北京市2023-2024学年高三上学期入学定位考试数学试卷

这是一份北京市2023-2024学年高三上学期入学定位考试数学试卷，共26页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）（2023•北京开学）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|﹣2＜x≤4}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，1）C．（1，4）D．（﹣3，4]
2．（4分）（2023•北京开学）已知复数z的共轭为，若z+＝2，则z的实部为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣iD．i
3．（4分）（2023•北京开学）在（a+x）3的展开式中，x的系数为12，则实数a的值为（ ）
A．±1B．±2C．﹣3D．4
4．（4分）（2024春•龙马潭区期中）直线y＝x+1被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1所截得的弦长为（ ）
A．1B．C．2D．3
5．（4分）（2023秋•怀柔区校级月考）下列函数中，没有对称中心的是（ ）
A．B．f（x）＝x3C．f（x）＝tanxD．f（x）＝2|x|
6．（4分）（2023•北京开学）已知函数f（x）＝1﹣2sin2x，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
7．（4分）（2023•北京开学）等差数列{an}的其前n项和为Sn，若a1＝1，S4＝a2a3+1，则{an}的公差为（ ）
A．2或﹣2B．2或C．﹣2或D．﹣3或2
8．（4分）（2023•北京开学）已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为钝角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（4分）（2023•北京开学）抛物线W：y2＝2px的焦点为F．点F关于原点O的对称点为A．若以F为圆心的圆经过点A且与W的两个交点为B，C，则下面结论正确的是（ ）
A．△BOC一定是钝角三角形
B．△BOC可能是锐角三角形
C．△ABC一定是钝角三角形
D．△ABC可能是锐角三角形
10．（4分）（2023秋•浙江月考）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADD1A1上运动，满足B1Q⊥平面AD1P，则线段PQ的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）（2023•北京开学）函数的定义域为 ．
12．（5分）（2023•北京开学）过双曲线的右焦点F作x轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若△OAB为等边三角形，则W的渐近线方程为 ，W的离心率为 ．
13．（5分）（2023•北京开学）在△ABC中，，且，则a＝ ，c＝ ．
14．（5分）（2023•北京开学）函数只有一个零点，则a的一个值为 ；a的最大值为 ．
15．（5分）（2023•北京开学）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn＝kn+b，其中k，b不同时为0．给出下列四个结论：
①当k＝0时，{an}为等比数列；
②当k≠0时，{an}一定不是等差数列；
③当k＝b时，{an}为常数列；
④当k＞b时，{an}是单调递增数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）（2023•北京开学）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ABB1A1是正方形，且，点E为BC的中点，点F在直线A1D1上．
（1）若C1F∥平面AA1E，求证：CF∥平面AA1E；
（2）求二面角A﹣A1E﹣D1的余弦值．
17．（13分）（2023秋•怀柔区校级月考）已知f（x）＝sin（x+φ）+acsx，其中．
（1）若，求φ的值；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求f（x）的单调递增区间．
条件①：；
条件②：．
18．（14分）（2023•北京开学）为了解员工每日健步走的情况，某单位工会随机抽取了300名员工，借助计步小程序统计了他们每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步），按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）试估计该单位全体员工日行步数（单位：千步）的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）；
（2）单位工会从全体员工中随机选取3人，记ξ表示3人中每日健步数在14千步以上的人数，求随机变量ξ的分布列和期望；
（3）假设单位员工甲、乙、丙三人某日健步走的步数分别为a，b，c，且a∈[4，10），b∈[10，16），c∈[16，20]，且a，b，c∈N，则三人当日健步走的步数的方差s2最小时，写出a，b，c的一组值（不要求证明）．（单位：千步）
注：s2＝[x1﹣）2+（x2﹣）2+……+（xn﹣）2]，其中＝（x1+x2+……+xn）．
19．（15分）（2023•北京开学）已知函数，曲线y＝f（x）在（0，f（0））的切线为y＝﹣x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求证：函数在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）求函数f（x）的零点个数，并说明理由．
