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第21讲 模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型（解析版讲义）
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这是一份第21讲 模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型（解析版讲义），共44页。
模型一：（双）A字型相似模型
①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．
②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；
③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．
模型二：（双）8字型相似模型
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．
③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．
模型三：母子型相似模型
如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当时，，则有．
模型四：手拉手型相似模型
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.
②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示，，则，，且．
模型五：K字型相似模型
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
模型六：三角形内接矩形模型
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。
结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
【题型一 （双）A字型相似】
例1．：如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，
∵，，
∴△AEF∽△ABC；
（2）∵△AEF∽△ABC，
∴∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴,，
∴．
【变式1-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明． 可得，结合，即可得到结论．
【详解】证明：，，
，
，
．
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
【变式1-2】（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使．
(1)说明．
(2)，，求线段AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）由相似得比例，即可求出的长．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式1-3】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，中，已知，点D、F是分别为垂足，．
(1)求证：；
(2)若，直接写出和的周长比．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先判断，可证得，利用内错角相等，两直线平行可证明；
（2）根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，垂足分别为D，F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴和的周长比，
∵，
∴，
∴和的周长比为．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【题型二 （双）8字型相似】
例2.（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A．B．7C．D．8
【答案】C
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
【变式2-1】（2023秋·甘肃白银·九年级校考期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
【变式2-2】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，正方形的边长为3，点在边上，交于点，交于点，交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】由正方形性质，判定、，由相似比得到，即，再由勾股定理求出长即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
在正方形中，，
，
，
，
，
正方形的边长为3，，
，，
，解得，
，
在正方形中，，
，
，
，
，即，
在正方形中，，，则由勾股定理可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及正方形性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【变式2-3】（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【模型启迪】
（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；
【模型探索】
（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；
【模型应用】
（3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【分析】（1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答；
（2）延长至点，使，连接，利用中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明；
（3）延长至点，使，连接，由可知，可得，，进而可得，易得，由相似三角形的性质得，设，表示出，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：延长至点，使，连接，
由（1）同理可得：，
，，
，
，
，
，即，
；
（3）解：延长至点，使，连接，
由（2）可知，，
，，
，
，
设
，，
，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
【题型三 母子型相似】
例3. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
(1)求证：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；
（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．
（1）
证明：如图，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2）
解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
由（1）得
∴∠A =∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．
【变式3-1】如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．
【变式3-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
(1)如图1，在中，是边上一点，连接，若，求证：；
(2)如图2，已知，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理求解即可；
（2）首先证明出，然后利用相似三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
解得
∴．
【点睛】本题考查相似三角形，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
【变式3-3】在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；
（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．
①求证：∠ABC＝∠EAF；
②求的值．
【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②．
【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.
又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，
∴，即，∴AD＝
（2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.
又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.
∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.
②如图，取CE的中点M，连接AM.
在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.
∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，
∴．
【题型四 手拉手型相似】
例4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【详解】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）四边形是正方形，
，，
，
同理可得，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，即，
，
，
，
即正方形的边长为．
【变式4-1】如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（ ）
A．10°B．20°C．40°D．无法确定
【答案】B
【解答】，，，∴，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故选：B．
【变式4-2】（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）【问题呈现】
（1）如图1，和△ADE都是等边三角形，连接．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和△ADE都是等腰直角三角形，，连接．请直接写出的值．
【拓展提升】
（3）如图3，和△ADE都是直角三角形，，且．连接．
①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）；
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，从而得到，由证明，即可得到；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，从而得到，证明，最后根据相似三角形的性质即可得到答案；
（3）由是直角三角形，可得，通过证明得到，从而得到，即可推出，最后由相似三角形的性质即可得到答案；由得，，，得到，由三角形内角和定理和对顶角相等可得，从而得到．
【详解】（1）证明：和△ADE都是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：和△ADE都是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
（3）是直角三角形，，
令，则，
，
和都是直角三角形，，且，
，
，
，
，
，
，
由得，，，
，
，
，，，
，即，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，是解题的关键．
【题型五 K字型相似】
例5. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）CD＝．
【详解】(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD.
