抽象函数的性质--高考数学真题题源解密（新高考卷）

这是一份抽象函数的性质--高考数学真题题源解密（新高考卷），共46页。试卷主要包含了抽象函数的性质，抽象函数的模型，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、抽象函数的性质
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
二、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
模型3：若，则
①抽象函数求值
解题技法
抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x=⋯ ,−2,−1,0,1,2⋯ 等特殊值求抽象函数的函数值.
一、单选题
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】先赋值求出，接着赋值，求出，再赋值求出，最后赋值，即可求解.
【详解】令，得，所以；
令，，得，
又，所以；令，得；
令，，得.
故选：D.
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．0C．4D．
【答案】B
【分析】令结合得，令得，令，，得，令，分别令可以得到，令，得的周期为，所以.
【详解】因为，令，有，则或．
若，则令，有，得，与已知矛盾，所以．
令，有，则，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，有，得，
令，有，即，
所以，故，所以的周期为，
所以．
故选：B．
【点睛】方法点睛：赋值法解决抽象函数问题，通过对赋值，得到相应的函数值，进而研究函数性质或者得到待求函数值.
二、填空题
3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，，则 ， .
【答案】 12 6
【分析】利用赋值法可求的值，再求出，从而可求的值.
【详解】，
而即，
故，故，
故答案为：
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，，则
【答案】2
【分析】令， 或 ，再说明不合题意.
【详解】令 ， 得得 或 ，
当 时，令得 不合题意， 故 .
故答案为：2
5．（2025高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，满足 ，且，，则 .
【答案】0
【分析】在已知式中令可得．
【详解】由，
令，则
故答案为：0.
6．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在上的满足，且对于任意的，有，则 .
【答案】
【分析】令得或，排除即可.
【详解】在中，令，有，解得或，
若，则在中，令，有恒成立，但这与矛盾，
所以只能，经检验符合题意.
故答案为：.
②抽象函数的单调性与抽象不等式
解题技法
（1）抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x2的大小关系构造出一个大于（或小于）0的数.
（2）在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值.
一、单选题
1．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性及定义域得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为函数在定义域上是增函数，且，
则有，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
2．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.
【详解】由，可得，
因为是奇函数，且，所以，
因为在上单调递增，所以，
故不等式的解集为．
故选：D
3．（23-24高三下·吉林通化·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数单调性和奇偶性得到，画出曲线与曲线的图象，数形结合得到答案.
【详解】由奇函数可知，
，
又单调递增，则，
画出曲线与曲线的图象，
可以看出与有两个交点，
且与分别为两交点横坐标，
所以不等式的解集为．
故选：B
二、多选题
4．（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】CD
【分析】先利用函数是奇函数，将不等式转变为，再利用函数在上单调递增，将不等式转变为，求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
则不等式，可变形为，
因为函数在上单调递增，
则不等式成立，则，
解得，1，2符合题意，
故选：CD.
三、填空题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】先根据函数的解析式判断得出函数的奇偶性以及单调性．进而将原不等式转化为，即可结合函数的单调性列出不等式，求解即可得出答案．
【详解】由题意知函数定义域为R，且，
所以 为奇函数．
又函数均为R上的增函数，根据复合函数的单调性可知也为R上的增函数，
所以，为R上的函数．
由，得，所以，
解得，
故答案为：．
6．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知偶函数在区间上是严格减函数.若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据偶函数的性质及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为偶函数在区间上是严格减函数，
所以在上单调递增，
所以不等式，即，所以，即，
解得，
即的取值范围是.
故答案为：
③抽象函数的奇偶性
解题技法
抽象函数中求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简.
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为偶函数
C．为奇函数D．
【答案】C
【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.
【详解】因为，，
取，可得，又，所以；A对；
取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对；
取，可得，又， ；
所以，D对；
故选：C.
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A．B．14C．D．7
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性定义和性质即可求解.
【详解】因为为奇函数，
故，
，
，
，
故.
