专题02 一元一次不等式（组）（原卷版讲义）

这是一份专题02 一元一次不等式（组）（原卷版讲义），共16页。

知识点1：不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
知识点2：不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
知识点3：不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
知识点4：在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
知识点5：一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
知识点6：解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
知识点7：一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
题型归纳
【题型1 不等式的定义】
1．（2023春•埇桥区期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你认为其中是不等式的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023春•埇桥区校级期中）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2023春•亳州期末）八年级（1）班生物兴趣小组在恒温箱中培养甲，乙两种菌种，甲种菌种生长的温度在之间，乙种菌种的生长温度在之间，那么恒温箱的温度应该设定在范围
A．B．C．D．
4．（2023春•庐阳区校级期中）老师和同学们玩猜数游戏．老师在心里想一个100以内的数字，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错．甲问：“小于50吗？”老师摇头．乙问：“不大于75吗？”老师点头．丙问：“不小于60吗？”老师点头．老师心里想的数字所在的范围为
A．B．C．D．
5．（2023春•宣城期中）据气象台预报，2021年6月某日我区最高气温，最低气温，则当天气温的变化范围是
A．B．C．D．
【题型2 不等式的性质】
6．（2023春•泗县期末）如果，那么下列各式中一定正确的是
A．B．C．D．
7．（2023春•砀山县校级期中）下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
8．（2023春•花山区校级期中）若，则下列式子中正确的是
A．B．C．D．
9．（2024春•庐阳区校级期中）若，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
10．（2024春•庐江县校级期中）已知实数，满足，，则下列结论不正确的是
A．B．C．D．
11．（2024春•瑶海区校级期中）若，则下列不等式正确的是
A．B．C．D．
【题型3 不等式的解集】
12．（2023春•桐城市期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为
A．B．C．D．
13．（2023春•界首市期末）下列各数，是不等式的解的是
A．B．C．1D．3
14．（2023春•庐江县期末）若不等式组无解，则的取值范围是
A．B．C．D．
15．（2023春•金安区校级期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是
A．B．C．D．
16．（2023春•萧县期中）一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是．
17．（2023春•埇桥区校级期中）若不等式的解集是，则的取值范围是 ．
18．（2023春•砀山县校级期中）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于2的实数，则称这三个代数式构成“礼让不等式”．例如：三个代数式，，有：当时的解集为，则称，，，构成“礼让不等式”．
（1），1，可以构成“礼让不等式”吗？请说明理由；
（2）若，，构成“礼让不等式”，求的值．
【题型4 在数轴上表示不等式的解集】
19．（2023春•芜湖期末）如图，在数轴上表示的的取值范围是
A．B．C．D．
20．（2023春•淮南期末）不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式的解是
A．B．C．D．
21．（2024春•太湖县期中）不等式组的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
22．（2024春•蜀山区期中）如图所示，在数轴上表示为，它的解集是
A．B．C．D．
23．（2023春•天长市校级期中）定义运算：，例如：，若不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是 ．
24．（2023春•阜南县校级期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为 ．
【题型5 一元一次不等式的定义】
25．（2024春•埇桥区期中）下列各式中，是一元一次不等式的是
A．B．C．D．
【题型6 解一元一次不等式】
26．（2024春•埇桥区期中）关于的方程的解是正数，那么的取值范围是
A．B．C．D．
27．（2024春•蜀山区校级期中）不等式的解集是
A．B．C．D．
28．（2024春•金安区校级期中）解不等式：．
29．（2024春•庐阳区校级期中）解不等式：．
30．（2024春•蜀山区校级期中）定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※．
（1）填空：2※ ；
（2）若是一个负数，且满足※，求的取值范围．
