人教A版2025高中数学一轮复习讲义第二章　必刷小题2　函数的概念与性质

这是一份人教A版2025高中数学一轮复习讲义第二章　必刷小题2　函数的概念与性质，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·绵阳统考)已知集合A＝{x|y＝eq \r(2－x2)}，B＝{x|x2－x－12≤0}，则A∩B等于( )
A．{x|－3≤x≤－eq \r(2)}
B．{x|－eq \r(2)≤x≤eq \r(2)}
C．{x|eq \r(2)≤x≤4}
D．{x|－3≤x≤4}
答案 B
解析 因为A＝{x|y＝eq \r(2－x2)}＝{x|－eq \r(2)≤x≤eq \r(2)}，
B＝{x|x2－x－12≤0}＝{x|－3≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|－eq \r(2)≤x≤eq \r(2)}．
2．(2023·漳州统考)若函数f(x)＝2x＋a·2－x是奇函数，则a等于( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－1 D．1
答案 C
解析 f(x)的定义域是R，
由题意得f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1，
故f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，
即f(x)是奇函数．
3．已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)))＝x＋1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝eq \f(1,x＋2)(x≠－2)
B．f(x)＝eq \f(1＋x,x)(x≠0)
C．f(x)＝eq \f(1,x)＋2(x≠0)
D．f(x)＝eq \f(1,x)－1(x≠0)
答案 C
解析 令eq \f(1,x－1)＝t，即x＝eq \f(1,t)＋1，
则f(t)＝eq \f(1,t)＋1＋1＝eq \f(1,t)＋2，
由x－1≠0，得t≠0，
故f(x)的解析式为f(x)＝eq \f(1,x)＋2(x≠0)．
4．(2023·商洛统考)下列函数中，其图象与函数y＝2x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝21－x B．y＝22－x
C．y＝21＋x D．y＝22＋x
答案 B
解析 设(x，y)为所求函数图象上任意一点，则其关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在函数y＝2x的图象上，所以y＝22－x.
5．(2023·咸阳模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A．f(x)＝eq \f(x2＋x,x＋1) B．f(x)＝xsin x
C．f(x)＝x－eq \f(1,x) D．f(x)＝ex－e－x
答案 D
解析 对于A，由x＋1≠0，得x≠－1，则f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)＝eq \f(x2＋x,x＋1)为非奇非偶函数，故A不符合题意；
对于B，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，可知f(x)为偶函数，故B不符合题意；
对于C，f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(－x)＝－x－eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，但在定义域内不是单调函数，故C不符合题意；
对于D，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在定义域内是增函数，故D符合题意．
6．已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(eq \r(2))，b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,3)))，c＝f(lg310)，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．b答案 D
解析 因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,3)))＝f(－lg23)＝f(lg23)，
因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，
故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为2>lg23>lg2eq \r(8)＝eq \f(3,2)>eq \r(2)，
lg310>lg39＝2，所以eq \r(2)所以f(eq \r(2))>f(lg23)>f(lg310)，即c7．(2024·成都模拟)已知定义域是R的函数f(x)满足∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2 023)等于( )
A．1 B．－1 C．2 D．－3
答案 B
解析 因为f(1＋x)为偶函数，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(2－x)＝f(x)，
又因为f(4＋x)＋f(－x)＝0，
所以f(2＋x)＝－f(2－x)，
所以f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
故f(x)的一个周期为4，
所以f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝－1.
8．(2023·保定模拟)已知奇函数f(x)的定义域为[－3,3]，若对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)恒成立，则满足不等式af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9的a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
答案 C
解析 令函数g(x)＝xf(x)－x2，x∈[－3,3]．
因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
g(－x)＝－xf(－x)－(－x)2＝xf(x)－x2＝g(x)，所以g(x)为偶函数．
因为对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)恒成立，即x1f(x1)－xeq \\al(2,1)>x2f(x2)－xeq \\al(2,2)恒成立，即g(x1)>g(x2)，
所以g(x)在[0,3]上单调递减，所以g(x)在[－3,0]上单调递增．
又因为af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9，所以af(a)－a2<(a－3)f(a－3)－(a－3)2，即g(a)所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤a≤3，,－3≤a－3≤3，,|a|>|a－3|，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤a≤3，,0≤a≤6，,a2>a－32，))
解得eq \f(3,2)故满足不等式的a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)).