(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，
∴EC＝BC－BE＝5－3＝2，
∵△ABE∽△ECD，∴，
∴，∴CD＝.
【变式5-1】（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作交于点．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)的长为
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，根据，可得，由此可得，根据相似三角形的判定即可求解；
（2）由（1）可知，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴．
（2）解： ∵，，
∴，且，
由（1）可知，，
∴，即，解得，，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．
【变式5-2】（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．
【详解】（1）证明：如题图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）结论仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
设，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．
【题型六 三角形内接矩形】
例6. 如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：过点作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=BC=3，
在Rt△ABM中，AM==4，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，∴MN=DE，
设MN=DE=x，
∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，∴，
解得：DG=﹣x+6，
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE=DG，即x=﹣x+6，
解得x=，
∴正方形DEFG的边长为；
（2）由题意得：DN=2DE，
由（1）知：，
∴DE=．
故答案为．
【变式6-1】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．
【答案】
【分析】设交于点，由矩形的边在．上证明，，则，得，其中，，，可以列出方程“解方程求出的值即可．
【详解】解：设交于点，
∵矩形的边在上，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是矩形,
∴，
∵，，
∴，
∴
解得，
∴的长为，
故答案为∶．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
【变式6-2】（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，垂足为D，，四边形和四边形均为正方形，且点E、F、G、N、M都在的边上，那么与四边形的面积比为 ．
【答案】/
【分析】通过证明，可得，可求的长，由相似三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与四边形的面积比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．9C．D．8
【答案】B
【分析】先证，则，，再证明得，即，由此即可求出的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
即，
，
故选：B
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，若，则线段的长为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质，根据勾股定理求出，再证明，进行解答即可．
【详解】解：∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
3．（2024·河南南阳·三模）如图，点，分別是边，的中点，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为( )
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质，根据是的中位线得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案；
【详解】解：∵点，分別是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2024·北京·三模）如图，正方形，，连接，交于点O，并分别与边，交于点F，E，连接，下列结论中正确的结论序号是（ ）
①；②；③；
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据角的和差可得，由此可判断结论①正确；先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，假设，从而可得，然后根据线段垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，根据得出，由此得出矛盾，即可判断结论②错误；先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断结论③正确．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，即，
假设，则，
垂直平分，
，
又在中，，
，这与相矛盾，
则假设不成立，故②错误；
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，故③正确；
即正确的有：①③，
故选：B．
二、填空题
5．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
6．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一块材料的形状是锐角三角形，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，若、、的面积分别为4、6、3，则求这个正方形零件的边长是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出．过点作，交于，设，易证，得，根据三角形的面积求得，，，，，列出方程即可求解．
【详解】解：过点作，交于，设，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵、、的面积分别为4、6、3，
∴，，，
则，，，，，
∴，即：，亦即
解得：（负值舍去），经检验是原方程的解，
∴，
故答案为：．
7．（2024·江苏扬州·二模）如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据四边形为正方形，，得到，，，由，，得到，证明，得到，求得，为中点，又，得，，即得解．
【详解】解： 四边形为正方形，
，，，
，，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，，
，
解得，
，为中点，
又，
，
，
．
故答案为：．
8．（23-24九年级下·四川成都·期中）如果三角形的两个内角的差为，那么称这个三角形为“差直角三角形”．在中，，，，是延长线上一点．若是“差直角三角形”，则的长为 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，分两种情形：当时，则，当时，则，分别进行计算．
【详解】解：如图，
中，，，，
，
是“差直角三角形”，
当时，则，
；
当时，则，
，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
或，
故答案为：3或．
三、解答题
9．（2024·湖南长沙·二模）如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）由，可得，，进而可证．
（2）由，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的长为．
10．（2024·山东潍坊·二模）如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据全等三角形的判定证明，即可得．
（2）结合相似三角形的判定证明，则可得．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
，
，
．
（2）证明：，
，
．
，
，
，
，
，
11．（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．
(1)若，求线段，的长．
(2)若四边形的面积为48，求的面积．
【答案】(1)，
(2)125
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．
（1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形
；
（2），
四边形的面积为48
∵
∴
∴，即
解得．
12．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图1，矩形和矩形共顶点，且绕着点顺时针旋转，满足．
(1)的比值是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出相应的值，并说明理由；
(2)如图2，若点为的中点，且，，连接，求的面积．
【答案】(1)不变化，，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，，根据矩形性质和勾股定理证得，，再证明和，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）连接，，过G作交延长线于F，先证明求得，再由，证明F、C、G、B四点共圆，再利用圆内接四边形的外角性质得到，证明求得，进而求解面积即可．
【详解】（1）解：结论：不变化，．理由为：
如图1，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，则，
设，，则，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接，，过G作交延长线于T，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，又，
∴
∴，
∴，
∵，
∴F、C、G、B四点共圆，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
则．
