新高考数学解答题核心考点分解训练与突破03利用导数证明不等式含解析答案

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一、解答题
1．已知函数，证明：当时，.
2．已知函数，证明：.
3．证明：当时，；
4．证明：对任意，总有成立.
5．已知函数，求证：当时，．
6．已知函数，证明：当时，．
7．已知函数.
(1)证明：；
(2)当时，证明不等式，在上恒成立.
8．已知函数，证明：当时，.
9．已知函数，当时，证明：.
10．已知函数，，证明：当时，在上恒成立.
11．已知函数，求证：.
12．若有两个极值点，求证：.
13．已知是实数，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个相异的零点且，求证：．
14．已知函数．若有两个零点，且，证明：．
15．已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
16．已知函数f（x）＝ex（lnx+a）．
(1)若f（x）是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：x1+x2＞2．
17．已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且，证明：，且．
19．已知函数.
(1)证明：当时，；
(2)当时，求证：.
20．已知函数.
(1)证明：，总有成立；
(2)设，证明：．
21．已知函数.
(1)证明：；
(2)求证：.
22．设，.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，证明：；
(3)证明：.
参考答案：
1．证明见解析
【分析】等价于，构造函数，求导得到函数单调性，结合，从而得到时，，证明出结论.
【详解】由题意等价于，
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
2．证明见解析
【分析】对求导，利用导数与函数单调性间的关系得到的单调区间，进而可求得，即可证明结果.
【详解】因为，易知函数定义域为，
所以，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立,
命题得证.
3．证明见解析
【分析】分别构造函数、，利用导数可证得单调性，得到，由此可得结论.
【详解】令，则，
在上单调递增，，即当时，；
令，则，
令，则，
当时，单调递增，即单调递增，，
在上单调递增，，
即当时，；
综上所述：当时，.
4．证明见解析
【分析】构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在上为减函数，从而得到，即可证明结果.
【详解】设，则在区间上恒成立，
故在上为减函数，故，得到，
即成立，命题得证.
5．证明见解析
【分析】方法一：先利用函数导数判断函数的单调性，利用函数单调性将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】方法一：因为，定义域为，
所以，
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则恒成立，
所以当时，恒成立.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则恒成立，
所以当时，恒成立.
【点睛】方法点睛：利用函数导数证明不等式方法：
1、找出函数的定义域，
2、对函数求导，
3、利用函数导数分析函数的单调性，
4、利用函数单调性进行分析，
特别地在解决问题时经常用到构造新函数，利用新函数导数及单调性进行分析.
6．证明见解析
【分析】将不等式转化为恒成立，令，用导数法论证即可.
【详解】不等式等价于：恒成立；
令，
∴，
，
∵，
∴恒成立，
∴在上单调递增，
∴在上存在唯一使，
∴，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
∴．
又，，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当时，．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式.
7．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，根据导函数分析的单调性，即可得到，即可证明；
（2）令，求导，根据放缩的思路得到，然后利用在上的单调性即可证明.
【详解】（1）证明：，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，
故，当且仅当时取等号，
∴.
（2）令，则，
由（1）可得，即，
又，所以，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，则，在上单调递增，
当时，，即，
所以当时，不等式，在上恒成立.
【点睛】导数中常见的放缩形式：
（1）；
（2）；
（3）.
8．证明见解析
【分析】构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在单调递增，从而，将问题转化成证明，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到，从而将问题转化成求证，变形得到，令，得到，设，再利用的单调性即可证明结果.
【详解】因为，所以，解得，即函数的定义域为，
令，可得，
所以在单调递增，所以，即，
要证不等式，
只需证明，
又由函数，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即，即，当且仅当时，等号成立，
所以，当时，，只需证明：，即，
即，即，令，可得，
设，可得，令，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，
易知在单调递增，故方程有唯一解.
又由以上不等式的等号不能同时成立，所以.
【点睛】关键点点睛：关键是利用不等式，，多次放缩证明.
9．证明见解析
【分析】先得到时，，推出要证，只需证，构造，求导得到函数单调性和极值最值，得到答案.
【详解】当时，有，
所以，要证，只需证，
即证，,
设，则，令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以，得证.
10．证明见解析
【分析】利用放缩得到，构造，求导得到其单调性和极值最值情况，得到，证明出结论.
【详解】由题意得，
因为且，
所以，
令，定义域为，
则，
其中的两根均为负数，故在恒成立，
故令得，，令得，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，即，
结论得证.
【点睛】关键点点睛：利用函数放缩法证明不等式经常考查，通常的放缩方法有切线放缩，条件放缩等，本题使用的是条件放缩.
11．证明见解析
【分析】首先利用导数求出在上的最小值，设，当时显然满足，当时，利用导数说明，即可得证.
【详解】由题意，当时，由，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
设，当时，，
当时，设，则，
所以在上是增函数，
所以，即，，所以，
而，所以，
综上，当时，．
12．证明见解析
【分析】方法一：根据条件得到，构造函数，，利用导数与函数单调性间的关系，得到，即可证明结果；方法二：根据条件得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到，再利用对数均值不等式，即可证明结果.
【详解】方法一：因为，，，
则，令，，
令，下证恒成立，
，
令，
则，
所以在上单调递增，又，
所以在上恒大于，即在上恒大于，
所以，取，则，
所以，即.
方法二：由，因为有两个极值点，
所以，即，
从而，
令，则，当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，所以，
又因当时，，当时，，
所以，由对数均值不等式得，
从而，所以.
13．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）求定义域，求导，对进行分类讨论，求出单调性；（2）先结合第一问得到，且得到，将不等式变形为，故构造函数，，进行证明.
