2024届高考物理一轮复习教案第五章万有引力与宇宙航行第1讲万有引力定律及应用（粤教版新教材）

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第1讲 万有引力定律及应用
目标要求 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.2.掌握计算天体质量和密度的方法．
考点一 开普勒行星运动定律
1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点．( √ )
2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大．( × )
3．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积．( × )
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1 某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个点a、c在长轴上，b、d在短轴上．若该行星运动周期为T，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
答案 D
解析 据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为eq \f(T,2)，可得tab＝tdaeq \f(T,4)，C错误，D正确．
例2 如图所示，1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道，1为圆轨道，2为椭圆轨道，椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍．P点为椭圆轨道的近地点，M点为椭圆轨道的远地点，TA是卫星A的周期．则下列说法正确的是( )
A．B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力将先增大后减小
B．地心与卫星B的连线在eq \r(2)TA时间内扫过的面积为椭圆面积
C．卫星B的周期是卫星A的周期的8倍
D．1轨道圆心与2轨道的一个焦点重合
答案 D
解析 根据万有引力定律有F＝Geq \f(Mm,r2)，B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力逐渐减小，A错误；根据开普勒第三定律得eq \f(R3,TA2)＝eq \f(2R3,TB2)，解得TB＝2eq \r(2)TA，所以地心与卫星B的连线在eq \r(2)TA时间内扫过的面积小于椭圆面积，B、C错误；1轨道圆心在地心，2轨道的一个焦点也在地心，所以二者重合，D正确．
考点二 万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪许测定．
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
1．只有天体之间才存在万有引力．( × )
2．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq \f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力．( × )
3．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心．( √ )
4．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( × )
1．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2).
(2)地球上空的重力加速度大小g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2).所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2).
2．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
考向1 万有引力定律的理解和简单计算
例3 (2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
答案 B
解析 万有引力表达式为F＝Geq \f(m1m2,r2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为eq \f(F火引,F地引)＝eq \f(M火r地2,M地r火2)＝0.4，选项B正确.
考向2 挖补法求解万有引力
例4 有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点．先从M中挖去一半径为eq \f(R,2)的球体，如图所示，已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为( )
A．Geq \f(Mm,9R2)B．Geq \f(Mm,4R2)
C．Geq \f(41Mm,450R2)D．Geq \f(7Mm,36R2)
答案 C
解析 半径为R且密度均匀的完整球体对距离球心O为3R且质量为m的质点的万有引力大小为F＝Geq \f(Mm,r2)＝Geq \f(Mm,3R2)，挖去部分的质量为M′＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)×eq \f(4,3)π(eq \f(R,2))3＝eq \f(1,8)M，挖去部分对质点的万有引力大小为F1＝Geq \f(M′m,r′2)＝Geq \f(\f(1,8)Mm,2R＋\f(1,2)R2)＝eq \f(1,50)Geq \f(Mm,R2)，则剩余部分对质点的万有引力大小为F2＝F－F1，解得F2＝Geq \f(41Mm,450R2)，故选C.
考向3 重力和万有引力的关系
例5 某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M.科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍．已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A.eq \r(\f(GM,10R3))B.eq \r(\f(GM,11R3))
C.eq \r(\f(1.1GM,R3))D.eq \r(\f(GM,R3))
答案 B
解析 设赤道处的重力加速度大小为g，物体在两极时万有引力大小等于重力大小，即Geq \f(Mm,R2)＝1.1mg，在赤道时万有引力大小等于重力和自转所需的向心力的合力大小，即Geq \f(Mm,R2)＝mg＋mω2R，由以上两式解得该行星自转的角速度为ω＝eq \r(\f(GM,11R3))，故选B.
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：
Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg.
考向4 地球表面下重力加速度的计算
例6 (2023·湖北省模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像．若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是( )
答案 D
解析 设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(M′,\f(4,3)πR－h3)，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有Geq \f(M′m,R－h2)＝mg，联立以上两式并整理可得g＝eq \f(GM,R3)(R－h)，由该表达式可知D正确，A、B、C错误．
考点三 天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
(2)天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2．利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
考向1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
例7 宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)．求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
答案 (1)eq \f(2h,t2) (2)eq \f(2hR2,Gt2) (3)eq \f(3h,2πRGt2)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝eq \f(1,2)g月t2
月球表面的自由落体加速度大小g月＝eq \f(2h,t2)
(2)不考虑月球自转的影响，有Geq \f(Mm,R2)＝mg月，得月球的质量M＝eq \f(2hR2,Gt2)
(3)月球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq \f(3h,2πRGt2).