【点睛】本题属于相似三角形的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，四点共圆、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
13．（2024·湖北荆州·模拟预测）在中，P为边上一点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)已知，M为边上一点．
①如图2，若平分交于点D，，，，求的长；
②如图3，若为边上的中线，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据两组对应角相等的三角形是相似三角形，得，则，即可作答．
（2）①先得出，结合角平分线的定义得，然后证明，则，代入数值计算，即可作答．
②作交延长线于Q，同理证明则，代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∴，
∴
（2）①由（1）可知
即，
∴，
∵平分，
∴，
又∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
②如图，作交延长线于Q，
设，
∵M是中点，
则，
∵，
∴
∵
得：
∴，
∴．
14．（23-24九年级下·甘肃武威·期中）【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．
【初步运用】
（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析
（2）正方形边长为15
（3），理由见解析
【分析】（1）过点作交于点，证明，可得出；
（2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可．
（3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图2，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）如图2，连接，，，
正方形中，，，
，
又，
，
，
由（2）知，
，
是的中垂线，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得，即，
，即正方形的边长为15．
（3），
理由如下：过点作交于点，如图3，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则，，
由勾股定理，得，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，线段 垂直平分线的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
模型一：（双）A字型相似模型
①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．
②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；
③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．
模型二：（双）8字型相似模型
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．
③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．
模型三：母子型相似模型
如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当时，，则有．
模型四：手拉手型相似模型
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.
②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示，，则，，且．
模型五：K字型相似模型
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
模型六：三角形内接矩形模型
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。
结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
【题型一 （双）A字型相似】
例1．：如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，
∵，，
∴△AEF∽△ABC；
（2）∵△AEF∽△ABC，
∴∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴,，
∴．
【变式1-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明． 可得，结合，即可得到结论．
【详解】证明：，，
，
，
．
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
【变式1-2】（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使．
(1)说明．
(2)，，求线段AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）由相似得比例，即可求出的长．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式1-3】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，中，已知，点D、F是分别为垂足，．
(1)求证：；
(2)若，直接写出和的周长比．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先判断，可证得，利用内错角相等，两直线平行可证明；
（2）根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，垂足分别为D，F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴和的周长比，
∵，
∴，
∴和的周长比为．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【题型二 （双）8字型相似】
例2.（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A．B．7C．D．8
【答案】C
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
【变式2-1】（2023秋·甘肃白银·九年级校考期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
【变式2-2】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，正方形的边长为3，点在边上，交于点，交于点，交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】由正方形性质，判定、，由相似比得到，即，再由勾股定理求出长即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
在正方形中，，
，
，
，
，
正方形的边长为3，，
，，
，解得，
，
在正方形中，，
，
，
，
，即，
在正方形中，，，则由勾股定理可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及正方形性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【变式2-3】（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【模型启迪】
（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；
【模型探索】
（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；
【模型应用】
（3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【分析】（1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答；
（2）延长至点，使，连接，利用中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明；
（3）延长至点，使，连接，由可知，可得，，进而可得，易得，由相似三角形的性质得，设，表示出，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：延长至点，使，连接，
由（1）同理可得：，
，，
，
，
，
，即，
；
（3）解：延长至点，使，连接，
由（2）可知，，
，，
，
，
设
，，
，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
【题型三 母子型相似】
例3. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
(1)求证：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；
（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．
（1）
证明：如图，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2）
解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
由（1）得
∴∠A =∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．
【变式3-1】如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．
【变式3-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
(1)如图1，在中，是边上一点，连接，若，求证：；
(2)如图2，已知，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理求解即可；
（2）首先证明出，然后利用相似三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
解得
∴．
【点睛】本题考查相似三角形，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
【变式3-3】在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；
（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．
①求证：∠ABC＝∠EAF；
②求的值．
【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②．
【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.
