专题08 全等三角形中的辅助线（一）（含答案）【暑假预习课堂】新八年级数学同步精讲精练（人教版）

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目录
【考点一 倍长中线法证全等】
【考点二 截长补短法证全等】
【考点三 整体旋转证全等】
【聚焦考点1】
倍长中线辅助线方法规律总结
倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型：
【典例剖析1】
【典例1-1】（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【典例1-2】已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点D作直线交AB，CA的延长线于点E，F． 当BE=CF时，求证：AE=AF．
针对训练1
【变式1-1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．
【变式1-2】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
(1)由已知图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
(2)求得AD的取值范围是 ．
(3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．
【能力提升1】 倍长中线法
【提升1-1】（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【提升1-2】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，
请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；
【聚焦考点2】
截长补短辅助线方法规律总结
总结：因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF
【典例剖析2】
【典例2-1】如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P
（1）求∠CPD的度数；
（2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长．
【典例2-2】已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．求证：BC＝AB＋CD．
图1 图2
针对训练2
【变式2-1】【问题提出】
（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.
【变式2-2】利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍．
（1）尺规作图：作的平分线．
【模型构造】
（2）填空：
①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”）
方法一：巧翻折，造全等
在上截取，连接，
则．
②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______．
方法二：构距离，造全等
过点作，垂足为点，
则．
【模型应用】
（3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．
①请直接写出______；
②试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【能力提升2】
【提升2-1】如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC：
（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．
【提升2-1】（1）问题背景：如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___________；
（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E,F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E,F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【聚焦考点3】
角平分线中常见辅助线总结
【典例剖析3】
【典例3-1】 已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．
【典例3-2】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．
针对训练3
【变式3-1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，
求证：AB＝AC+CD．
【变式3-2】如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（ ）
A．AB＞AD+BCB．AB＜AD+BCC．AB＝AD+BCD．无法确定
【能力提升3】
【提升3-1】如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．
【提升3-2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
基本图形
辅助线
条件与结论
应用环境
延长AD到点E，
使DE=AD，连接CE
条件：△ABC，AD=BD
结论：
△ABD≌△CED(SAS)
①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围
②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题
基本图形
辅助线
条件与结论
应用环境
延长AD交直线l2于点E，
条件：l1∥l2，CD=BD
结论：
△ABD≌△ECD(AAS)
与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定
基本图形
辅助线
条件与结论
应用环境
在AC上截取AE=AD，连接PE
条件：
AP平分∠BAC，
结论：
△APD≌△APE(SAS)
①截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察
②截长补短类全等的目的通常是为了等价线段