故选：C.
3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数，满足，且，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】D
【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原函数的对称关系.
【详解】因为，
所以，
即，
所以关于直线对称，
因为，
所以关于对称，即为偶函数.
故选：D
4．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法不正确的是（ ）
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】D
【分析】由奇函数性质及题意得且，因此即，进而得且即可判断A、B；由可得，结合奇函数的定义即可判断C、D.
【详解】因为为奇函数，所以，
又为奇函数，所以，
∴，即，
所以，且，
∴是周期为2的函数，且是奇函数，故A、B正确；
由得，
故由A、B得，
即为奇函数，故C正确；
由得，
所以为奇函数，故D错误；
故选：D.
二、多选题
5．（2024·河南·三模）定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．单调递增
【答案】BCD
【分析】利用赋值法可求及，故可判断各项的正误，也可以由题意得，结合条件推出的解析式，进而即可求解判断ABCD四个选项.
【详解】法1：令，则，
令，则，
若或，
若，则即，
由的任意性可得不恒成立，故不成立，故，
故A错误，B正确.
令，则，
故为奇函数，且，它为上的增函数，
故CD正确.
法2：由条件，得
，
由的任意性得为常数，
故代回去得：
，
所以由的任意性只能，即，为增函数，
所以，为奇函数，
故A错，BCD对.
故选：BCD.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】BCD
【分析】本题根据奇偶性的定义逐项判断即可得出结果.
【详解】对A，因为，所以不是奇函数，故A错误；
对B，因为，所以是奇函数，故B正确；
对C，因为，所以是奇函数，故C正确；
对D，因为，所以是偶函数，故D正确．
故选：BCD．
三、解答题
7．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）定义在上的单调函数满足且对任意x，都有．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)奇函数，理由见解析；
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求证，
（2）根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为对任意成立．即可换元利用二次不等式的性质求解.
【详解】（1）是奇函数，
理由如下：
由，①
令，代入①式，得，即．
令，代入①式，得，又，
则有．即对任意成立，
所以是奇函数．
（2），即，又在上是单调函数，
所以在上是增函数
又由（1）是奇函数．，
∴，对任意成立．
令，问题等价于对任意恒成立．
令，其对称轴．
当即时，，符合题意；
当时，对任意，恒成立．
解得．
综上所述，当时，对任意恒成立．
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且．
(1)求，，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明．
【答案】(1)，，
(2)偶函数，证明见解析
【分析】（1）令，求得，令，求得，令，求得，
（2）令，再结合（1）的结果和奇偶性的定义可得结论.
【详解】（1）令，得，
因为，所以．
令，得，
因为，所以．
令，得，
即，
因为，所以，所以．
（2）为偶函数．
证明如下：令，得，
由（1）得，
即，又的定义域为，所以为偶函数．
④抽象函数的对称性
解题技法
（1）若函数y=fax+b为偶函数，则函数图象关于直线x=b对称；若函数y=fax+b为奇函数，则函数图象关于点b,0对称.
（2）若函数fx在定义域上的图象是一条连续不断的曲线，则：①函数fx的图象关于直线x=a对称⇔ 导函数f′x的图象关于点a,0对称；②函数fx的图象关于点a,fa对称⇔ 导函数f′x的图象关于直线x=a对称.
一、多选题
1．（23-24高三下·山东·开学考试）函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，，则（ ）
A．B．关于对称C．D．为减函数
【答案】ABC
【分析】利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可.
【详解】由对于任意实数，
令，则，即,故A正确；
令，则，即，故B正确；
令，，则，
即，故C正确；
对于任意，则设，当时，，
则，即，
所以单调递增，故D错误．
故选：ABC
2．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是偶函数
C．D．的图象关于对称
【答案】BCD
【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得.
【详解】因为，，
令可得，解得或，
又当时，恒成立，所以，故A错误；
令，，则，即，
所以为偶函数，故B正确；
令，，则，所以，
令，，则，所以，故C正确；
令可得，
令，可得，又，
所以，即，
所以，
所以的图象关于对称，故D正确.
