高考数学一轮复习题型归纳讲义 专题11 立体几何 11.2外接球和内切球 题型归纳讲义 （原卷版+解析版）

中考数学复习策略（仅供参考）

中考复习中，数学占据了一定的位置，那么初三数学生要从哪几方面着手复习呢?

1、学生在第一轮复习阶段不要只钻难题、偏题，也不要搞题海战术，要注重学习方法，回归课本，抓住典型题目进行练习。

课本上的例题最具有典型性，可以有选择地做。在做例题时，要把其中包含的知识点抽出来进行总结、归纳，不要就题论题。另外，对于一些易错题，要在复习阶段作为重点复习，反复审题，加强理解。

2、要注重知识点的梳理，将知识点形成网络。学生经过一学期的学习，要将知识点进行总结归纳，找出区别与联系。

把各章的知识点绘制成知识网络图，将知识系统化、网络化，把知识点串成线，连成面。

3、要注重总结规律，加强解题后的反思。

期末考试前，学校一般都会组织模拟练习，学生要认真对待，注意记录、总结老师对模拟练习的讲评分析。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。

专题十一 《立体几何》讲义

11.2  外接球与内切球

题型一. 长方体模型

1．已知球O面上的四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC，则球O的体积等于（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC，

由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，

∴CD为球的直径，CD3，

∴球的半径R，

∴V球πR3．

故选：D．

2．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2，AD＝BC＝2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为　200π　．

【解答】解：四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2，AD＝BC＝2，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．

设长方体的长宽高分别为a，b，c．

则，

那么：2（a2+b2+c2）＝400．

a2+b2+c2＝200．

长方体的对角线：，

外接球的半径2R．

∴R＝5．

四面体A﹣BCD外接球的表面积S＝4πR2＝200π．

故答案为：200π．

3．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为　　．

【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，

∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，

∵球O的半径为，

∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝PC＝2

球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离

设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积VS△ABC×hS△PAB×PC2×2×2

△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC2，

∴h

∴正方体中心O到截面ABC的距离为

故答案为

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题型二. 柱体模型

1．（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）

A．π B． C． D．

【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，

∴该圆柱底面圆周半径r，

∴该圆柱的体积：V＝Sh．

故选：B．

2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于　8π　．

【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，

设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，

∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，

在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，

∴由余弦定理得：，∴，

∴由正弦定理得：2r，∴r＝1，

∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM，MC＝r＝1，

∴R2＝12+12＝2，

∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，

故答案为：8π．

3．若三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A．10π B．18π C．20π D．9π

【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，

故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P﹣ABC，

所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，

所以外接球的直径2R，

则R，

所以该球的表面积为20π．

故选：C．

声明：试

题型三. 正棱锥模型

1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）

A． B．16π C．9π D．

【解答】解：设球的半径为R，则

∵棱锥的高为4，底面边长为2，

∴R2＝（4﹣R）2+（）2，

∴R，

∴球的表面积为4π•（）2．

故选：A．

2．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的

三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，

设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，∴a

该正三棱锥的体积：．

故选：C．

3．如图ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，S﹣ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：设球的半径为R，则

∵底面正方形的外接圆的半径为，

∴由勾股定理可得R2＝（）2+（2﹣R）2，

∴R，

∴球的表面积为4πR2π．

故选：D．

题型四. 一般锥的外接球

1．已知三棱锥D﹣ABC四个顶点均在半径为R的球面上，且，AC＝2，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为　　．

【解答】解：因为，AC＝2，

则AB⊥BC，且△ABC外接圆的半径为1，

因为该三棱锥体积的最大值为，

则V，

则h＝4，即点D到平面ABC的距离最大为4，

设球的半径为R，则R2＝1+（4﹣R）2，

解之得R，

则表面积为，

故答案为：．

2．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（　　）

A．64π B．65π C．66π D．128π

【解答】解：由于PB＝PC，取BC的中点为O'，则PO'⊥BC，

由于平面ABC⊥平面PBC，

即有PO'⊥平面ABC，

∵PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，

∴PB＝6，PO'＝4，

△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，

∴sin∠ABC，

∴2r，

设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，

则（）2+h2＝（4h）2+（4）2＝R2，

解得R．

球O的表面积为4πR2＝65π，

故选：B．

3．在菱形ABCD中，A＝60°，AB，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小为，则三棱锥P﹣BCD的外接球体积为（　　）

