[数学]福建省泉州市鲤城区2024届高三下学期5月联考试卷(解析版)

这是一份[数学]福建省泉州市鲤城区2024届高三下学期5月联考试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】∵全集是实数集，集合，
∴，
∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即.
故选：A.
2 若（，2，3，…，n），则数据组和，（ ）
A. 有相同的平均数B. 有相同的中位数
C. 有相同的方差D. 有相同的众数
【答案】C
【解析】由（，4，3，…，n），得的平均数、中位数和众数
都相应地比数据组的平均数、中位数和众数大4，ABD错误；
数据组与数据组相对于各自平均数的波动大小不变，
因此两个数据组的方差相同，C正确.
故选：C
3. 若复数z满足，则z的一个可能值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
由，得，即，整理得，
显然选项ACD不满足要求，B符合要求.
故选：B
4. 若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，
得，
，整理得，
即，由，得，
所以.
故选：D
5. 若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】设，，则为直线OB上的点C与点A之间的距离，
由时，取得最小值，得C为线段OB的中点且，
由于，所以.
故选：B
6. 已知是圆锥的轴截面，点C在SA上，且.若过点C且平行于SB的平面恰过点，且该平面与圆锥底面所成的二面角等于，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由过点C且平行于SB的平面恰过点O，知，根据二面角定义知，
因为O是AB的中点，
所以C是SA的中点，且，
因为，
所以是边长为的等边三角形，
所以圆锥的底面半径为，圆锥的高为
所以该圆锥的体积为.
故选：C.
7. 若函数，，则（ ）
A. 函数，的图象关于直线对称
B. ，使得
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】对A：当时，，恒成立，所以在上单调递增，且增长速度比快，
即的图象在上方；同理的图象也在上方.
所以函数，的图象关于直线对称是不可能的，故A错；
对B：设（），则，（），
设（），则在上恒成立，
所以在单调递增，又，，
所以存在唯一的，使得，即.
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以（因为，故不能取“”）.
所以在恒成立，故B错；
对C：因为，.
因为在上单调递增，所以，故C正确；
对D：由，由的单调性，只有一解，且，所以.
由，由的单调性，只有一解，且，所以.所以.故D错.
8. 若坐标满足方程的点的轨迹为曲线C，则以下结论不成立的是（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B.
C.
D. 曲线C上的点与原点之间距离的最大值为1
【答案】D
【解析】对于A，曲线上任意点，
显然成立，
即点在曲线C上，因此曲线C关于原点对称，A正确；
对于B，由，得，因此，即，B正确；
对于C，令，由消去得，
则有，解得，C正确；
对于D，令，得，解得或，显然点在曲线C上，
点到原点距离，D错误.故选：D.
二、选择题
9. 若函数，则（ ）
A. 若，则既是奇函数，也是偶函数
B. 若为奇函数，则
C. 若，则存在两个不同的零点
D. 若的定义域为R，则
【答案】BCD
【解析】对A：时，，由
可得定义域为，不关于原点对称，
故为非奇非偶函数，故A错误；
对B：若为奇函数，
则，对函数定义域中任意成立，
所以，而时，函数定义域为，故B正确；
对于C：当时，由可得，
解得或，故C正确；
对于D：若的定义域为R，则对任意成立，
于是，
当时，由知恒成立，
当时，需恒成立，即恒成立，所以，
综上时即对任意不等式组恒成立，故D正确.故选：BCD.
10. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（ ）
A. C的方程为
B. C的离心率为2
C. 若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为
D. 若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为
【答案】BC
【解析】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则，
于是双曲线C的方程为，A错误；
对于B，双曲线C的离心率，B正确；
对于C，，
，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确；
对于D，由点 在双曲线上支上，得，，
的周长，
设的内切圆半径为r，则，解得，
因此的内切圆面积为，D错误.故选：BC.
11. 已知随机变量X的分布列如下：
若数列是等差数列，则（ ）
A. 若n为奇数，则B.
C. 若数列单调递增，则D.
【答案】ACD
【解析】由数列是等差数列且，得，所以，
对于A，当n为奇数时，，故A正确；
对于B，由得，故选项B错误；
对于C，若数列单调递增，则可得，故，故选项C正确；
对于D：由，其中，
所以，
因为，，
所以
，故选项D正确.
故选：ACD
三、填空题
12. 若，则______.（用含n的式子表示）
【答案】
【解析】依题意，，
所以.
故答案为：
13. 若将正方体绕着棱AB旋转后，CD所在位置为的位置，则直线和平面所成的角为______.
【答案】
【解析】如图，由对称性，不妨设点在正方形内，
则为顶角的等腰三角形，，
所以平面与平面的夹角为，旋转后显然与平面垂直，
所以直线和平面所成的角为.