故选：BCD
3．（2024·广东·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（ ）
A．B．无最小值
C．D．的图象关于点中心对称
【答案】BCD
【分析】对于A，令即可；对于BC，令得，通过递推计算即可；对于D，令，得即可判断函数的图象关于点中心对称.
【详解】对于A，令，得，解得，故A错误；
对于B，令，则，且，即可知函数无最小值，故B正确；
对于C，由B知，，
所以，，
则
，故C正确；
对于D，令，则原式化为，
令，所以，即，
所以，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.
故选：BCD.
4．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）若定义在上的函数满足，且值域为，则以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．的图象关于中心对称
【答案】ACD
【分析】利用赋值法、函数的奇偶性和对称性，逐项判断即可.
【详解】对于选项A，令得，解得或，
令，得，
由的值域为，所以时，，不合题意，
所以，A说法错误；
对于选项B，令得，所以或，
令，得，即，
由的值域为，所以，
令得，所以或，
由的值域为，所以，B说法正确；
对于选项C，令得，
因为，所以，所以为偶函数，C说法错误；
对于选项D，若图象关于中心对称，则，由于定义域为，值域为，
若，则必有，与题设矛盾，故D说法错误；
故选：ACD
5．（2024·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．
【答案】BCD
【分析】利用赋值法求得即可判断A；利用赋值可得，并且判断出，由不等式的性质可得，即可判断B；利用函数的奇偶性以及的值即可判断C；利用等比数列的判定可得的通项公式，利用等比数列的求和公式可得，即可判断D．
【详解】令，，则，将代入得，即，故A错误；
由，令可得，若存在x使得，
则上式变为，显然不成立，所以，
又，
因为，所以，
将整理为，
因为，即，所以，故B正确；
令，
则，
且，所以为奇函数，故C正确；
当时，，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由可知，
因为，所以，
所以，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n项和进行分析，由此即可顺利得解．
二、单选题
6．（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于点对称D．关于点对称
【答案】C
【分析】由函数的平移变化即可求得出答案.
【详解】函数为奇函数，图象关于对称，
将函数向左平移一个单位可得函数，
则函数关于对称，
所以函数的图象关于对称.
故选：C.
7．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据条件得到的对称中心，再根据对称得到的对称中心.
【详解】因为为奇函数，所以，
即，
故的对称中心为，即，
由于函数与的图象关于直线对称，
且关于的对称点为，
故的对称中心为.
故选：D
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，的图象关于直线对称，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由的图象关于直线对称可得，函数为奇函数，则，可得，计算可求得.
【详解】因为函数的图象关于直线x＝2对称，则，可得
因为函数为奇函数，则，所以，
所以，故，即，
故f(x)是以4为周期的周期函数．
因为函数为奇函数，则，
故，
其他三个选项由已知条件 不能确定结果是否为0．
故选：A.
⑤抽象函数的周期性
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】首先得到的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得.
【详解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数，
所以，，又由函数为定义在上的奇函数，则，，
当时，，则，则，
所以，
故选：B．
2．（2024高三·全国·专题练习）定义域为R的函数满足，当时，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由得，所以将向区间进行转化，即可求得答案.
【详解】由，得，
故，
故选：D
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024B．C．D．0
【答案】D
【分析】根据表达式得出规律，即可求出的值.
【详解】由题意，
在中， 定义域为，，
当时，，解得：，
当时，，
即
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
……函数值周期性变化，周期为3，
∵，
可得：
，
故选：D.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，的图象关于直线对称，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由的图象关于直线对称可得，函数为奇函数，则，可得，计算可求得.
【详解】因为函数的图象关于直线x＝2对称，则，可得
因为函数为奇函数，则，所以，
所以，故，即，
故f(x)是以4为周期的周期函数．
因为函数为奇函数，则，
故，
其他三个选项由已知条件 不能确定结果是否为0．
故选：A.