A．π B．π C．π D．π

【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC，PE＝CE

设△BCD的外接圆的圆心与球心的距离为h，

三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，

∴R，h，

∴三棱锥P﹣BCD的外接球体积为．

故选：C．

4．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝4，则此棱锥的体积为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC外接圆的半径，

所以点O到平面ABC的距离，

SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为，

此棱锥的体积为，

故选：A．

题型五. 内切球

1．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（　　）

A． B． C． D．2π

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，

则2πr，

∴r＝1，h2，

设内切球的半径为R，则，

∴R，VπR3π（）3π，

故选：A．

2．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　）

A．1：3 B．1： C． D．

【解答】解：三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，

设侧棱长为a，则

它的对角线的长度为：a

球的半径为：，

再设正三棱锥内切球的半径为r，

根据三棱锥的体积的两种求法，得

[3]×r，

∴r，

∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为．

故选：D．

3．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内切球，则球O的表面积为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，该八面体的棱长为2，

设球O的半径为r，，解得r

所以球O的表面积为：4．

故选：A．

课后作业. 外接球与内切球

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积是　π　．

【解答】解：如图，∵底面ABCD为菱形，

∴OA⊥OB，

∴AB中点N为△AOB的外心，

取PA中点M，

则MN∥PB，

∵PB⊥底面ABCD，

∴MN⊥底面ABCD，

∴M为三棱锥P﹣AOB的外接球球心，

∵PB＝1，∠APB，

∴AP＝2，

∴外接球半径为1，

体积为π，

故答案为：．

2．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　　）

A．π B．2π C．π D．3π

【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A

∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，

∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R＝2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O＝1，

∴Rt△O1OA中，O1A．

又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE＝AO1cos30°．

∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，

∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．

此时截面圆的半径r，

可得截面面积为S＝πr2．

故选：C．

3．（2018·全国3）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）

A．12 B．18 C．24 D．54

【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB＝6，

球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：

O′C，OO′2，

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，

则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：18．

故选：B．

4．已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）

A． B．6π C． D．8π

【解答】解：如图取BD中点H，AC中点M，连接MH

因为AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC

所以BD⊥CH，BD⊥AH，则BD⊥面ACH，三角形ACH是等腰直角三角形．所以MH⊥AC，所以∠AHM＝45°，AH，

所以球心必落在直线MH上，设为点O，连接OA、OD，则OA＝OD＝OC＝OB．

设OH＝x，在三角形OHD中，HD＝1，所以OD2＝x2+1

在三角形AOH中，OA2＝x22﹣2xcos45°

所以x2+1＝x22﹣2xcos45°，解得x，所以

故外接球的表面积S＝4

故选：A．

5．（2011·辽宁）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（　　）

A．3 B．2 C． D．1

【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD．因为线段SC是球的直径，

所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC＝∠SBC＝90°

所以在Rt△SAC中，SC＝4，∠ASC＝30° 得：AC＝2，SA＝2

又在Rt△SBC中，SC＝4，∠BSC＝30° 得：BC＝2，SB＝2 则：SA＝SB，AC＝BC

因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD

在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD

又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：VAB•S△SCD，

因为：SD，CD，SC＝4 所以由余弦定理得：cos∠SDC＝（SD2+CD2﹣SC2）（16）

则：sin∠SDC

由三角形面积公式得△SCD的面积SSD•CD•sin∠SDC3

所以：棱锥S﹣ABC的体积：VAB•S△SCD

故选：C．

6．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC，AP＝3，AB＝2，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 　57π　；则三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为 　　．

【解答】解：如图，

Q是边BC上的一动点，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，

则当AQ⊥BC时，∠PQA，由tan，得AQ，

在△ABQ中，BQ，

∵sin，∴，则∠CAQ，

由tan∠CAQ，得CQ，

∴BC＝BQ+CQ＝3+3＝6，设△ABC外接圆的半径为r，

则2r，可得r．

设三棱锥外接球的半径为R，则，

可得外接球的表面积S＝4πR2＝57π；

在Rt△AQC中，AC，可得△ABC是等腰三角形，

三棱锥P﹣ABC的表面积为S＝2236，

设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r′，

则r′，解得r′．

即三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为．

故答案为：57π；．

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