二、多项选择题
9．(2024·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是( )
A．f(x)＝ex－e－x
B．f(x)＝eq \f(2,ex＋1)－1
C．f(x)＝ln(x＋eq \r(x2＋1))
D．f(x)＝ln(sin x)
答案 ABC
解析 由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确；
由f(x)＝eq \f(2,ex＋1)－1＝eq \f(1－ex,ex＋1)可得，f(－x)＝eq \f(1－e－x,e－x＋1)＝eq \f(ex－1,ex＋1)＝－f(x)，x∈R，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；
由f(x)＝ln(x＋eq \r(x2＋1))可得，f(－x)＝ln(－x＋eq \r(x2＋1))＝ln eq \f(1,x＋\r(x2＋1))＝－f(x)，x∈R，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故C正确；
由f(x)＝ln(sin x)知，sin x>0，所以2kπ10．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则( )
A．f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(x)在[0,1]上单调递增
C．f(x)在[1,2]上单调递减
D．f(2)＝f(0)
答案 AD
解析 因为f(x＋1)＝－f(x)，f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝－f(－x＋1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
由偶函数在对称区间上的单调性相反，
得f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；
因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误；
由f(x＋1)＝f(1－x)，可得f(2)＝f(0)，故D正确．
11．(2023·泰安模拟)关于函数f(x)＝eq \f(3x＋2,x－1)，下列说法正确的是( )
A．f(x)有且仅有一个零点
B．f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减
C．f(x)的定义域为{x|x≠1}
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 ABC
解析 令f(x)＝0，即eq \f(3x＋2,x－1)＝0，解得x＝－eq \f(2,3)，
所以f(x)有且仅有一个零点，故A正确；
函数f(x)＝eq \f(3x＋2,x－1)＝3＋eq \f(5,x－1)(x≠1)，
因为y＝eq \f(5,x－1)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，故B正确；
函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，故C正确；
因为函数y＝eq \f(5,x－1)的图象关于点(1,0)对称，
所以函数f(x)＝3＋eq \f(5,x－1)的图象关于点(1,3)对称，故D错误．
12．(2023·福建联考)已知f(x)是定义域为R的奇函数，若f(2x＋1)的最小正周期为2，则下列说法正确的是( )
A．2是f(x)的一个周期
B．f(4)＝0
C．f(3)＝f(－5)
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝0
答案 BCD
解析 f(2x＋1)的最小正周期为2，
则f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)，
即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)，
所以f(x)的最小正周期为4，故A错误；
因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0.
又4是f(x)的一个周期，
所以f(4)＝f(0)＝0，故B正确；
f(3)＝f(－5＋2×4)＝f(－5)，故C正确；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋4))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
又f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝0，故D正确．
三、填空题
13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－x2，0≤x≤6，,fx－6，x>6，))则f(10)＝________.
答案 0
解析 由已知得f(10)＝f(10－6)＝f(4)＝24－42＝16－16＝0.
14．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为R；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是__________________．
答案 f(x)＝－x2(或f(x)＝－|x|，答案不唯一)
解析 根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件，
若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为R，图象开口向下，对称轴为y轴，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，
所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2；
若f(x)＝－|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≥0，,x，x<0，))则此时函数的定义域为R，根据一次函数和分段函数的性质，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
故同时满足三个条件，
所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|.
15．已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________．
答案 1
解析 由题意得ln x∈[0,2]，
当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减，
∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，解得a＝eq \f(3,2)<2，不符合题意；
当0f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，
∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意．
故a的值为1.
16．(2024·合肥模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(0)＝1，则eq \i\su(i＝1,2 023,f)(i)＝________.
答案 －2 025
解析 因为f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x)．
因为f(x)＋f(－x－2)＝－2，
所以f(x)＋f(x＋2)＝－2，
从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，
得f(x)＝f(x＋4)，
所以f(x)的一个周期为4.
由f(x)＋f(－x－2)＝－2，
令x＝－1，则f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝2f(1)＝－2，得f(1)＝－1；
令x＝1，则f(1)＋f(－3)＝f(1)＋f(3)＝－2，得f(3)＝－1；
令x＝0，则f(0)＋f(－2)＝f(0)＋f(2)＝－2，
得f(2)＝－3，f(4)＝f(0)＝1.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－4，
故eq \i\su(i＝1,2 023,f)(i)＝505×(－4)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－2 025.