河南省郑州市2022届高三第二次质量预测理科数学试题

郑州市2022年高中毕业年级第二次质量预测

理科数学试题卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知i是虚数单位，若，则（    ）

A 1 B.  C. 2 D. 4

3. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（    ）

A. 9.5 尺 B. 10.5 尺 C. 11.5 尺 D. 12.5 尺

5. 已知正四棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（    ）

A. −32 B. 32 C. −64 D. 64

7. 函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ）

A. ， B. 是奇函数

C. 直线是的对称轴 D. 函数在上单调递减

8. 某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（    ）

A. 240种 B. 480种 C. 540种 D. 720种

9. 若平面上两点A（−2，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹与直线l：的公共点的个数为（    ）

A. 2 B. 1

C. 0 D. 与实数k的取值有关

10. 2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（    ）（参考数据：）

A. 2600年 B. 3100年 C. 3200年 D. 3300年

11. 已知是双曲线的左右焦点，点在双曲线的右支上，点是平面内一定点，若对任何实数，直线与双曲线至多有一个公共点，则的最小值（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知数列满足，（），（），则数列第2022项为（    ）

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 曲线在点（，2）处的切线方程是________．

14. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为________．

15. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2，将△ACD沿AC折叠形成三棱锥D1−ABC．当三棱锥D1−ABC体积最大时，则此时三棱锥外接球体积为________．

16. 已知函数，（），（），给出下列四个命题，其中真命题有________．（写出所有真命题的序号）

①存在实数k，使得方程恰有一个根；

②存在实数k，使得方程恰有三个根；

③任意实数a，存在不相等的实数，使得；

④任意实数a，存在不相等的实数，使得．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答

（一）必考题：60分

17. 随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．

（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？

（2）该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和，其中（），判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可能性最大，并说明理由．

附：，其中．

18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．

（1）求角A；

（2）若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．

19. 如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝AA1＝2A1D1＝2，∠ABC＝60°，平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1⊥平面ABCD．

（1）求证：AA1⊥平面ABCD；

（2）求锐二面角A−DD1−C的正切值．

20. 已知抛物线C：，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点．

（1）若点N的纵坐标为，求证：直线AB恒过定点；

（2）若，求△ABN面积的最大值（结果用m表示）．

21. 已知函数．

（1）求函数单调区间；

（2）设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．

 [选修：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）．已知M是曲线C1上的动点，将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON，设点N的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）设点Q（1，0），若射线l：与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△ABQ的面积．

 [选修：不等式选讲]

23. 已知．

（1）若的解集为，求实数的值；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．