春•金安区校级期末）将沿射线方向平移到的位置（点在线段上），如图，若，，则平移的距离是 ．
三．解答题（共2小题）
16．（2022春•定远县期末）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
求证：（1）；
（2）．
17．（2023秋•太湖县期末）
（1）【问题】如图①，为平角，、分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角；
（2）【拓展】如图②，，射线是内部任一射线，射线、分别平分、，则的大小为 （用含字母的代数式表示）；
（3）【应用】如图③，，，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分、，分别交射线于点，．求与的差．
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满分技法
用完全平方公式计算时，首先要确定是用“和的完全平方公式”还是用“差的完全平方公式”，然后根据选择的“和”或“差”确定公式中的“a”和“b”,最后选择对应的公式计算即可.
满分技法
寻找对顶角时，要看两角是否满足三个条件:①是由两条相交直线形成，②是有公共顶点，③是两个角的两边分别互为反向延长线。若三个条件均满足，则这两个角是对顶角，否则不是对顶角.
满分技法
垂线的基本事实：在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
基本事实中的“一点”可以在直线上，也可以在直线外;性质中的“一点”必须在直线外.
“有且只有”中,“有”表示存在性,“只有”表示唯一性.
线段、射线与某一条直线互相垂直，是指线段、射线所在直线与该直线互相垂直.
满分技法
垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段(连接直线外一点与垂足形成的线段)最短
垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度.
要善于利用垂线段的性质解决类似有关路程线段最短的问题，注意其与“两点之间,线段最短”的区别.
满分技法
垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位.
判断最短、最近问题的两依据：①两点之间,线段最短;②在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短.
满分技法
同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系.
(2)同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，都没有公共顶点，但都有一条边在同一条直线上.
满分技法
(1)平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线.
(2)线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行.
(3)判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定.
满分技法
（1）平行线的基本事实：经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线
（2）推论：如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线平行.即如果直线a//c,b//c,那么直线a//b.
（3）在叙述基本事实时，一定要强调“直线外一点”,否则不存在平行线.“有且只有”中的“有表示存在性，“只有”表示唯一性.
(4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内”.
满分技法
(1)三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”.
(2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系.
(3)判定两直线平行,还可用平行线的概念、平行线的基本事实的推论及拓展中补充的方法来进行.
满分技法
(1)平行线的性质存在的前提条件是两条平行线被第三条直线所截.
(2)“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，内错角相等”提供了两种证明角相等的思路.
满分技法
在应用平行线的性质和判定解题时，关键是看清楚题目中的平行关系是作为条件还是作为结论:若已知平行线，则用平行线的性质;若要得到平行线，则用平行线的判定
满分技法
(1)图形平移是整个图形都在平移，而不是局部平移.
(2)平移的方向可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定的方向平移，只要是沿直线移动即可.
满分技法
一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等
平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小
满分技法
确定一个图形平移后的位置的三个条件：
(1)图形原来的位置;(2)平移的方向;(3)平移的距离.三个条件缺一不可,因为只有这样,平移后的图形才唯一确定.
方法技巧：两法定平移法
方法1:根据平移的定义，看它的形状、大小是否发生变化，位置是不是通过沿某一直线方向移动改变的.
方法2:根据平移的性质，即看各组对应点所连的线段是否平行(或在同一条直线上)且相等.
满分技法
图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小。