5．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数，
又，所以，
所以，则是周期为的周期函数，
又因为，即，
又当时，，所以，解得，
所以，
所以.
故选：A
6．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数满足：，，则下列说法正确的有（ ）
A．是周期函数
B．
C．
D．图象的一个对称中心为
【答案】A
【分析】先证明得到A正确；再给出作为反例说明B，C，D错误.
【详解】对于A，由于，故.
从而，这就得到，所以，即.
所以是周期函数，故A正确；
对于B，C，D，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B，C，D错误；
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对条件进行适当的代数变形.
二、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）函数满足，且，则 ．
【答案】/
【分析】由已知可得到，然后利用和即可得到结果.
【详解】由，知.
所以，得.
故.
故答案为：.
8．（2024·安徽六安·模拟预测）若偶函数对任意都有，且当时，，则 ．
【答案】
【分析】由题意求得，可得的周期为6，则，即可求解.
【详解】由，且当时，，
得，
，
则是以6为周期的函数，
所以.
故答案为：
9．（2023·云南昆明·模拟预测）定义在上的函数满足：，对任意，，则 .
【答案】
【分析】利用赋值法可得，然后结合条件可得函数是周期为的周期函数，进而即得.
【详解】因为，
令，得，即，
由，，
令，，得，又，
因此，，，，，，，，…….
所以函数是周期为的周期函数，
所以，即.
故答案为：.
⑥抽象函数结合导数的应用
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】令，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数，
由，得，解得或
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先令，判断的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【详解】因为为偶函数，
所以，所以，
令，
因为为偶函数，
则，即，
即，
所以，
当时，，即在上单调递减，则在上单调递增，
由，即，
所以，即，解得或，
即实数的取值范围是．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，从而推导出，即可得到函数的单调性.
3．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用赋值法求出、、、的值，推出函数的周期，结合，每四个值为一个循环，即可求得答案.
【详解】由，令，得，所以，
由为奇函数，得，所以，
故①．
又②，
由①和②得，即，
所以，③
令，得，得，
令，得，得，
又④，
由③④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，
故，
所以，
所以
.
故选：B．
二、多选题
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，且，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于点对称
C．D．
【答案】BCD
【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求，最后利用函数与的关系求和.
【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称，即的图象关于直线对称，则
由，可得，又，
所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数，
所以，即，即函数的周期为4，
由，可得，因为的周期为4，所以，
则，即，所以的图象关于点对称，故B正确；
因为的图象关于直线对称，则，所以，所以，
因为的周期为4，所以的周期也为4.由，可得，所以，故C正确；
由，可得，所以，即，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，发现函数与的性质关系，以及解析式的关系.
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数及其导函数，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的关系式，采用赋值，赋变量的方法，结合函数的对称性和周期性，即可判断选项.
【详解】因为，所以的图像关于直线对称.令，得，故A项正确；
因为.所以，即，
所以，因为，所以，
即，所以，则的一个周期为4.
因为的图像关于直线对称，所以是的一个极值点，
所以，所以，则.故B项错误；
由，得，即.
所以，故C项正确；
设为常数），定义域为，
则，
又，所以，显然也满足题设，
即上､下平移均满足题设，显然的值不确定，故D项错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，以及抽象函数的导数问题，，即可正确得到.
6．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】法一、利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性可判定A、B、C选项，利用C的结论可判定D项；法二、构造函数，利用正、余弦函数的性质一一判定选项即可.
【详解】法一、由题意可知为上奇函数，即，
令
或0（舍去），故A错误；
令，
故B正确；
由条件可知，，
则有，
所以，则，故C正确；
由C：，即的一个周期为，
所以，故D错误.
法二、由题意可设，则，显然符合条件，
对于A项，，故A错误；
对于B项，，故B正确；
对于C项，，故C正确；
对于D项，，所以，
故D错误.
