2023-2024学年云南省曲靖市麒麟区高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年云南省曲靖市麒麟区高二下学期7月期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设z1=2+i,z2=1−3i，则z1+z2在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合A=x∣4≤2x<16,B=x∣3x−7≥8−2x，则A∩B=( )
A. {x∣3≤x<4}B. x∣x≥2C. x∣3≤x≤4D. {x∣x>2}
3.已知α,β表示两个不同的平面，m表示一条直线，且m/​/α，则“m⊥β”是“α⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量a,b是单位向量，且a+b=a−b，则a−2b=( )
A. 3B. 5C. 3D. 5
5.在(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含x2的项的系数是( )
A. 57B. 56C. 36D. 35
6.已知圆C:(x−2)2+y2=16，直线l:mx+y−3m−1=0，则下列结论中正确的是( )
A. 直线l恒过定点2,1B. 直线l与圆C相切
C. 直线l与圆C相交D. 直线l与圆C相离
7.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是( )
A. A与B互为对立事件B. A与B互斥
C. PA=PBD. A与B相等
8.已知定义在R上的函数fx满足2fx+yfx−y=fx+fy，且f0≠0，则下列结论中错误的是( )
A. f0=1B. y=fx为奇函数
C. y=fx不存在零点D. f2x=fx
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，则下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x−5π12)是偶函数B. f(x)的图象关于点(π3,0)对称
C. f(x)的最小正周期是2πD. f(x)在区间(π12,7π12)上单调递减
10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是( )
A. 图(1)的平均数=中位数=众数B. 图(2)的众数<平均数<中位数
C. 图(2)的众数<中位数<平均数D. 图(3)的中位数<平均数<众数
11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2，且4PQ=3PF2，则( )
A. PQ=4aB. 3PF1=PQ
C. 双曲线C的渐近线方程为y=±2 23xD. 直线PQ的斜率为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求曲线y=12x2−2在点 3,−12处的切线的倾斜角为 ．
13.抛物线x2=8y上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ．
14.已知数列an满足，a3=256，且an=2an+1.若Tn是数列an的前n项积，求Tn的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足bsin(B+C)=acsB2．
(1)求角B；
(2)若a=2 2,△ABC的面积S=14b2+c2−a2，求▵ABC的周长．
16.(本小题12分)
为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的50名学生，整理得到如下列联表：
(1)依据α=0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？
(2)现从喜欢运动的学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量X为男学生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：
参考公式：χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
17.(本小题12分)
已知函数fx=x+1ex．
(1)判断函数fx的单调性，并求出fx的极值；
(2)设函数gx=fx−aa∈R，讨论函数gx的零点个数．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD,AD//BC，平面SAB⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1,SB= 2,AD=12，点E是SC的中点．
(1)证明：DE/​/平面SAB；
(2)求四棱锥S−ABCD的体积；
(3)求平面SCD与平面SAB所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，短轴长为2 3，点M(− 3,− 32)在C上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点A(0,3)，点G为椭圆C上一点，求▵AGF2周长的最大值；
(3)过C的左焦点F1，且斜率不为零的直线l交C于P､Q两点，求▵F2PQ面积的最大值．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.D
5.B
6.C
7.C
8.B
9.ABD
10.AC
11.BC
12.π3 或60∘
13.(±2 2,1)
14.255
15.解：(1)在▵ABC中，由bsin(B+C)=acsB2及正弦定理，得sinBsinA=sinAcsB2，
而sinA>0，则2sinB2csB2=csB2，又0所以B=π3．
(2)由S=14(b2+c2−a2)及余弦定理，得12bcsinA=14⋅2bccsA，则tanA=1，
而0由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=2 2 22=4，则b=4sinB=2 3,c=4sinC= 6+ 2，
所以▵ABC的周长为3 2+2 3+ 6．

16.解：(1)χ2=50(8×36−4×2)212×38×10×40=122557≈21.5>10.828，
所以能认为学生的性别与是否喜欢运动有关联；
(2)X的取值可能为0,1,2,3，则
P(X=0)=C80C43C123=155，P(X=1)=C81C42C123=1255，
P(X=2)=C82C41C123=2855，P(X=3)=C83C40C123=1455，
X的分布列为：
所以E(X)=0×155+1×1255+2×2855+3×1455=2．

17.解：(1)f(x)=x+1ex，则f′(x)=−xex，
令f′(x)>0⇒x<0,f′(x)<0⇒x>0，
所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，
则f(x)在x=0处取得极大值，且f(0)=1，无极小值．
(2)由题意知g(x)=f(x)−a，
要求函数g(x)的零点个数，即求方程a=f(x)的根的个数，
即求直线y=a与函数y=f(x)图象的交点个数．
由(1)知f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，
且f(x)max=f(0)=1,f(−1)=0，当x→−∞时f(x)→−∞，当x>0时f(x)>0，
如图，
由图可知当a≤0或a=1时，函数g(x)有1个零点；
当0当a>1时，函数g(x)有0个零点．

18.解：(1)
如图，取SB的中点F，连接AF,EF，因点E是SC的中点，则有EF//BC,EF=12BC，
又AD//BC，AD=12BC，故得EF//AD,EF=AD，即四边形ADEF为平行四边形，
则DE//AF，又DE⊄平面SAB，AF⊂平面SAB，故DE//平面SAB．
(2)
如图，因SA2+AB2=2=SB2，则SA⊥AB，
又因平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB则SA⊥平面ABCD，
于是四棱锥S−ABCD的体积为13×12(12+1)×1×1=14．
(3)
分别以AD,AB,AS为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
因AD⊥AB，平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，
AD⊂平面ABCD，故有AD⊥平面SAB，则平面SAB的一个法向量可取为m=(1,0,0)，
由S(0,0,1),D(12,0,0),C(1,1,0)，则得，DC=(12,1,0),DS=(−12,0,1)，
设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则有：n⋅DC=12x+y=0n⋅DS=−12x+z=0,
故可取n=(2,−1,1)，
设平面SCD与平面SAB所成角为θ，则csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=21× 6= 63，
故sinθ= 1−cs2θ= 1−( 63)2= 33．
即平面SCD与平面SAB所成角的正弦值为 33．

19.解：(1)依题意，b= 3，且3a2+34b2=1，解得a=2，
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
(2)由(1)知，F1(−1,0),F2(1,0)，而A(0,3)，则|AF1|=|AF2|= 10，
▵AGF2周长|AF2|+|AG|+|GF2|=|AF2|+|AG|+4−|GF1|≤|AF2|+|AF1|+4=2 10+4，
当且仅当点G是线段AF1的延长线与椭圆C的交点时取等号，
所以▵AGF2周长的最大值为2 10+4．

(3)设直线l的方程为x=ty−1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，
由x=ty−13x2+4y2=12消去x得：(3t2+4)y2−6ty−9=0，显然Δ>0，y1+y2=6t3t2+4,y1y2=−93t2+4，
|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= (6t3t2+4)2+363t2+4=12 t2+13t2+4，
因此▵F2PQ面积S=12|y1−y2|⋅|F1F2|=12 t2+13t2+4=123 t2+1+1 t2+1，
令u= t2+1≥1，3 t2+1+1 t2+1=3u+1u，显然函数y=3u+1u在[1,+∞)上单调递增，
则当u=1，即t=0时，3 t2+1+1 t2+1取得最小值4，Smax=3
所以当t=0时，▵F2PQ面积取得最大值3．
男学生
女学生
合计
喜欢运动
8
4
12
不喜欢运动
2
36
38
合计
10
40
50
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
155
1255
2855
1455