【详解】（1）的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递减；
当时，令得：，令得：，故在上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可知，要想有两个相异的零点，则，不妨设，因为，所以，所以，要证，即证，等价于，而，所以等价于证明，即，
令，则，于是等价于证明成立，
设，
，所以在上单调递增，
故，即成立，
所以，结论得证.
【点睛】对于多元不等式证明问题，要转化为一元不等式进行证明，再构造函数，利用导函数研究其单调性，极值及最值，从而证明出结论.
14．证明见解析
【分析】利用已知先化简得，利用比值换元令，问题式化为证，构造函数，利用导数研究其单调性及值域即可.
【详解】若有两个零点，则，得．
，令，则，故，则，，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，
，则在上单调递增，，即，
故.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求定义域，再求导，得到，先得到，在通过验证得到满足题意；（2）构造函数证明极值点偏移问题.
【详解】（1）定义域为，
，所以在上单调递减.
，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
又，所以先保证必要条件成立，即满足题意.
当时，易知，；
由以上可知，当时，有两个不同的零点.
（2）由题意，假设，要证明，只需证明.只需证，又.
即只需证，构造函数.
，所以在单调递减.
，即成立，即
所以原命题成立.
【点睛】对于极值点偏移问题，通常可以构造差函数来进行求解.
16．(1)[﹣1，+∞）
(2)证明见解析
【分析】(1)求导，由f（x）是增函数，转化为f′（x）≥0对任意x＞0恒成立，即恒成立，构造新函数，求导得单调性，求出最小值，得到a的取值范围.
(2)设出两个极值点，即两个极值点是的两个零点，要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1，只需证g（x2）﹣g（2﹣x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1）＞0，设，求导，证h（x）在（0，1）上单调递减，从而得到g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以x2＞2﹣x1成立，即x1+x2＞2成立．
【详解】（1）函数的定义域为，
若f（x）是增函数，即f′（x）≥0对任意x＞0恒成立，故恒成立，
设，则，
所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝a+1，由a+1≥0得a≥﹣1，
所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．
（2）不妨设0＜x1＜x2，因为x1，x2是f（x）的两个极值点，
所以，即，同理，
故x1，x2是函数的两个零点，即g（x1）＝g（x2）＝0，
由（1）知，g（x）min＝g（1）＝a+1＜0，故应有a∈（﹣∞，﹣1），且0＜x1＜1＜x2，
要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1，
只需证g（x2）﹣g（2﹣x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1）
，
设，
则，
所以h（x）在（0，1）上单调递减，因为x1∈（0，1），所以h（x1）＞h（1）＝0，
即g（x2）﹣g（2﹣x1）＞0，g（x2）＞g（2﹣x1），
又x2＞1，2﹣x1＞1，及g（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以x2＞2﹣x1成立，即x1+x2＞2成立．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数，判定单调性，求解最值可得范围；
（2）把双变量问题转化为单变量，结合导数求解单调性和最值，可以证明结论.
【详解】（1）∵， ，∴，
设 ，，
当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，与已知矛盾．
当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件；
综上，取值范围是．
（2）证明：当时，，当，，当，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
不妨设，则，要证，只需证，
∵在区间上单调递增，∴只需证，
∵，∴只需证．
设，则，
∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立，
∴．
【点睛】方法点睛：恒成立问题的处理方法主要有：
（1）分离参数法：转化为函数最值问题；
（2）直接法：直接求解函数最值，必要时进行分类讨论.
双变量问题一般利用等量代换转化为单变量问题进行求解.
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性；
（2）变形为是方程的两个实数根，构造函数，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到，再构造差函数，证明出.
【详解】（1）的定义域为R，
由题意，得，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当，且当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）证明：由，得，是方程的两个实数根，
即是方程的两个实数根．
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以．
因为当时，；当时，，，所以．
不妨设，因为，是方程的两个实数根，则．
要证，只需证．
因为，，
所以只需证．
因为，
所以只需证．
令，，
则
在恒成立．
所以在区间上单调递减，
所以，
即当时，．
所以，
即成立．
【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性计算其最值即可；
（2）根据（1）的结论得，令可证得，累加即可证明结论.
【详解】（1）由求导得，
所以在上是减函数，即当时，，
所以当时，.
（2）由（1）得当时，，即，
令得，，即，
所以，得证.
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）令，将函数化为，构造函数，利用导数研究其单调性及最值即可证明；
（2）由（1）知，可得，化简得，累加即可证明结论.
【详解】（1）令，则因为，，
令，则，
又令，则，
当时，在上单调递减，所以，
所以时，在上单调递减，
所以，即，总有成立；
（2）由（1）知即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，整理得到：，
故，
故不等式成立.
21．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的最小值即可得解.
（2）由结合放缩法，转化证明，即可推理得解.
【详解】（1）函数的定义域为，则，
当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，
所以.
（2）先证，设，求导得，
即函数在区间上单调递减，则，即，
于是，
再证，由（1）知，当时等号成立，
令，则，即，
所以，，，
累加可得，
所以.
22．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，分和两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；
（2）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；
（3）由（2）可得：，分和两种情况，利用裂项相消法分析证明；
【详解】（1）因为的定义域为，且，
所以为偶函数，
下取，
当时，，则，
当时，则，可知在内单调递增，
当时，令，则，
可知在内单调递增，
因为，则，使得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
则在内恒成立，可知在内单调递减；
综上所述：在内单调递减，在内单调递增，
所以在内的最小值为，
又因为为偶函数，所以在内的最小值为.
（2）由（1）可知为定义在上的偶函数，下取，
可知，令，
因为，则，
则在内单调递增，可得，
即在内恒成立，可知在内单调递增，
所以在内的最小值为，
结合偶函数性质可知：.
（3）由（2）可得：当时，，当且仅当时，等号成立，
即，令，则，
当时，，
即，则有：
，，，，
相加可得：，
因为，则，所以，
即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．