又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，
∴，即，∴AD＝
（2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.
又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.
∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.
②如图，取CE的中点M，连接AM.
在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.
∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，
∴．
【题型四 手拉手型相似】
例4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【详解】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）四边形是正方形，
，，
，
同理可得，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，即，
，
，
，
即正方形的边长为．
【变式4-1】如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（ ）
A．10°B．20°C．40°D．无法确定
【答案】B
【解答】，，，∴，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故选：B．
【变式4-2】（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）【问题呈现】
（1）如图1，和△ADE都是等边三角形，连接．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和△ADE都是等腰直角三角形，，连接．请直接写出的值．
【拓展提升】
（3）如图3，和△ADE都是直角三角形，，且．连接．
①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）；
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，从而得到，由证明，即可得到；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，从而得到，证明，最后根据相似三角形的性质即可得到答案；
（3）由是直角三角形，可得，通过证明得到，从而得到，即可推出，最后由相似三角形的性质即可得到答案；由得，，，得到，由三角形内角和定理和对顶角相等可得，从而得到．
【详解】（1）证明：和△ADE都是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：和△ADE都是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
（3）是直角三角形，，
令，则，
，
和都是直角三角形，，且，
，
，
，
，
，
，
由得，，，
，
，
，，，
，即，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，是解题的关键．
【题型五 K字型相似】
例5. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）CD＝．
【详解】(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD.
(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，
∴EC＝BC－BE＝5－3＝2，
∵△ABE∽△ECD，∴，
∴，∴CD＝.
【变式5-1】（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作交于点．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)的长为
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，根据，可得，由此可得，根据相似三角形的判定即可求解；
（2）由（1）可知，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴．
（2）解： ∵，，
∴，且，
由（1）可知，，
∴，即，解得，，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．
【变式5-2】（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．
【详解】（1）证明：如题图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）结论仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
设，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．
【题型六 三角形内接矩形】
例6. 如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：过点作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=BC=3，
在Rt△ABM中，AM==4，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，∴MN=DE，
设MN=DE=x，
∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，∴，
解得：DG=﹣x+6，
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE=DG，即x=﹣x+6，
解得x=，
∴正方形DEFG的边长为；
（2）由题意得：DN=2DE，
由（1）知：，
∴DE=．
故答案为．
【变式6-1】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．
【答案】
【分析】设交于点，由矩形的边在．上证明，，则，得，其中，，，可以列出方程“解方程求出的值即可．
【详解】解：设交于点，
∵矩形的边在上，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是矩形,
∴，
∵，，
∴，
∴
解得，
∴的长为，
故答案为∶．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
【变式6-2】（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，垂足为D，，四边形和四边形均为正方形，且点E、F、G、N、M都在的边上，那么与四边形的面积比为 ．
【答案】/
【分析】通过证明，可得，可求的长，由相似三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与四边形的面积比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．9C．D．8
【答案】B
【分析】先证，则，，再证明得，即，由此即可求出的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
即，
，
故选：B
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，若，则线段的长为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质，根据勾股定理求出，再证明，进行解答即可．
【详解】解：∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
3．（2024·河南南阳·三模）如图，点，分別是边，的中点，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为( )
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质，根据是的中位线得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案；
【详解】解：∵点，分別是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2024·北京·三模）如图，正方形，，连接，交于点O，并分别与边，交于点F，E，连接，下列结论中正确的结论序号是（ ）
①；②；③；