考向2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
例8 (2023·广东广州市检测)2021年10月16日6时56分，“神舟十三号”采用自主快速交会对接模式成功对接于“天和”核心舱径向端口，与此前已对接的“天舟二号”、“天舟三号”货运飞船一起构成四舱(船)组合体，随后3名航天员从“神舟十三号”载人飞船进入“天和”核心舱．若核心舱绕地球的运动可视为匀速圆周运动，已知引力常量G，则由下列物理量可以计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地球运行的半径
B．核心舱的质量和绕地球运行的周期
C．核心舱绕地球运行的角速度和周期
D．核心舱绕地球运行的线速度和角速度
答案 D
解析 已知核心舱绕地球运行的线速度v和角速度ω，可得核心舱绕地球运行的半径为r＝eq \f(v,ω)，核心舱绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得M＝eq \f(v2r,G)＝eq \f(v2·\f(v,ω),G)＝eq \f(v3,Gω)，D正确；根据万有引力提供向心力可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(v2r,G)＝eq \f(ω2r3,G)＝eq \f(4π2r3,GT2)，与核心舱的质量无关，只知道核心舱绕地球运行的半径或只知道周期，求不出地球的质量，A、B错误；根据角速度和周期的关系T＝eq \f(2π,ω)，根据万有引力提供向心力可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，不知道核心舱绕地球运行的半径，求不出地球的质量，C错误．
例9 (多选)(2023·黑龙江省鹤岗一中高三检测)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v.已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响．下列选项正确的是( )
A．月球平均密度为eq \f(3v2,4πGR2)
B．月球平均密度为eq \f(3v2r,4πGR3)
C．月球表面重力加速度大小为eq \f(v2,R)
D．月球表面重力加速度大小为eq \f(v2r,R2)
答案 BD
解析 由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得M＝eq \f(v2r,G)，月球体积V＝eq \f(4,3)πR3 ，所以月球平均密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3v2r,4πGR3) ，故A错误，B正确；在月球表面，有Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得月球表面重力加速度大小为g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(v2r,R2)，故C错误，D正确．
课时精练
1．在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是( )
A．开普勒通过分析第谷的天文观测数据，发现了万有引力定律
B．丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点
C．卡文迪许通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人
D．伽利略利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用
答案 C
解析 万有引力定律是由牛顿发现的，故A错误；日心说是哥白尼提出的，故B错误；卡文迪许通过扭称装置测出了引力常量，由黄金代换式可得地球质量，故C正确；牛顿利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，故D错误．
2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相等时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案 C
解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是同一个常数，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相等的时间内扫过的面积相等，不同行星在相等时间内扫过的面积不相等，故D错误．
3．(2023·河南省孟津县一中检测)国际小行星中心于2021年10月8日确认公布了中国科学院紫金山天文台发现的一颗新彗星，命名为C/2021 S4.这颗彗星与太阳的最近距离约为7 AU，绕太阳转一圈约需要1 000年，假设地球绕太阳做圆周运动，地球与太阳的距离为1 AU，引力常量已知．则( )
A．由以上数据不可估算太阳的质量
B．由以上数据可估算太阳的密度
C．彗星由近日点向远日点运动时机械能增大
D．该彗星与太阳的最远距离约为193 AU
答案 D
解析 地球环绕太阳做圆周运动时，由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，由于地球的轨道半径和公转周期及引力常量G已知，则可估算中心天体(太阳)的质量，A错误；由于太阳的半径未知，则太阳的密度不能估算，B错误；彗星由近日点向远日点运动的过程中，只有太阳的引力做功，则机械能守恒，C错误；由开普勒第三定律可得eq \f(a3,r3)＝eq \f(T慧2,T2)，代入数据得彗星的半长轴为a＝100 AU，所以彗星与太阳的最远距离约为2a－7 AU＝193 AU，D正确．
4．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g′，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响．则( )
A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
答案 AD
解析 设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝eq \f(2v0,g)，因此得eq \f(g′,g)＝eq \f(t,5t)＝eq \f(1,5)，选项A正确，B错误；由Geq \f(Mm,R2)＝mg得M＝eq \f(gR2,G)，则eq \f(M星,M地)＝eq \f(g′R星2,gR地2)＝eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(1,80)，选项C错误，D正确．
5．国产科幻巨作《流浪地球》引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论．其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系．假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为( )
A．8年 B．6年 C．4年 D．2年
答案 A
解析 由开普勒第三定律得eq \f(R3,T2)＝eq \f(\f(R＋7R,2)3,T′2)，解得T′＝8年，选项A正确．
6．(多选)(2023·广东广州市模拟)北京时间2021年5月19日12时03分，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭，成功将海洋二号D卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满成功．卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r、运行周期为T，地球的半径为R，引力常量为G.下列说法正确的是( )
A．卫星的线速度大小为eq \f(2πr,T)
B．地球的质量为eq \f(4π2R3,GT2)
C．地球的平均密度为eq \f(3π,GT2)
D．地球表面重力加速度大小为eq \f(4π2r3,R2T2)
答案 AD
解析 卫星的线速度大小为v＝eq \f(2πr,T)，选项A正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得地球的质量为M＝eq \f(4π2r3,GT2)，选项B错误；地球的平均密度为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)，选项C错误；地球表面重力加速度大小为g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(4π2r3,R2T2)，选项D正确．