20．（15分）（2023•北京开学）已知椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当椭圆焦点在x轴上时，直线l：y＝kx﹣1与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为的直线与l交于点M，点N满足PN∥x轴，MN⊥x轴，求证：点N在直线上．
21．（15分）（2024春•汉寿县校级月考）给定正整数k，m，其中2≤m≤k，如果有限数列{an}同时满足下列两个条件，则称{an}为（k，m）﹣数列．记（k，m）﹣数列的项数的最小值为G（k，m）．
条件①：{an}的每一项都属于集合{1，2，3，⋯，k}；
条件②：从集合{1，2，3，⋯，k}中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是{an}的子数列．
注：从{an}中选取第i1项、第i2项、…、第is项（其中i1＜i2＜⋯＜is）形成的新数列称为{an}的一个子数列．
（1）分别判断下面两个数列是否为（3，3）﹣数列，并说明理由：
数列A1：1，2，3，1，2，3，1，2，3；
数列A2：1，2，3，2，1，3，1；
（2）求证：G（k，2）＝2k﹣1；
（3）求G（4，4）的值．
2023-2024学年北京市高三（上）入学定位数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）（2023•北京开学）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|﹣2＜x≤4}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，1）C．（1，4）D．（﹣3，4]
【考点】并集及其运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】根据并集的概念运算可得答案．
【解答】解：因为A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|﹣2＜x≤4}，
所以A∪B＝{x|﹣3＜x≤4}．
故选：D．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2．（4分）（2023•北京开学）已知复数z的共轭为，若z+＝2，则z的实部为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣iD．i
【考点】共轭复数；复数的运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】设复数z的代数形式，根据共轭复数的概念和复数的加法运算法则可求出结果．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，
由得a+bi+a﹣bi＝2，即a＝1．
所以z的实部为1．
故选：A．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，属于基础题．
3．（4分）（2023•北京开学）在（a+x）3的展开式中，x的系数为12，则实数a的值为（ ）
A．±1B．±2C．﹣3D．4
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；数学运算．
【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果．
【解答】解：（a+x）3的展开式的通项公式为，k＝0，1，2，3．
由已知得，得a＝±2．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
4．（4分）（2024春•龙马潭区期中）直线y＝x+1被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1所截得的弦长为（ ）
A．1B．C．2D．3
【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】根据圆心（2，3）在直线y＝x+1上可得结果．
【解答】解：由已知得圆心为（2，3），半径r＝1，
因为圆心（2，3）在直线x﹣y+1＝0上，
所以直线y＝x+1被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1所截得的弦长为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系应用，考查计算能力，属于基础题．
5．（4分）（2023秋•怀柔区校级月考）下列函数中，没有对称中心的是（ ）
A．B．f（x）＝x3C．f（x）＝tanxD．f（x）＝2|x|
【考点】正切函数的奇偶性与对称性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】结合常见函数图像及性质分别判断各个选项即可．
【解答】解：的对称中心是（﹣1，0），A不正确；
f（x）＝x3的对称中心是（0，0），B不正确；
f（x）＝tanx的对称中心是，k∈Z，C不正确；
f（x）＝2|x|结合指数型函数的图像可知函数无对称中心，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的对称性，属于基础题．
6．（4分）（2023•北京开学）已知函数f（x）＝1﹣2sin2x，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【考点】函数的值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据二倍角的余弦公式可求出结果．