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据角的和差可得，由此可判断结论①正确；先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，假设，从而可得，然后根据线段垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，根据得出，由此得出矛盾，即可判断结论②错误；先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断结论③正确．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，即，
假设，则，
垂直平分，
，
又在中，，
，这与相矛盾，
则假设不成立，故②错误；
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，故③正确；
即正确的有：①③，
故选：B．
二、填空题
5．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
6．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一块材料的形状是锐角三角形，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，若、、的面积分别为4、6、3，则求这个正方形零件的边长是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出．过点作，交于，设，易证，得，根据三角形的面积求得，，，，，列出方程即可求解．
【详解】解：过点作，交于，设，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵、、的面积分别为4、6、3，
∴，，，
则，，，，，
∴，即：，亦即
解得：（负值舍去），经检验是原方程的解，
∴，
故答案为：．
7．（2024·江苏扬州·二模）如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据四边形为正方形，，得到，，，由，，得到，证明，得到，求得，为中点，又，得，，即得解．
【详解】解： 四边形为正方形，
，，，
，，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，，
，
解得，
，为中点，
又，
，
，
．
故答案为：．
8．（23-24九年级下·四川成都·期中）如果三角形的两个内角的差为，那么称这个三角形为“差直角三角形”．在中，，，，是延长线上一点．若是“差直角三角形”，则的长为 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，分两种情形：当时，则，当时，则，分别进行计算．
【详解】解：如图，
中，，，，
，
是“差直角三角形”，
当时，则，
；
当时，则，
，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
或，
故答案为：3或．
三、解答题
9．（2024·湖南长沙·二模）如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）由，可得，，进而可证．
（2）由，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的长为．
10．（2024·山东潍坊·二模）如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据全等三角形的判定证明，即可得．
（2）结合相似三角形的判定证明，则可得．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
，
，
．
（2）证明：，
，
．
，
，
，
，
，
11．（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．
(1)若，求线段，的长．
(2)若四边形的面积为48，求的面积．
【答案】(1)，
(2)125
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．
（1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形
；
（2），
四边形的面积为48
∵
∴
∴，即
解得．
12．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图1，矩形和矩形共顶点，且绕着点顺时针旋转，满足．
(1)的比值是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出相应的值，并说明理由；
(2)如图2，若点为的中点，且，，连接，求的面积．
【答案】(1)不变化，，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，，根据矩形性质和勾股定理证得，，再证明和，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）连接，，过G作交延长线于F，先证明求得，再由，证明F、C、G、B四点共圆，再利用圆内接四边形的外角性质得到，证明求得，进而求解面积即可．
【详解】（1）解：结论：不变化，．理由为：
如图1，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，则，
设，，则，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接，，过G作交延长线于T，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，又，
∴
∴，
∴，
∵，
∴F、C、G、B四点共圆，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
则．
【点睛】本题属于相似三角形的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，四点共圆、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
13．（2024·湖北荆州·模拟预测）在中，P为边上一点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)已知，M为边上一点．
①如图2，若平分交于点D，，，，求的长；
②如图3，若为边上的中线，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据两组对应角相等的三角形是相似三角形，得，则，即可作答．
（2）①先得出，结合角平分线的定义得，然后证明，则，代入数值计算，即可作答．
②作交延长线于Q，同理证明则，代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∴，
∴
（2）①由（1）可知
即，
∴，
∵平分，
∴，
又∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
②如图，作交延长线于Q，
设，
∵M是中点，
则，
∵，
∴
∵
得：
∴，
∴．
14．（23-24九年级下·甘肃武威·期中）【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．
【初步运用】
（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析
（2）正方形边长为15
（3），理由见解析
【分析】（1）过点作交于点，证明，可得出；
（2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可．
（3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图2，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）如图2，连接，，，
正方形中，，，
，
又，
，
，
由（2）知，
，
是的中垂线，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得，即，
，即正方形的边长为15．
（3），
理由如下：过点作交于点，如图3，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则，，
由勾股定理，得，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，线段 垂直平分线的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
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