故答案为：.
14. 若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】抛物线C：的焦点为，准线方程为，
设直线AB方程为，由消去得，
显然，，而，
因此
，
当且仅当，即时取等号，
所以则的最小值为.故答案为：
四、解答题
15. 如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点.
（1）求证：平面；
（2）设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由.
解：（1）由E，F分别为和的中点，得，
而平面，平面，
所以平面.
（2）棱柱中，侧棱底面，
取AB中点O，中点M，连接，
则，平面，而平面，则有，
又，则，即直线两两垂直，
以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，
则，
假设在平面上存在点P，使，设，
，
，即，显然，
由，得，因此，即，
此时，
所以当时，存在唯一的点，即棱的中点，使.
16. 已知函数（且）.
（1）若，求a；
（2）若，且对于任意，在区间上总存在极值，求的取值范围.
解：（1）当时，，由得：（），所以.
当时，，由得：（），所以.
所以.
（2）时，.
所以，（）.
所以，（）
对于任意，在区间上总存在极值就是：
有两个不相等的实根，且必有一根在区间内.
因为函数是开口向上的二次函数，且，
所以必有：.
由，
设，则在上单调递减，所以，所以，由.
综上可知：.
所以，所求的取值范围是：
17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.
（1）写出命题p：“已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.若，则是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假；
（2）若外的点D满足，，求面积的最大值.
解：（1）逆命题q为：已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，
若是直角三角形，则.
命题q的为假命题，理由如下：
由为直角三角形，且，得或，而，
当时，，当时，，
因此逆命题q是假命题.
（2）由于外的点D满足，而，则四点共圆，
由，得，且，设，则，在中，由正弦定理得外接圆直径，，在中，，
在中，，
则的面积
，
显然，，因此当时，，
所以面积的最大值为.
18. 测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、中间和右侧的概率分别为0.5，0.1和0.4，并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有0.1，0.2和0.2的概率踢飞或踢偏（没有射正）.守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的概率分别为0.6，0.1和0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为0.5，当他猜中方向为中间时，扑出点球的的概率为0.8.
（1）求球员甲面对守门员乙时，第1次罚点球罚丢的概率；
（2）若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方向的前提下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加0.1；若球员甲在上一轮罚进点球，守门员乙将会变得着急，会有0.2的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机会.已知守门员乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚点球仍属于第二轮，且重罚时守门员乙不再提前移动.
（i）求球员甲第二轮罚进点球的概率；
（ii）设为球员甲在第k轮罚进点球的概率，若满足对于，，直接写出符合题意的.（注：最终结果均保留两位小数.）
解：（1）设球员甲罚点球时，踢向左侧、中间、右侧的事件分别为，
球员甲踢飞或踢偏（没有射正）的事件为D，守门员乙在扑点球时扑向右侧、中间、左侧的事件分别为，
守门员乙扑出点球的事件为E，
则，，
，
设球员甲第1次罚点球罚丢的事件为F，则为互斥事件，
则
.
（2）（i）当球员甲在上一轮罚丢点球时，守门员乙所有方向扑出点球的概率都增加0.1，
或者守门员乙提前移动时，所有方向扑出点球的也增加0.1，因此球员甲第二轮罚进点球包含以下4个互斥事件：
①第一轮罚进，第二轮守门员乙未提前移动且罚进，概率为；
②第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动且罚进，此时罚丢点球的概率为
，
此时罚进的点球的概率为；
③第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动未罚进，
此时罚进的概率为；
④第一轮未罚进，第二轮罚进，
此时罚进的概率为，
所以第二轮球员甲罚进的概率为.
（ii）.
由（1）及（2）（i）知，，
则第三轮的情况如第二轮时情形，但第二轮罚进点球的概率增加了，
因此第三轮罚进点球的概率比第二轮时要高，从而随的增大而增大，
于是若满足对于，均有，则.
19. 在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面中，光在介质Ⅰ内点以入射角，速度在介质1内传播至轴上的点，而后以折射角，速度v在介质Ⅱ内传播至点.
（1）将光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的解析式；
（2）费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题：
（i）证明：.
（ii）若，，，求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围.
（1）解：由勾股定理得，，
所以，，
（2）（i）证明：，
由于在上为增函数，在上为减函数，
故在上为增函数，
又，，
由零点存在性定理得，存在唯一的，使得，
且在上单调递减，在上单调递增，
据此，并运用费尔马的结论，当时，光线所经过的路程最短，
令得，，
故，
又，故；
（ii）解：当，，时，，
整理得，，
故点的轨迹为长轴长为4，短轴长为的椭圆在坐标轴第四象限的部分，
光线从运动到点所经过的路程为，
其中，代入得
；
故光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围为.
1
2
3
…
n
…