【解答】解：．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．
7．（4分）（2023•北京开学）等差数列{an}的其前n项和为Sn，若a1＝1，S4＝a2a3+1，则{an}的公差为（ ）
A．2或﹣2B．2或C．﹣2或D．﹣3或2
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】根据题意，设公差为d，进而列出关于d的方程，解方程求出公差d，即可得到答案．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
可得，
而a2a3+1＝（a1+d）（a1+2d）+1＝（1+d）（1+2d）+1，
结合已知条件，得4+6d＝（1+d）（1+2d）+1，整理得2d2﹣3d﹣2＝0，解得d＝2或．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项与求和公式、一元二次方程的解法等知识，属于基础题．
8．（4分）（2023•北京开学）已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为钝角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；充分条件与必要条件．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】结合向量数量积运算法则计算即可．
【解答】解：不共线的两个非零向量，
因为“与所成角为钝角，所以，
所以“与所成角为钝角”是“”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量所成的角，属于基础题．
9．（4分）（2023•北京开学）抛物线W：y2＝2px的焦点为F．点F关于原点O的对称点为A．若以F为圆心的圆经过点A且与W的两个交点为B，C，则下面结论正确的是（ ）
A．△BOC一定是钝角三角形
B．△BOC可能是锐角三角形
C．△ABC一定是钝角三角形
D．△ABC可能是锐角三角形
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】对应思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】由题意，联立圆和抛物线线方程求出B，C坐标，再利用二倍角的正切公式即可判断选项A和选项B，利用等腰直角三角形性质即可判断选项C和选项D．
【解答】解：不妨设p＞0，B位于第一象限，C位于第四象限，
因为，，
所以圆的方程为，
联立，
解得或，
所以，，
此时xB＝xF，
则BF⊥AF，
所以，
又对称性得，
因为∠BOC∈（0，π），
所以，
则△BOC一定是钝角三角形，故选项A正确，选项B错误；
又AF＝BF＝p，且AF⊥BF，
所以三角形ABF为等腰直角三角形，
此时，
由根据对称性可得，
所以三角形ABC为直角三角形，故选项C，选项D错误．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
10．（4分）（2023秋•浙江月考）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADD1A1上运动，满足B1Q⊥平面AD1P，则线段PQ的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设P（0，m，0），0≤m≤1，Q（n，0，t），根据线面垂直得到方程组，求出t＝n，m＝1﹣n，从而求出，得到线段PQ的最小值．
【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），D1（0，0，1），B1（1，1，1），
设P（0，m，0），0≤m≤1，Q（n，0，t），
所以，
，
因为B1Q⊥平面AD1P，
所以，故t＝n，
，故m＝1﹣n，
其中，
故，
故当时，||2取得最小值，此时满足要求，
所以线段PQ的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）（2023•北京开学）函数的定义域为 {x|0≤x＜1} ．
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据对数函数以及幂函数的定义域列式可得结果．
【解答】解：由函数f（x）有意义得，得0≤x＜1．
所以函数f（x）的定义域为{x|0≤x＜1}．
故答案为：{x|0≤x＜1}．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
12．（5分）（2023•北京开学）过双曲线的右焦点F作x轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若△OAB为等边三角形，则W的渐近线方程为 ，W的离心率为 ．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】对应思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】由题意，根据等边三角形的性质以及双曲线渐近线方程得到，再利用离心率公式即可．
【解答】解：已知双曲线渐近线方程为，
若过双曲线W的右焦点F作x轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A，B，
因为△OAB是等边三角形，
此时，
所以渐近线方程为，
此时．