故选：BC
【点睛】思路点睛：抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令及构造并判定其是否相等可分别判定A、B、C选项，另外结合函数的奇偶性与其导函数奇偶性的关系可得出最终结果；还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更快捷的得出结果.
7．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．为偶函数B．为奇函数
C．函数是周期函数D．
【答案】BCD
【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由，故为奇函数，
若为偶函数，则，与条件不符，故A错误；
对B：由，则，
又，即，
即，又定义在上，
故为奇函数，故B正确；
对C：由，，，
所以，则，
所以，，
所以，所以，
则函数是周期函数的周期函数，函数是周期函数的周期函数，故C正确；
对D：由是周期函数的周期函数，
由，令，则，即，
令，则，即，
由，，
则，则关于对称，则关于对称，
又为奇函数，即关于中心对称，
故关于对称，则，
则，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
8．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.
【详解】由，
令，则，
因为，所以，故A错误；
令，则，①
所以，
因为为奇函数，所以为偶函数，，
所以，②
由①②并整理得，
即，
所以，
所以是周期为的周期函数，故，故B正确；
因为，所以，故C正确；
由上知，
在①中，令，得，所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质.
⑦抽象函数性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（ ）
A．2B．C．0D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值.
【详解】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有，
故函数的图象关于直线对称，∴，故，
∴，∴是周期为4的周期函数．
则．
故选：A．
2．（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A．-1B．0C．1012D．2024
【答案】B
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.
【详解】由，即的一个周期为4，
由为偶函数可知关于轴对称，即，
又可知，
所以，
显然，
所以.
故选：B
3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】借助抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性即可解答.
【详解】因为关于对称，有，
令，则，的图象关于对称.
由为偶函数，得，则的图象于对称，
因为，
所以，
即，则的图象关于对称.
所以，又，
所以，所以，
所以，所以为的一个周期，
因为图象关于对称，所以，
故，
所以由，得.
故选：C.
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知定义在R上的函数恒大于0，对，，都有，且，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．是奇数D．有最小值
【答案】D
【详解】对于A，，取，则，，选项A正确；
对于B，取，则，则，选项B正确；
对于C，取，，则，则，
取，，，
则，所以是奇数，选项C正确；
取函数，符合题目条件，但此时无最小值，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是得出，由此即可顺利得解.
5．（2024·吉林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，结合函数的周期性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数的定义域为，且，，
令，则，即，故为偶函数；
又，令，则，
又由，得，
即的图象关于点成中心对称，则；
，即，又结合为偶函数，
则，故，即4为的周期，
故，
故
，
故选：D
【点睛】方法点睛：（1）涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；（2）涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推导.
6．（2024·四川泸州·二模）已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．函数的图象关于直线对称D．
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取可判断C，对于B，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.
【详解】对于A，令，可得，得，
令，，代入已知等式得，
可得，结合得，
所以，故A错误；
对于D，因为，令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故D正确；
对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：
，，
两式相加易得，所以有，
即，
有，
即，所以为周期函数，且周期为，
因为，所以，所以，，
所以，
所以
，故B错误；
对于C，取，，满足及，
所以，又，
所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：
①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据可得函数对称轴，可判断①；根据可得函数周期，可判断③；根据，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称性求出，进而可得判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤.
【详解】由知直线为曲线的对称轴，①正确；
因为，所以
所以是周期为4的周期函数，③正确；
由为奇函数有，令得，则的图象关于点对称，
又直线为曲线的对称轴，以是周期为4的周期函数
则的对称中心为，②错误；
令，则，所以，在中，令，则.
于是，，，，则，所以，④正确；
因为的图象关于点对称，因为周期为4，
所以，所以为奇函数，⑤错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：
一是若函数是偶函数，则函数关于直线对称；若函数是奇函数，则函数关于点中心对称；
二是若对任意都有，则是以为周期的函数；若对任意都有，则也是以为周期的函数.
