模型构建专题：旋转中的常见模型练习-中考数学专题

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4810" 【典型例题】 PAGEREF _Tc4810 \h 1
\l "_Tc18172" 【类型一 “手拉手”模型】 PAGEREF _Tc18172 \h 1
\l "_Tc32587" 【变式1 等边三角形——等腰直角三角形】 PAGEREF _Tc32587 \h 3
\l "_Tc29916" 【变式2 特殊三角形——矩形】 PAGEREF _Tc29916 \h 12
\l "_Tc8475" 【变式3 特殊三角形——正方形】 PAGEREF _Tc8475 \h 16
\l "_Tc31800" 【类型二 “半角”模型】 PAGEREF _Tc31800 \h 22
【典型例题】
【类型一 “手拉手”模型】
例题：（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）和△ADE都是等边三角形．将△ADE绕点旋转到图①的位置时，连接并延长相交于点（点与点重合），有（或）成立．

(1)将△ADE绕点旋转到图②的位置时，连接相交于点，连接，猜想线段之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(2)将△ADE绕点旋转到图③的位置时，连接相交于点，连接，猜想线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）在上截取，连接，证明和，得，再证明是等边三角形，得，最后由线段的和可得结论；
（2）在上截取，连接，证明和，得，再证明是等边三角形，得，最后由线段的和可得结论．
【详解】（1）解：，
理由如下：
如图②，在上截取，连接，

∵都是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：
如图③，在上截取，连接，

∵都是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
【变式1 等边三角形——等腰直角三角形】
例题：（2023春·吉林长春·七年级校考期末）【阅读材料】两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，且当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等三角形，则把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，在“手拉手”图形中，若，，，则≌．
(1)【材料理解】在图1中证明．
(2)【问题解决】如图2，和都是等腰三角形，，，，线段与线段交于点F，延长交于点，求证：．下面是小明的部分证明过程：
证明：∵，，
∴，
∵，
∴．
请你补全余下的证明过程．
(3)【结论应用】如图3，是等腰三角形，，、分别为边、上的点，且满足，连接，将以点为旋转中心按逆时针方向旋转，旋转角为，当线段与的腰有交点，且直线垂直于的腰时，直接写出的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据得，再结合全等三角形的判定条件证明即可；
（2）根据三角形内角和定理，证明，结合，即可证明；
（3）根据直线垂直于的腰和时的图，结合三角内角和定理分别求出和的度数，再结合逆时针旋转方向求出旋转角即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴≌，
（2）：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）旋转至垂直时，如图4所示，
,
∵，，
∴，
∵以点为旋转中心按逆时针方向旋转至，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴旋转至垂直时，以点为旋转中心按逆时针方向旋转角度为；
旋转至垂直时，如图5所示，
∵以点为旋转中心按逆时针方向旋转至，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴旋转至垂直时，以点为旋转中心按逆时针方向旋转角度为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形的内角和和图形的旋转，熟练掌握各个性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河北张家口·八年级统考期中）已知和都是等腰直角三角形（），．

(1)如图①，连，，求证：；
(2)若将绕点顺时针旋转．
①如图②，当点恰好在边上时，求证：；
②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②或
【分析】（1）利用证明即可；
（2）①连接，证明，得，结合等腰直角三角形的性质，即可证；②分当点在线段上时，和当点在线段上时，两种情况分类讨论．情况一：当点在线段上时，连接，过点作于，根据，得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，先算出，，再根据计算即可；情况二：当点在线段上时，连接，过点作于，先利用证，得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，算出，，最后根据计算即可．
【详解】（1）证明：，
，
即，
和是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
；
（2）解：①证明：如下图，连接，

，
，
即，
和是等腰直角三角形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
②情况一：如下图，当点在线段上时，连接，过点作于，

由（1）得，
，
和都是等腰直角三角形，，，，，
，，
，
，
；
情况二：如下图，当点在线段上时，连接，过点作于，

，
，
即，
和都是等腰直角三角形，，，，，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
综上，线段的长为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合图形正确判断全等三角形是解题的关键．
2．（2023春·江西吉安·八年级校联考期中）如图1，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．
(1)当时，如图2，求证：；
(2)当时，如图3，延长交于点，求证：垂直平分；
(3)在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）利用 “”证得即可得到结论；
（2）利用 “”证得，推出，计算得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意：，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：根据题意：，，，
在和中，
，
，
，
，且，
，
，
，
，，，
，，
，
，
是线段的垂直平分线；
（3）解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，
当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：

，，，于，
，，
，，
的面积的最大值为：
，旋转角．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式2 特殊三角形——矩形】
例题：（2023春·福建福州·八年级统考期末）矩形的边长，，将矩形绕点顺时针旋转角得到矩形，点、、的对应点分别为、、．

(1)如图，当过点时，求的长；
(2)如图，当点落在上时，连结、．
①四边形是何特殊的四边形？请说明理由；
②证明点、、三点共线．
【答案】(1)
(2)①四边形是为平行四边形，理由见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可得的长度，在中，根据勾股定理即可求解；
（2）①矩形是由矩形旋转所得，则有，可证，，再结合平行四边形的判定方法即可求证；②根据平行的性质即可求解．
【详解】（1）解：，，
由旋转的性质得：，
在中，，
由勾股定理得：．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
如图所示，