31．（2024春•埇桥区校级期中）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【题型7 一元一次不等式的特殊解】
32．（2023春•庐阳区校级期末）不等式的非负整数解有 个．
33．（2023春•蜀山区校级期中）不等式的正整数解有 个．
34．（2023春•瑶海区期末）若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是 ．
35．（2024春•长丰县期中）已知关于的方程的解是不等式的最小整数解，求的算术平方根．
36．（2023春•潜山市期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值．
37．（2024春•太湖县期中）计算：
（1）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围；
（2）若关于的不等式的最小整数解为2，求的取值范围．
【题型8 由实际问题抽象出一元一次不等式】
38．（2024春•太湖县期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，至少可获得的利润，若设该商品的原价是元，则列式正确的是
A．B．
C．D．
39．（2023春•宣州区校级期中）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？如果将该商品打折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是
A．B．
C．D．
40．（2024春•长丰县期中）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，则导火线的长（单位：应满足的不等式为
A．B．C．D．
41．（2023春•霍邱县期中）语句“的与的差不超过3”可以表示为
A．B．C．D．
42．（2023春•宣城期中）北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品件，则能够得到的不等式是
A．B．
C．D．
43．（2024春•安庆期中）“的3倍与2的差不小于9”列出的不等式是 ．
44．（2023春•安庆期末）“与2的差大于”用不等式表示为 ．
【题型9 一元一次不等式的应用】
45．（2024春•大观区校级期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折．
46．（2023春•埇桥区校级期中）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀分或85分以上），则小明至少答对了 道题．
47．（2023春•蜀山区校级期中）小明打算周末与同学一起徒步大蜀山，计划上午8点出发，到最远处后休息，下午5点以前必须回到出发点．如果他们去时的平均速度是，回来时的平均速度是，他们最远能到的距离为 （表示出发点到山顶的路程）．
48．（2024春•太湖县期中）科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“ ”两种产品共100件，需购买价格为30元千克的种材料和价格为20元千克的种材料．通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件“笨笨”需种材料4千克，种材料1千克；
信息2：生产一件“”需种材料3千克，种材料4千克．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）现工厂用于购买、两种材料的资金不能超过15000元，且生产“”不少于30件，请问有哪几种符合条件的生产方案？
（2）在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费60元，生产一件“”需加工费80元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
49．（2024春•埇桥区期中）哈美佳外校为迎接“2023年元旦雪地足球赛”，计划购买品牌、品牌两种品牌号的足球．已知品牌足球比品牌足球单价多10元，若购买20个品牌足球和15个品牌足球需用3350元．
（1）求每个品牌足球和每个品牌足球各多少元；
（2）哈美佳外校决定购买品牌足球和品牌足球共50个，总费用不超过4650元，那么最多可以购买多少个品牌足球？
50．（2024春•庐阳区校级期中）在七年级进行的“知识问答”竞赛预赛中共有20道题．规定每答对一道题得10分，答错或者不答倒扣5分，总得分不少于85分者通过预赛．小李同学通过了预赛，问他至少答对了几道题？
51．（2024春•蜀山区校级期中）为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，我校计划从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，经多方调研，现决定购买品牌篮球和品牌足球共50个，要求采购总费用不超过1.21万元．若甲、乙两商店销售这两种商品的零售价相同，其中篮球每个零售价300元，足球每个零售价200元．
（1）若按照商场零售价直接购买，至多可以买篮球多少个？
（2）为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠方案：甲店篮球按零售价格打8折销售，足球按照零售价格原价销售；乙店按照购买篮球和足球的零售总价格打9折销售；若学校至少采购篮球18个，请你运用所学知识，帮采购人员算一算：我校从哪家商店购买篮球和足球更合算？说说你的理由（按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买）．
【题型10 解一元一次不等式组】
52．（2024春•庐阳区校级期中）解不等式组．
53．（2024春•瑶海区校级期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