8．（2023·福建宁德·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②必为奇函数；③；④若，则.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令，得出，变量代换可判断③；利用赋值法求出部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算，判断④，即可得答案.
【详解】令，则由可得，
故或，故①错误；
当时，令，则，则，
故，函数既是奇函数又是偶函数；
当时，令，则，所以，
则，即，则为奇函数，
综合以上可知必为奇函数，②正确；
令，则，故.
由于，令，即，即有，故③正确；
对于D，若，令 ，则，则，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
，
由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，
故，故④正确，
即正确的是②③④，
故选：C.
【点睛】难点点睛：本题考查了抽象函数的性质的综合应用，解答时要注意利用赋值法求值，难点在于④的判断，要结合函数值的计算得出函数值具有周期性，从而求解.
9．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（ ）
A．1012B．2024C．D．
【答案】D
【分析】根据得到，故，求导得到，两边求导得到，从而得到，故，故是的一个周期，其中，根据周期性求出答案.
【详解】由于，则，
两式相加得，
故，
所以，
故，即，
其中两边求导得，，
故，
故，
将替换为得，
又，
故，
将替换为得，
则，
故是的一个周期，
其中，
故，
故.
故选：D
【点睛】结论点睛：
设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．
10．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．函数的周期为2D．
【答案】C
【分析】选项A，偶函数的导函数是奇函数，可得到函数是奇函数，过原点，可做出判断；选项B，构造函数，判断其奇偶性，进而得到的图象特征；选项C，两个对称性得到周期性，因为为偶函数，得，因为为奇函数，可得：，自变量代换后化简可得，即可做出判断；选项D，先求出，并归纳出，由，归纳出，再利用周期性，将表示为，求值即可.
【详解】对于选项A，因为为偶函数，
其导函数为奇函数，
将代入，得，得，选项A正确；
对于选项B，因为为偶函数，
所以为奇函数，且，
则的图象关于点对称，选项B正确；
对于选项C，因为为偶函数，可得：，
即，
因为为奇函数，可得：，
即，得，
所以，即，
则，
可知的周期为4，选项C错误；
对于选项D，因为为偶函数，可得：关于对称，
由且关于对称，知，
又的周期为4，可得和，
合并后，可得：.
选项C中有等式，即，
则有成立，
有：
选项D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题CD的关键是利用其奇偶性和对称性得到其周期性，再计算出，结合其周期进行求和从而判断D选项.
二、多选题
11．（23-24高三上·福建福州·阶段练习）已知函数是上的偶函数，对于任意的，都有成立，当且时，都有则下列命题中，正确的为（ ）
A．
B．直线是函数的图象的一条对称轴
C．函数在上为增函数
D．函数在上有四个零点
【答案】ABD
【分析】由题意知可求出，并结合函数为偶函数，即可对A、B项判断；利用可求出函数单调性并结合函数的偶函数性质，即可对C项判断，由函数的周期性结合函数的零点，可对D项判断.
【详解】对于A：对于任意，都有成立，令，则，又因为是上的偶函数，所以.故A正确.
对于B：由（1）知，所以的周期为，
又因为是上的偶函数，所以，
而的周期为，所以，
所以，所以直线是函数的图象的一条对称轴.故B正确.
对于C：当，且时，都有，
所以函数在上为增函数，
因为是上的偶函数，所以函数在上为减函数，
而的周期为，所以函数在上为减函数，故C错误；
对于D：的周期为，所以，
函数在上有四个零点.故D正确.
故选：ABD.
12．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数满足，，则（ ）
A．B．
C．的定义域为RD．的周期为4
【答案】ABD
【分析】赋值，令，即可判断A；令，可判断C；令，结合函数奇偶性定义可判断B；令，推出，即可推出函数的周期，判断D.
【详解】令，则，即，A正确，
令，则无意义，即的定义域不为R，C错误；
由可知，
令，则，即，
故，B正确；
，
故，即的周期为4，D正确，
故选：ABD
【点睛】方法点睛：本题考查了抽象函数的知识的综合应用，涉及到函数定义域、求函数值、以及奇偶性和单调性问题，解答此类题目一般采用赋值法，以及结合函数的奇偶性以及单调性定义进行解答.
