2023-2024学年甘肃省白银市靖远一中高二（下）期末数学模拟试卷（含答案）

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这是一份2023-2024学年甘肃省白银市靖远一中高二（下）期末数学模拟试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U=R，A={x|0≤x≤2}，B={x|x>0}，则(∁UA)∩B=( )
A. {x|x<0}B. {x|02}
2.复数(i−1)21+i=( )
A. 1+iB. −1−iC. −1+iD. 1−i
3.双曲线x24−y29=1的渐近线方程为( )
A. 3x±2y=0B. 2x±3y=0C. 9x±4y=0D. 4x±9y=0
4.已知等比数列{an}，Sn是其前n项和，S2=3a2，则S3a3=( )
A. 72B. 8C. 7D. 14
5.若函数f(x)=alnx−x的单调递增区间是(0,2)，则a=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
6.某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价x(元)和销售额y(元)的数据，整理得到下面的散点图：

已知销售额y=单价x×销量z，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量z与单价x的回归方程类型的是( )
A. z=a+bxB. z=a+bxC. z=a+bx2D. z=a+bex
7.已知椭圆C的方程为x225+y29=1，其中P1，P2，⋯，P9依次将椭圆C的下半部分分成10等份，若F是椭圆的右焦点，则|P2F|+|P3F|+|P7F|+|P8F|=( )
A. 10B. 16C. 20D. 12
8.已知方程|lnx|=kx+2在(0,e5)上恰有3个不等实数根，则实数k的取值范围是( )
A. 3e5,1e3B. 3e5,1e3C. 2e4,1e2D. 2e4,1e2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：
由上述数据给出下列结论，其中正确的是( )
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)；
A. 能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效
B. 不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效
C. 能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效
D. 不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效
10.下列说法正确的是( )
A. 设随机变量X服从二项分布B(5,12)，则P(X=3)=516
B. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，且P(x<4)=P(x>−2)，则μ=2
C. 设随机变量ξ服从二项分布(n,p)，若n≤4，则D(ξ)≤1
D. 已知随机变量ξ服从两点分布，P(ξ=1)=p，且011.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AA1=2AB，P为面对角线B1C上的一个动点，则下列说法正确的有( )
A. BD1⊥平面A1C1D
B. 三棱锥P−A1DC1的体积为定值
C. 异面直线AB与A1C1所成角的正切值为1
D. 异面直线B1C与A1C1所成角的余弦值为 1010
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0).若点P(x,1,2)在平面ABC内，则x= ______．
13.某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：
现已求得如表数据的线性回归方程为y =0.9x+12，但由于某种失误，丢失了其中一个数据，则丟失的数据是______．
14.抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(2,1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经过抛物线上的另一点B反射后，平行于入射光线射出，则|AB|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某学校为丰富学生的课余生活，利用下午放学后的1个小时时间，组织多种形式的文体兴趣小组.经过一个学期后，学校对兴趣小组满意度进行调查，现从该校的初、高中学生中随机抽取200人作为样本，得到如表(单位：人次)．
(1)通过上表判断能否有95%的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关；
(2)现利用分层抽样的方法从调查的学生中按满意与不满意的标准抽取出8人，再从这8人中任选2人，记X为这2人中为满意的人数，求X的分布列和数学期望．
16.(本小题15分)
如图，AB是圆柱底面圆O的直径，点C、F是AB的两个三等分点，CD、BE为圆柱的母线．
(1)求证：EF//平面OCD；
(2)设AC=12CD=2，M为OE的中点，求二面角D−AC−M的余弦值．
17.(本小题15分)
前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近6年这个城市“共享单车”保有量数据如表：
(1)从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X，求X的分布列及期望；
(2)用函数y=menx(m>0)对两个变量x，y的关系进行拟合，求y关于x的回归方程(系数精确到0.01)．
参考数据：x−=3.5,y−=4.1,i=16xi2=91，设ti=lnyi,t−=1.16,i=16xiti=31.89,e−0.35≈0.7047．
参考公式：回归直线方程y−=b x+a 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =i=1nxiyi−nx−⋅y−i=1nxi2−nx−2，a=y−−bx−．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x212+y24=1及直线l：x−y+t=0．
(1)若直线l与椭圆没有公共点，求实数t的取值范围；
(2)P为椭圆C上一动点，若点P到直线l距离的最大值为6 2，求直线l的方程．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−a+1ex+x22−ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a∈(0,1)，设g(x)=f(x)−f(0)．
(ⅰ)证明：函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的零点；
(ⅱ)记(ⅰ)中的零点为x0，证明：当x∈(0,x0)时，ex参考答案
1.D
2.B
3.A
4.C
5.D
6.B
7.C
8.A
9.AD
10.ACD
11.BCD
12.−2
13.30
14.254
15.解：(1)根据题意，得到2×2的列联表，如下表所示：
零假设H0：兴趣小组的满意度与初、高中学生无关，