54．（2024春•安庆期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
55．（2024春•蜀山区校级期中）解不等式组，并把解集在数轴上标出来．
（2024春•蜀山区校级期中）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【题型11 一元一次不等式组的特殊解】
57．（2021春•马鞍山期末）解不等式组，并写出它的正整数解．
58．（2024春•瑶海区期中）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
59．（2023春•怀宁县期中）解不等式组：，并写出此不等式组的整数解．
60．（2023春•庐阳区校级期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围．
过关检测
1．（2024春•蜀山区校级期中）已知，根据不等式的性质，下列式子不成立的是
A．B．C．D．
2．（2024春•瑶海区校级期中）已知三个实数，，满足，，则
A．，B．，C．，D．，
3．（2024春•蜀山区校级期中）如图表示的是关于的不等式的解集，则的值是
A．0B．C．D．3
4．（2024春•蜀山区校级期中）某超市每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于 元才能避免亏本．
A．4.5B．4.8C．5D．6
5．（2024春•大观区校级期中）已知不等式组的解集为，则的值为
6．（2023春•大观区校级期末）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，则实数的取值范围是 ．
7．（2023春•芜湖期末）将若干只鸡放入若干个笼内，若每个笼里放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放，另有1笼没有放满，那么最多有 只鸡．
8．（2023春•凤台县期末）如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题：
（1）任意写出一个实数，使得该值经过一次运行就能输出结果，则该数为 ；
（2）如果要使开始输入的的值经过两次运行才能输出结果，那么的整数值为 ．
9．（2022春•田家庵区期末）肺炎疫情期间，口罩成了家家户户必备的防疫物品．在某超市购买2只普通医用口罩和3只口罩的费用是22元；购买5只普通医用口罩和2只口罩的费用也是22元．
（1）求该超市普通医用口罩和口罩的单价；
（2）若准备在该超市购买两种口罩共50只，且口罩不少于总数的，试通过计算说明，在预算不超过190元的情况下有哪些购买方案．
10．（2023春•谯城区校级期末）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
（1）问型，型新能源汽车的单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，费用不超过365万元，且型新能源汽车的数量少于型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
11．（2023春•定远县期中）为了提高同学们互助学习的能力，数学老师准备把班里的同学分成几个学习小组．已知班级学生数为奇数，如果每个小组分5人，那么余4人；如果每个小组分6人，那么最后一个小组有人但分到的人数不足3人，求班里共有多少名学生．
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满分技法
判断一个式子是否为不等式的关键是看连接的符号，若连接的符号不是不等号，则式子一定不是不等式.
满分技法
运用不等式的性质3对不等式进行变形时，一定要注意不等号方向要改变.
满分技法
1.不等式解集的两个特征
(1)解集中每一个数值都能使不等式成立;(2)使不等式成立的每一个数值都在不等式的解集中.
2.不等式的解集一般是一个范围，如果这个范围不包括所有使不等式成立的未知数的值，或者这个范围内存在使不等式不成立的值，那么它就不是不等式的解集.
满分技法
1.在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈.
2.在数轴上表示不等式的解集或根据不等式的解集在数轴上的表示来写不等式时，要特别注意两点:(1)准确确定方向和边界点;(2)准确使用不等号.
满分技法
判断一个式子是否为一元一次不等式，要做到两点:
(1)式子需要化简的,先进行化简;
(2)判断是否具备一元一次不等式的三个条件.
只有同时满足上面要求的，才是一元一次不等式.
满分技法
解不等式时的注意事项：
(1)去分母时,每一项都要乘以各分母的最小公倍数，尤其不要漏乘常数项.
(2)去括号时，若括号前面有负号,则括号里的每一项都要变号.
(3)移项时,不要忘记变号.
(4)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向改变.
满分技法
求不等式的特殊解的两种方法方法 ：
方法1:先求出不等式的解集,再在解集中确定符合要求的特殊解.
方法2:运用数形结合思想，把不等式的解集在数轴上表示出来,这样更易于确定不等式的特殊解.
满分技法
解决此类题的关键是从实际问题中获取有用的信息，找出相等和不等关系，把实际问题转化为数学问题.
满分技法
利用不等式解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答.
满分技法
抓住三个关键点,正确解一元一次不等式组：
(1)准确地解出各一元一次不等式;
(2)准确地把各不等式的解集表示在数轴上;
(3)准确地找出各不等式解集在数轴上的公共部分.
满分技法
求不等式组的特殊解的方法：
求不等式组的特殊解时，先求不等式组中各不等式的解集，再求出不等式组的解集,然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解(如正整数解、最小整数解等).为了直观明了，可以借助数轴来找特殊解.