13．（2024·新疆喀什·三模）已知函数的定义域为，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．有最大值
C．D．函数是奇函数
【答案】AD
【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解.
【详解】对于A中，令，可得，令，
则，解得，所以A正确；
对于B中，令，且，则，
可得，
若时，时，，此时函数为单调递增函数；
若时，时，，此时函数为单调递减函数，
所以函数不一定有最大值，所以B错误；
对于C中，令，可得，
即，
所以
，所以C错误；
对于D中，令，可得，可得，
即，所以函数是奇函数，所以D正确；
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出，及证明函数是奇函数.
14．（2024·新疆·三模）已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是
A．B．
C．为奇函数D．
【答案】ABC
【分析】令即可判断A；令即可判断B；令可得，结合奇函数的定义即可判断C；由选项C，令可得，求出的周期即可求解.
【详解】.
A：令，得，则，故A正确；
B：令，得，即，
又且，所以，解得，故B正确；
C：令，得，即，
得，所以，得，
所以，则为奇函数，故C正确；
D：由选项C知，又，
得①，令替换成，得②，
①②相加，得，则，
得，即的周期为3，所以，
因为，
所以，故D错误.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：对于含有，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
15．（2024·河南·一模）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ）
A．的图象关于点中心对称B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果.
【详解】由题意可得，两式相减可得①，
所以的图象关于点成中心对称，故A错误；
由②，②式两边对求导可得，
可知是偶函数，以替换①中的可得，
可得，所以是周期为4的周期函数，故B正确；
因为，可知也是周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，所以，故C正确；
因为，令，则，即，
又因为是偶函数，所以，又因为是周期为4的周期函数，
则，由可得，
所以，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.
16．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.
【详解】由，
令，则，
因为，所以，故A错误；
令，则，①
所以，
因为为奇函数，所以为偶函数，，
所以，②
由①②并整理得，
即，
所以，
所以是周期为的周期函数，故，故B正确；
因为，所以，故C正确；
由上知，
在①中，令，得，所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质.
17．（2024·河北秦皇岛·二模）已知函数满足：对，都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对赋值，代入计算并结合条件分析可判断AB，赋值后可判断函数为偶函数，再令得出，再由可判断C，求出函数周期，利用周期判断D.
【详解】令，则，
令，则，所以，
因为，所以，
令，，则，故A正确；
结合选项A可得，所以或.
若，则，所以，
此时与矛盾，舍去；
若，则，解得，
因为，所以，故B错误；
令，则，
因为，，所以，所以为偶函数，
令，则，
所以，
令，则，即，故C正确；
由为偶函数，所以，
则，则，
即，所以是周期为4的周期函数，
又，
所以，故D正确.
故选：ACD.
18．（2024·安徽合肥·三模）已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由是偶函数可得是奇函数，，进而结合已知证明是周期函数，且周期为即可判断A选项；对已知条件分别令和得并联立方程即可判断B选项；根据，是周期函数求解即可判断C；根据，结合的周期性求解即可.
【详解】解：由是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，故．
对于A，由，得，
所以，
代入，得，
又因为是奇函数，
所以，，
即，
所以是周期函数，且周期为，故A正确；
对选项B，令得，，
令得，，故，故B正确；
对于C：令，得，
因为是周期函数，且周期为，
所以，
因为，所以，故C错误；
对于D：由得，
，
由A选项知，令得，故，
因为是周期函数与奇函数，且周期为，
所以，即，
因为，所以
所以
故D错误．
故选：AB
①抽象函数求值
②抽象函数的单调性与抽象不等式
③抽象函数的奇偶性
④抽象函数的对称性
⑤抽象函数的周期性
⑥抽象函数结合导数的应用
⑦抽象函数性质的综合应用