[数学][期中]北京市延庆区2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)

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1. 等比数列，，，，的项数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，，，的项数为,
故选：C
2. 由数字，，，构成的三位数有（ ）
A. 个B. 个
C. 个D. 个
【答案】A
【解析】百位有4种选择，十位有4种选择，个位有4种选择，故构成的三位数共有个，
故选：A
3. 在等差数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得，
故，
故选：D
4. 在的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A. 第3项和第4项B. 第4项和第5项C. 第3项D. 第4项
【答案】D
【解析】二项式展开式中第项的二项式系数为
所以题中二项式展开式第项的二项式系数为
时，；时，；时，；
时，；时，；
时，；时，.
所以时二项式系数最大，即第四项的二次项系数最大，答案D正确.
故选：D.
5. 随机抛掷一颗均匀的骰子，则所得骰子朝上的点数的数学期望是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛掷骰子所得点数的分布列为
所以，
故选：．
6. 盒子里有5个球，其中有2 个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，
则，，
则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为.
故选：D
7. 若，且，则实数值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】取，
则，
取，则，
因此，
解得或，
故选：C
8. 设随机变量的分布列为
则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由分布列可得,
所以.
故选：B.
9. 设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，
充分性：，则对任意的恒成立，则，
，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意；
若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意.
所以，“，”“为递增数列”；
必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列.
所以，“，”“为递增数列”.
因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.
故选：A.
10. 已知数列的通项公式.设，，若，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】由题意知，，
则
，
由得，则，
解得.
故选：C.
第二部分 （非选择题 共110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若，则_________．（用数字作答）
【答案】
【解析】由，得，解得，
所以.故答案为：20
12. 已知随机变量，则=_________，=_________．
【答案】① ②
【解析】由题意可得，
故答案为：；
13. 学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则=_________．
【答案】
【解析】由题意可得，的取值为，
，
，
，
.
故答案为：.
14. 中国民族五声调式音阶各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有_________种．（用数字作答）
【答案】
【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，再将商、角插入4个空中，共有种．
故答案为：36.
15. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3；②为等比数列；
③为递减数列；④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，
整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
三、解答题，共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在的展开式中.
（1）求第项的二项式系数；
（2）求的系数；
（3）求第项.
解：（1）第项的二项式系数为.
（2）展开式中的第项为,
由已知，令，则，则,
则的系数为 .
（3）因为 ,
求第项，即时， ,
所以第项为.
17. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）写出a值；
（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.
解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10＝1，
解得a＝0.03，
（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，
∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.25，
∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800＝450人，
同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.035，
学生人数约为0.35×1200＝420人，
所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420＝870，
（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3人，
同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40＝2，
故X的可能取值为：1，2，3，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
∴E（X）＝1×+2×+3×＝.
18. 甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响.
（1）如果甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率；
（2）如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率；
（3）如果乙投篮次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论.
解：（1）记“甲投篮1次，且命中”为事件A
记“乙投篮1次，且命中”为事件B
记“甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中” 为事件C
由已知，，
由已知，
法一：,,
则甲、乙两人各投篮次，两人中至少有人投篮命中概率为
法二：所以，
答：甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率
（2）记“甲投篮4次，且至多有2次投篮命中”为事件D
因为甲每次投篮命中的概率为，
记投篮命中次数为,则的取值范围是
，
，
，
所以，
答：甲投篮4次，且至多有2次投篮命中的概率为
（3）根据题意，乙投篮10次，命中的次数为Y，则Y～B（10，），
故，
若，解得由于为整数，故
故乙投篮命中个球的概率最大.
19. 已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设，且，求.
解：（1）当时， 得.
由已知①
当时，, ②
①-②得.
所以 .
所以数列为等比数列，且公比为
因为，所以.
设数列公差为，

由得
所以.
综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：.
（2）设，前项和
（3）
即，即，解得
20. 已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值.
解：（1）直线与坐标轴的两个交点为，而，则，，
所以椭圆的方程为.
（2）设过点的直线为，由题意直线斜率存在，
设方程，即，
由，消去y得，
整理得，
由 ，得，
设，则， ，
将代入得，直线的方程为，
令得，
则
因此点是线段的中点，所以.
21. 已知数列：，，…，满足：①；②.记.
（1）直接写出的所有可能值；
（2）证明：的充要条件是；
（3）若，求的所有可能值的和.
解：（1）的所有可能值是，，，，1，3，5，7.
（2）充分性：若，
即.
所以满足，且前项和最小的数列是，，，…，，.
所以
.
所以.
必要性：若，即.
假设，即.
所以，
与已知矛盾.
所以.
综上所述，的充要条件是.
（3）由（2）知，可得.所以.
因为数列：，，…，中有，1两种，有，2两种，
有，4两种，…，有，两种，有一种，
所以数列：，，…，有个，
且在这个数列中，每一个数列都可以找到前项与之对应项是相反数的数列.
所以这样的两数列的前项和是.
所以这个数列的前项和是.
所以的所有可能值的和是.
1
2
3
4
5
6
X
1
2
3
P