故答案为：；．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
13．（5分）（2023•北京开学）在△ABC中，，且，则a＝ 1 ，c＝ 1 ．
【考点】正弦定理．
【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．
【分析】由正弦定理求a，由余弦定理求c．
【解答】解：由正弦定理，得，
由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcsC，得，得c＝1．
故答案为：1；1．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
14．（5分）（2023•北京开学）函数只有一个零点，则a的一个值为 0（答案不唯一） ；a的最大值为 1 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】分a＝0，a＜0和a＞0讨论即可．
【解答】解：当a＝0时，，
当x≥0，令x2＝0，解得x＝0，
当x＜0，令﹣x＝0，解得x＝0，因为x＜0，故舍去，
则a＝0时，f（x）只有一个零点0；
当a＞0时，令﹣x+a＝0，解得x＝a，又因为x＜a，舍去；
令x2﹣a＝0，解得或，又因为x＞a＞0，所以，
若要取得这个零点，则，解得0≤a≤1，又因为a＞0，所以0＜a≤1；
显然当a＜0时，﹣x+a＝0，x＝a（舍去），且x2﹣a＝0无实数解，故a＜0时，f（x）无零点；
综上：0≤a≤1，则amax＝1．
故答案为：0（答案不唯一满足0≤a≤1即可）；1．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数的性质，也考查了函数的零点、分类讨论思想，属于中档题．
15．（5分）（2023•北京开学）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn＝kn+b，其中k，b不同时为0．给出下列四个结论：
①当k＝0时，{an}为等比数列；
②当k≠0时，{an}一定不是等差数列；
③当k＝b时，{an}为常数列；
④当k＞b时，{an}是单调递增数列．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】根据题意，由an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）化简可得，代入k＝0可判断出①正确；然后利用，可判断出②不正确，且③正确；最后利用是减函数可判断出④正确，从而得出答案．
【解答】解：根据题意，an+Sn＝kn+b，记为（1）式，
当n＝1时，a1+a1＝k+b，可得，
当n≥2时，an﹣1+Sn﹣1＝k（n﹣1）+b，记为（2）式，
由（1）式与（2）式相减，可得an﹣an﹣1+an＝kn﹣k（n﹣1）＝k，即，
整理得，记为（3）式，
对于①，将k＝0代入（3）式，可得，首项，
因此，{an}是首项，公比为等比数列，故①正确；
对于②③，当k≠0时，由（3）可知{an﹣k}是以为首项，公比为等比数列，
可得，，
因此，当b＝k时，an＝k，此时{an}是常数列，且{an}是等差数列，故②错误③正确；
对于④，当k＞b时，b﹣k＜0，由前面的结论，
结合是减函数，可知是递增函数，
因此，{an}是单调递增数列，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查数列的递推关系、等差数列与等比数列的通项与性质，属于中档题．考查了思维能力、运算能力，解题的关键点是利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）构造．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）（2023•北京开学）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ABB1A1是正方形，且，点E为BC的中点，点F在直线A1D1上．
（1）若C1F∥平面AA1E，求证：CF∥平面AA1E；
（2）求二面角A﹣A1E﹣D1的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】（1）利用面面平行的判定证明平面CC1F∥平面AA1E，再利用面面平行的性质即可证明；
（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出二面角余弦值．
【解答】解：（1）连接C1F，因为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以CC1∥BB1∥AA1，
又因为AA1⊂平面AA1E，CC1⊄平面AA1E，所以CC1∥平面AA1E，
又因为CC1∩C1F＝C1，CC1，C1F⊂平面CC1F，所以平面CC1F∥平面AA1E，
又因为CF⊂平面CC1F，所以CF∥平面AA1E．
（2）以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
因为侧面ABB1A1是正方形，所以，又因为点E为BC的中点，
则，
则，
设平面AA1E的一个法向量为，
则，即，则z＝0，令x＝﹣1，则，
所以平面AA1E的一个法向量为，
设平面A1D1E的一个法向量为，
则，即，则b＝0，令a＝1，则c＝1，
所以平面A1D1E的一个法向量为，
设二面角A﹣A1E﹣D1的平面角为α，
，
又由图可知二面角A﹣A1E﹣D1的为鈍二面角，
则二面角A﹣A1E﹣D1的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