7．(2023·广东中山市模拟)2020年12月17日凌晨，“嫦娥五号”返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．若用弹簧测力计在月球表面测得质量为m的物块重力为F，已知月球的半径为R，引力常量为G，月球的自转周期为T.则月球的质量约为( )
A.eq \f(FR,Gm) B.eq \f(FR2,Gm) C.eq \f(4π2R,GT2) D.eq \f(4π2R3,GT2)
答案 B
解析 由题意可知F＝mg，根据万有引力定律有Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得M＝eq \f(FR2,Gm)，故A错误，B正确；月球自转周期与自身质量无关，故C、D错误．
8．(多选)(2022·重庆卷·9)我国载人航天事业已迈入“空间站时代”．若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的eq \f(17,16)倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则( )
A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为eq \f(17πR,8T)
C．地球的平均密度约为eq \f(3π,GT2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,17)))3
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,17)))2倍
答案 BD
解析 漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供向心力，做匀速圆周运动，处于完全失重状态，视重为零，故A错误；根据匀速圆周运动的规律，可知空间站绕地球运动的线速度大小约为v＝eq \f(2π×\f(17,16)R,T)＝eq \f(17πR,8T)，故B正确；设地球质量为M，空间站的质量为m，其所受万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,16)R))2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,16)R))，则地球的平均密度约为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,16)))3eq \f(3π,GT2)，故C错误；根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,16)R))2)＝ma，则空间站绕地球运动的向心加速度大小为a＝eq \f(GM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,16)R))2)，地面的重力加速度为g＝eq \f(GM,R2)，可得eq \f(a,g)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,17)))2，即空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度大小的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,17)))2倍，故D正确．
9．将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A．g0小于g
B．地球的质量为eq \f(gR2,G)
C．地球自转的角速度为ω＝eq \r(\f(g0－g,R))
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR)
答案 C
解析 设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极有mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得M＝eq \f(g0R2,G)，故B错误；由Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得ω＝eq \r(\f(g0－g,R))，故C正确；地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g0,4πGR)，故D错误．
10．(2023·广东湛江市模拟)一个轨道半径等于地球半径2倍的地球卫星，绕地球转120°的时间为t，已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，由此可求得( )
A．地球半径为eq \f(9gt2,8π2)
B．地球半径为eq \f(9gt,32π)
C．地球的密度为eq \f(8π,3Gt2)
D．地球的密度为eq \f(4π,3gt2)
答案 C
解析 绕地球转120°的时间为t，则卫星的运行周期为3t，根据eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，Geq \f(Mm,R2)＝mg，r＝2R，解得R＝eq \f(9gt2,32π2)，故A、B错误；根据ρ＝eq \f(M,V)，V＝eq \f(4,3)πR3，解得ρ＝eq \f(8π,3Gt2)，故C正确，D错误．
11．(2021·全国甲卷·18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m．已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
答案 C
解析 忽略火星自转，则在火星表面有eq \f(GMm,R2)＝mg，可知GM＝gR2，设与运行周期为1.8×
105 s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r，由万有引力提供向心力可知eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，设近火点到火星中心的距离为R1＝R＋d1，设远火点到火星中心的距离为R2＝R＋d2，椭圆轨道半长轴为eq \f(R1＋R2,2)，由开普勒第三定律可知eq \f(r3,T2)＝eq \f(\f(R1＋R2,2)3,T2)，由以上分析可得d2≈6×
107 m，故选C.
12．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)( )
A.eq \f(R－d,R＋h)B.eq \f(R－d2,R＋h2)
C.eq \f(R－dR＋h2,R3)D.eq \f(R－dR＋h,R2)
答案 C
解析 设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小似近相等，有g＝Geq \f(M,R2).由于地球的质量为M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(G·ρ·\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq \f(g′,g)＝eq \f(R－d,R)；根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,R＋h2)＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝eq \f(GM,R＋h2)，所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,R＋h2)，eq \f(g′,a)＝eq \f(R－dR＋h2,R3)，故C正确，A、B、D错误．考情分析
开普勒行星运动定律
2022·湖南卷·T8 2022·浙江1月选考·T8 2021·全国甲卷·T18 2021·天津卷·T5 2021·北京卷·T6 2021·福建卷·T8
万有引力定律及应用
2022·全国乙卷·T14 2022·辽宁卷·T9 2022·河北卷·T2 2022·广东卷·T2 2021·全国乙卷·T18 2021·山东卷·T5 2020·全国卷Ⅰ·T15 2020·全国卷Ⅱ·T15 2020·山东卷·T7 2020·浙江7月选考·T7 2018·全国卷Ⅱ·T16
人造卫星
宇宙速度
2022·湖北卷·T2 2022·山东卷·T6 2021·湖南卷·T7 2020·全国卷Ⅲ·T16 2020·天津卷·T2
双星模型
2018·全国卷Ⅰ·T20
生活实践类
地球不同纬度重力加速度的比较
试题情境
学习探究类
开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等
eq \f(r3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量