则χ2=200×(85×35−15×65)2100×100×150×50≈10.667>3.841，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，可以判断H0不成立，
即有95%的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关；
(2)由题意，满意的中学生抽取8×150200=6人，则不满意的学生中抽取2人，
故X的可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=C60C22C82=128,P(X=0)=C61C21C82=37,P(X=0)=C62C20C82=1528，
所以变量X的分布列为：
则E(X)=0×128+1×37+2×1528=32．
16.(1)证明：连结BF，
∵点C、F是AB的两个三等分点，
∴BF//OC，∴BF//平面OCD；
又CD、BE均为圆柱的母线，∴BE//CD，
∴BE//平面OCD，
又BE∩BF=B，∴平面BEF//平面OCD，
又EF⊂平面BEF，∴EF//平面OCD．
(2)解：连结BC，
∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，
又CD为圆柱的母线，故CD、CA、CB两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
由条件，D(0,0,4)，A(2,0,0)，C(0,0,0)，O(1, 3,0)，E(0,2 3,4)，M(12,32 3,2)，
CA=(2,0,0)，CM=(12,32 3,2)，
设平面ACM的法向量n1=(x,y,z)，则n1⋅CA=2x=0n1⋅CM=12x+32 3y+2z=0，
取y=4，得n1=(0,4,−3 3)，
取平面ACD的法向量n2=(0,1,0)，
∴cs〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1||n2|=4 43=4 4343，
故所求二面角D−AC−M的余弦值为4 4343．
17.解：(1)X的所有取值为0，1，2，
P(X=0)=C42C20C62=25,P(X=1)=C41C21C62=815,P(X=2)=C40C22C62=115，
∴X的分布列为：
∴E(X)=0×25+1×815+2×115=23.(6分)
(2)对y=menx(m>0)两边取自然对数得：lny=lnm+nx，
设t=lny，∴t=lnm+nx，
∵n=i=16xiti−6x−t−i=16xi2−6x2=31.89−6×3.5×1.1691−6×3.52≈0.43，
t−=lnm+nx−⇒lnm=t−−0.43x−=1.16−0.43×3.5≈−0.35，
又e−0.35≈0.7047，∴m≈0.70，∴y=0.70⋅e0.43x.(12分)
18.解：(1)联立方程组x−y+t=0x212+y24=1，消去y得：4x2+6tx+3t2−12=0，
因为直线l与椭圆C没有公共点，
所以Δ=36t2−4×4×(3t2−12)<0，解得t>4或t<−4，
所以实数t的取值范围为(−∞,−4)∪(4,+∞)；
(2)由题意，点P到直线l距离的最大值，
等价于与直线l平行且与椭圆C相切的直线与直线l间的距离，
由(1)中，Δ=36t2−4×4×(3t2−12)=0，解得t=4或t=−4，
此时直线l1：x−y−4=0或直线l2：x−y+4=0与椭圆C相切，
当l1与l之间的距离为6 2时，可得|t+4| 12+(−1)2=6 2，解得t=8或t=−16(舍去)，
当l2与l之间的距离为6 2时，可得|t−4| 12+(−1)2=6 2，解得t=−8或t=16(舍去)，
综上，所求直线l的方程为x−y−8=0或x−y+8=0．
19.解：(1)由f(x)=x−a+1ex+x22−ax，
f′(x)=(x−a)ex−1ex，令f′(x)=0，得x=a或x=0．
当a>0时，由f′(x)>0，得x>a或x<0，由f′(x)<0，得0所以f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减，
当a=0时，由f′(x)=x(ex−1)ex>0，得x∈R，
所以f(x)在R上单调递增
当a<0时，由f′(x)>0，得x0，由f′(x)<0，得a所以f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减．
综上所述，当a>0时，f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减；
当a=0时，f(x)在R上单调递增；
当a<0时，f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减．
(2)(i)证明：当a∈(0,1)时，g(x)=f(x)−f(0)=f(x)+a−1，
g(x)与f(x)的单调性相同，
由(1)知，当a∈(0,1)时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，
所以g(a)g(2a+2)=f(2a+2)−f(0)=a+3e2a+2+2a+2>0，
由零点存在定理有g(x)在(a,2a+2)上有唯一零点，
所以函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的零点．
(ii)证明：设ℎ(x)=ex−x1−a−1，则ℎ′(x)=ex−11−a，
由ℎ′(x)>0，得x>−ln(1−a)，
由ℎ′(x)<0，得0所以ℎ(x)在(0,−ln(1−a))上单调递减，在(−ln(1−a),+∞)上单调递增．
又因为ℎ(0)=0，所以要证明当x∈(0,x0)时，ex只要证明ℎ(x0)≤0，即证ex0≤x01−a+1，
即证x0+1−aex0≥1−a，
因为f(x0)=f(0)，即12x02−ax0+x0+1−aex0=1−a，
所以只要证明12x02−ax0+x0+1−aex0≤x0+1−aex0，即证x0≤2a．
因为f(x)在(a,+∞)上单调递增，所以只需证明f(x0)≤f(2a)．
因为f(x0)=f(0)，所以只需证明f(2a)≥f(0)．
因为f(2a)−f(0)=a+1e2a−(1−a)，
设φ(a)=a+1(1−a)e2a−1,a∈(0,1)，
则φ⁢⁢′(a)=(1−a)e2⁢⁢⁢a−(a+1)(−e2a+2⁢⁢(1−a)e2⁢⁢⁢a)(1−a)2e4⁢⁢⁢a=2a2(1−a)2e2⁢⁢⁢a>0，
所以φ(a)在(0,1)上单调递增，
所以φ(a)>φ(0)=0，
所以f(2a)>f(0)，即原不等式得证．患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
没服用药
20
30
50
总计
30
75
105
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
零件数x/个
10
20
30
加工时间y/分钟
21
39
满意度
初中学生
高中学生
男生
女生
男生
女生
满意
45
40
35
30
不满意
5
10
15
20
年份代号x
1
2
3
4
5
6
保有量y(万辆)
1
1.8
2.7
4
5.9
9.2
初中学生
高中学生
合计
满意
85
65
150
不满意
15
35
50
合计
100
100
200
X
0
1
2
P
128
37
1528
X
0
1
2
P
25
815
115

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