矩形是由矩形旋转所得，
，，，
，
，，
，
，
，
，
又，
四边形是为平行四边形；
②证明：∵矩形中，，由上述①可知，四边形是为平行四边形，即，
∴点、、三点共线．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的旋转的性质，勾股定理求线段长度的综合，掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）【探索发现】（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形绕点O怎么转动，总有，连接，求证：．
【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
【迁移拓展】（3）如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，直接写出线段的长度．

【答案】（1）见解析；（2）仍然成立，证明见解析；（3）或cm
【分析】（1）根据正方形的性质证明，推出，得到，然后根据勾股定理和线段的代换即可证得结论；
（2）连接，证明，可得，然后根据勾股定理和线段的代换证明即可；
（3）设，分两种情况：当点F在边上，点F在边延长线上时，结合（2）的结论利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形、都是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
∴；

（2）仍然成立；
证明：连接，∵O是矩形的中心，
∴O在上，且，
延长交于G，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵矩形中，，
∴垂直平分，
∴，
在直角三角形中，，
∴；

（3）当点F在边上时，如图，因为，所以，
根据（2）的结论可得：，
设，则，
则，解得，即，
∴（cm）；

当点F在边延长线上时，如图，同理可证：，
设，则，
∵，
∴，
解得：，即，
∴（cm）；
综上，或cm．

【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、灵活利用方程思想是解题的关键．
【变式3 特殊三角形——正方形】
例题：（2023·山西大同·校联考三模）综合与实践：
问题情景：如图1、正方形与正方形的边，在一条直线上，正方形以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接，．

(1)操作发现：当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：；
(2)操作发现：如图3，当点E在延长线上时，连接，求的度数；
(3)问题解决：如图4， 如果，，，请直接写出点G到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，，从而证明，即可得出结论；
（2）过F作，垂足为H，证明，可得，，从而可得，再由，即可求解；
（3）连接，，过点B作于点H，根据正方形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理求得，再由，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解；过F作，垂足为H，

∵，
∴，，
∴，
∵四边形AEFG是正方形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
（3）解：如图，连接，，过点B作于点H，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设点G到的距离为h，
∵，
∴，解得：，
∴点G到的距离为．

【点睛】本题考查正方形的性质、平行线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．

特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）△APE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）△APE的形状不改变，见解析
【分析】（1）连接，，，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可；
（2）根据正方形的性质直接得到，推出，得到△APE是等腰直角三角形；
（3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，设交于点H，交于点N，得到，由得到，推出，进而得到，再证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得△APE是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：连接，，，如图，

∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）△APE是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴△APE是等腰直角三角形；
（3）△APE的形状不改变，
延长至点M，使，连接，

∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴△APE是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键．
【类型二 “半角”模型】
例题：（2023春·福建漳州·八年级校考期中）（1）【发现证明】老师在数学课上提出一个问题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，请试判断、、之间的数量关系，小聪把绕点A逆时针旋转至，发现，请你利用图1证明上述结论．
（2）【类比引申】如图2，四边形中，，，，点E、F分别在边、上，要使得仍然成立，则与应满足什么数量关系？请说明理由．
（3）【探究应用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路、上分别有景点E、F，且，）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长，

【答案】（1）见解析；（2）；（3）米
【分析】（1）根据旋转的性质，得到， ，从而证明，可证得出即可；
（2）仿照（1）的方法将绕点A顺时针旋转至，则可通过的相同的方法证明，即可证出；
（3）将绕点A逆时针旋转至，连接，过A作，垂足为H，得到点G在的延长线上，求出，，得到，求出，进而得到，推出，由此得到求出结果．
【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转至，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：将绕点A顺时针旋转至，
∵绕点A顺时针旋转至，

∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则点M、B、E共线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即；
（3）解：将绕点A逆时针旋转至，连接，过A作，垂足为H，

∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴米，
根据旋转的性质得到 ，，，，
∵，
∴，即点G在的延长线上，
又∵， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据（2）中结论有：（米），
即这条道路的长为米．
【点睛】本题考查了全等三角形，旋转的性质，对于大角中等于其中包含的小角的2倍的问题，可利用题中旋转的方法补全三角形，再通过证明三角形全等的方法求解相关线段．
【变式训练】
1．（2023春·河南信阳·八年级校考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．

(1)梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
，
，点、、共线．
根据 ，易证 ，得．
(2)引申
如图，四边形中，，点、分别在边、上，，若、都不是直角，则当与满足等量关系 时，仍有．
(3)联想拓展
如图，在中，，，点、均在边上，且，猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】(1)，
(2)
(3)，见解析
【分析】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，再证明≌进而得到，即可得；
时，，与的证法类同；
根据绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质，可知≌得到，，，，根据中的，得到，所以，证≌，利用得到；
【详解】（1）证明：，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
即：．
（2）解：延长至点G，连接，如图所示，

时，；
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，，
，，
，
，
当，点、、共线时，
在和中
，
≌，
，
∵，
即：．
故答案为：；
（3）解：猜想：．
把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，

，，
在中，，
，
，
即，
，
又，
，
，
即，
在和中，

，
，
．
【点睛】此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明≌此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．