17．（13分）（2023秋•怀柔区校级月考）已知f（x）＝sin（x+φ）+acsx，其中．
（1）若，求φ的值；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求f（x）的单调递增区间．
条件①：；
条件②：．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】（1）代入，计算出，结合，求出φ的值；
（2）选①，用三角恒等变换化简得到，利用整体法求出单调递增区间；
选②，先用三角恒等变换化简得到，利用整体法求出单调递增区间．
【解答】解：（1），
因为，所以，
（2）若选①，，
，
令，解得，
故f（x）的单调递增区间为；
若选②，，
，
令，解得，
故f（x）的单调递增区间为．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质应用，考查计算能力，属于中档题．
18．（14分）（2023•北京开学）为了解员工每日健步走的情况，某单位工会随机抽取了300名员工，借助计步小程序统计了他们每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步），按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）试估计该单位全体员工日行步数（单位：千步）的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）；
（2）单位工会从全体员工中随机选取3人，记ξ表示3人中每日健步数在14千步以上的人数，求随机变量ξ的分布列和期望；
（3）假设单位员工甲、乙、丙三人某日健步走的步数分别为a，b，c，且a∈[4，10），b∈[10，16），c∈[16，20]，且a，b，c∈N，则三人当日健步走的步数的方差s2最小时，写出a，b，c的一组值（不要求证明）．（单位：千步）
注：s2＝[x1﹣）2+（x2﹣）2+……+（xn﹣）2]，其中＝（x1+x2+……+xn）．
【考点】离散型随机变量的方差与标准差．
【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）以每组数据区间的中点值乘以相应频率相加即得均值；
（2）由ξ∼B（3，0.1），由二项分布写出离散型随机变量的分布列并计算数学期望；
（3）根据方差定义及意义判断选取即可．
【解答】解：（1）由题意有：
+0.11×2×13+0.03×2×15+0.015×2×17+0.005×2×19＝11.68（千步）．
（2）每日健步数在14千步以上的概率为0.03×2+0.015×2+0.005×2＝0.1，
则每日健步数在14千步以下的概率为1﹣0.1＝0.9，
由ξ∼B（3，0.1），
ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝0.93＝0.729，
，
，
P（ξ＝3）＝0.13＝0.001，
故ξ的分布列为：
E（ξ）＝np＝3×0.1＝0.3．
（3）依题意，a∈[4，10），b∈[10，16），c∈[16，20]，且a，b，c∈N，
因为方差s2反映了一组数据的波动情况，
所以要使方差最小，则a，b，c这3个数据要比较集中，
故c取[16，20]中的最小整数，即c＝16，
a取[4，10）中的最大整数，即a＝9，
b取最靠近平均数的数，令，得，
故b＝12或b＝13，
当b＝12时，平均数为，
方差为；
当b＝13时，平均数为，
方差为；
因为，
所以a＝9，b＝12，c＝16．
【点评】本题考查了均值和方差，考查分布列问题，是中档题．
19．（15分）（2023•北京开学）已知函数，曲线y＝f（x）在（0，f（0））的切线为y＝﹣x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求证：函数在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）求函数f（x）的零点个数，并说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；转化思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由题意，对函数f（x）直接求导得，根据f（0）＝1，f′（0）＝﹣1即可得到答案；
（2）易得，将函数在区间（1，+∞）上单调递增转化成求证f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立即可；
（3）通过求导得到f（x）的最小值，利用隐零点法证明f（x）min＞0即可．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为R，
可得，
因为曲线y＝f（x）在（0，f（0））的切线为y＝﹣x+1，
所以f（0）＝﹣b＝1，
解得b＝﹣1，
又f′（0）＝a﹣（1﹣b）＝a﹣2＝﹣1，
解得a＝1；
（2）由（1）知，
可得，
不妨设h（x）＝ex+x﹣2，函数定义域为R，
因为函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）＞h（1）＝e﹣1＞0，
此时f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
则函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）因为，
令f′（x）＝0，
解得ex+x﹣2＝0，
不妨设h（x）＝ex+x﹣2，
由（2）知h（x）在R上单调递增，
又h（0）＝﹣1，h（1）＝e﹣1＞0，
所以存在唯一零点x0∈（0，1）使得h（x）＝0，
则存在唯一零点x0∈（0，1）满足f′（x0）＝0，
此时，
整理得，
当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以
＝，
当x0∈（0，1）时，2﹣x0＞0，，
此时f（x）min＞0，
故函数f（x）的零点个数为0．
【点评】本题考查理由导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
20．（15分）（2023•北京开学）已知椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当椭圆焦点在x轴上时，直线l：y＝kx﹣1与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为的直线与l交于点M，点N满足PN∥x轴，MN⊥x轴，求证：点N在直线上．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征．
【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）分椭圆焦点在x轴和在y轴上两种情况进行求解；
（2）椭圆方程为，联立直线l与椭圆方程，得到，进而得到，从而求出经过点Q且斜率为的直线方程，联立直线l后得到，验证其在上．
【解答】解：（1）当椭圆焦点在x轴上时，，故，
解得b2＝1，所以此时椭圆方程为；
当椭圆焦点在y轴上时，，故，解得b2＝4，
此时椭圆方程为；
故椭圆C的方程为或；
（2）由题意可知，椭圆方程为，
联立，得（1+2k2）x2﹣4kx＝0，
设P（x1，y1），则，所以，
故，故，
所以经过点Q且斜率为的直线方程为，
联立直线l与直线m得，，
即，解得，
所以，又，故，
又，即满足；
所以点N在直线上．
【点评】本题考查了圆锥曲线的定义与性质应用问题，也考查了定值计算问题，是难题．
21．（15分）（2024春•汉寿县校级月考）给定正整数k，m，其中2≤m≤k，如果有限数列{an}同时满足下列两个条件，则称{an}为（k，m）﹣数列．记（k，m）﹣数列的项数的最小值为G（k，m）．
条件①：{an}的每一项都属于集合{1，2，3，⋯，k}；
条件②：从集合{1，2，3，⋯，k}中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是{an}的子数列．
注：从{an}中选取第i1项、第i2项、…、第is项（其中i1＜i2＜⋯＜is）形成的新数列称为{an}的一个子数列．
（1）分别判断下面两个数列是否为（3，3）﹣数列，并说明理由：
数列A1：1，2，3，1，2，3，1，2，3；
数列A2：1，2，3，2，1，3，1；
（2）求证：G（k，2）＝2k﹣1；
（3）求G（4，4）的值．
【考点】数列的应用．
【分析】（1）根据（k，m）﹣数列的定义进行判断可得结论；
（2）根据1，2；1，3；⋯，1，k；2，3；2，4；⋯；2，k；⋯等数列都是{an}的子数列，得到数列{an}中一定有1，2，3，⋯，k；k，1；k﹣1，1；k，2；k﹣1，2；⋯等数列都为{an}的子数列，得到数列{an}中一定有k，k﹣1，⋯，2，1，从而可得G（k，2）＝2k﹣1；
（3）从集合{1，2，3，4}中取出4个不同的数排成一列，可得24个数列，根据数列都是{an}的子数列中应包含这24个数列中的每一个数列可知数列{an}中一定有1，2，3，4，3，2，1，4，3，2，3，1，从而可得G（4，4）＝12．
【解答】解：（1）m＝3，k＝3，
数列A1和A2中每一项都属于集合{1，2，3}，符合条件①，
从集合{1，2，3}中取出3个不同的元素，排成一列得到1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1．
根据子数列的定义可知，以上6个数列都是数列A1的子数列，故数列A1是（3，3）﹣数列；
而数列3，1，2不是数列A2的子数列，故数列A2不是（3，3）﹣数列．
（2）m＝2，若从集合{1，2，3，⋯，k}中任取2个不同的数排成一列，得到的数列都是数列{an}的子数列，
则为了满足1，2；1，3；⋯，1，k；2，3；2，4；⋯；2，k；⋯等数列都是{an}的子数列，
则数列{an}中一定有1，2，3，⋯，k，
又为了满足k，1；k﹣1，1；k，2；k﹣1，2；⋯等数列都为{an}的子数列，
则数列{an}中一定有k，k﹣1，⋯，2，1，
则当数列{an}为1，2，3，⋯k，k﹣1，⋯，2，1时，取到G（k，2）的值，
故G（k，2）＝2k﹣1．
（3）m＝k＝4，从集合{1，2，3，4}中取出4个不同的数排成一列，可得1，2，3，4；1，2，4，3；1，3，2，4；1，3，4，2；1，4，2，3；1，4，3，2；
2，1，3，4；2，1，4，3；2，3，1，4；2，3，4，1，2，4，1，3；2，4，3，1；3，1，2，4；3，1，4，2；3，2，1，4；3，2，4，1；3，4，1，2；
3，4，2，1；4，1，2，3；4，1，3，2；4，2，1，3；4，2，3，1；4，3，1，2；4，3，2，1，共24个数列．
故数列{an}中一定有1，2，3，4，3，2，1，
为保证数列{an}的子数列中有1，3，2，4和1，4，2，3，则数列{an}中一定有1，2，3，4，3，2，1，4，3，
为保证数列{an}的子数列中有3，4，1，2，数列{an}中一定有1，2，3，4，3，2，1，4，3，2，
为保证数列{an}的子数列中有4，1，2，3和4，2，3，1，则数列{an}中一定有1，2，3，4，3，2，1，4，3，2，3，1，
故G（4，4）＝12．
【点评】本题考查数列的应用，正确理解（k，m）﹣数列的定义和G（k，m）的含义是解题关键．
ξ
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001