广东省深圳市2023-2024学年高二下学期7月期末调研考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省深圳市2023-2024学年高二下学期7月期末调研考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．集合,则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,为非零向量,则 “” 是 “” 的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中为真命题的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
5．已知a,b,c均为不等于1的正实数,若,,则( )
A.B.C.D.
6．从9名同学中选出4人去参加环保活动,若甲、乙两名同学至少有1名位参加,则选派方案共有( )
A.56种B.70种C.91种D.126种
7．P,Q分别是抛物线和x轴上的动点, ,则的最小值为( )
A.5B.C.D.2
8．已知,且,则的值为( )
A.B.C.-7D.7
二、多项选择题
9．已知互不相等的一组数据,,,的平均数为,记为,则,,,,这组新数据与原数据相比,一定不变的量有( )
A.极差B.中位数C.平均数D.标准差
10．已知函数 ,则( )
A.的最小正周期为B.的图象关于对称
C.在区间上单调递增D.在区间上有4个零点
11．已知点A,B为圆上两动点,且,点P为直线 :上动点,则( )
A.以为直径的圆与直线l相离B.的最大值为
C.的最小值为8D.的最小值为112
三、填空题
12．已知圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为________________.
13．已知函数,则不等式的解集为_______________.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线l与C的右支交于A,B两点,若,,则C的离心率为_______________.
四、解答题
15．设数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
16．在三棱锥中,平面,M,P分别是,的中点,点Q在棱上,且.
(1)求证:平面;
(2)若 ,求平面与平面夹角的余弦值.
17．某同学参加射击比赛, 每人配发颗子弹.射击靶由内环和外环组成, 若击中内环得8分,击中外环得4分,脱靶得0分. 该同学每次射击,脱靶的概率为,击中内环的概率为,击中外环的概率为,每次射击结果相互独立.只有前一发中靶,才能继续射击,否则结束比赛.
(1)若已知该同学得分为8分的情况下, 求该同学只射击了2发子弹的概率;
(2)设该同学最终得分为X,求X的分布列和数学期望.
18．已知函数 .
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明：函数有且仅有一个零点.
19．已知椭圆的焦距为,直线过点,且与椭圆E相交于P,Q两点,M是线段的中点,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若梯形的顶点都在椭圆E上,且,对角线和交于点M,线段的中点分别为G,H.
(i)证明：G,H,O,M四点共线;
(ii)试探究直线与直线的交点是否为定点,若是,请求出该定点并证明;若不是,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,
则.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为,所以,得到,所以,
故选：C.
3．答案：A
解析：因为,得到,
所以当时,有,
当时,成立,但得不出,
所以“” 是 “” 的充分不必要条件,
故选：A.
4．答案：D
解析：对于选项A,如图,在正方体中,取面为平面,直线为直线m,
直线为直线n,显然有,,但m不平行n,所以选项A错误,
对于选项B,如图,在正方体中,取面为平面,直线为直线,
面为平面,有,,但,所以选项B错误,
对于选项C,取面为平面,直线为直线m,直线为直线n,
因为,显然有,但,所以选项C错误,
对于选项D,因为,在内任取一点P,过直线m与点P确定平面,
则,由线面平行的性质知,又,所以,又,
所以,所以选项D正确,
故选：D.
5．答案：D
解析：由,,
,
故选：D.
6．答案：C
解析：从9名同学中选出4人去参加环保活动共有种,
甲、乙两名同学都不参加共有种,
若甲、乙两名同学至少有 1 名位参加有种,
故选：C.
7．答案：D
解析：设抛物线的焦点为,无论P在何处,的最小值都是P到x轴的距离,
所以的最小值和P到x轴的距离之和的最小值和P到准线的距离之和减去最小,
根据抛物线的定义问题转化为最小,显然当F,P,M三点共线时最小,最小值为.
故选：D.
8．答案：B
解析：因为①,所以,得到,
所以,又,②,
联立①②得到,,所以,
得到,则,
故选：B.
9．答案：AC
解析：设,,,中的最大数为M,最小数为N,因为,
显然有,所以选项A正确,
新数据的平均数为,
所以选项C正确,
不妨取这组数据为1,2,3,4,10,此时,中位数为3,
标准差为,
则,,,,,这组新数据为1,2,3,4,10,4,此时平均数为,
中位数为,标准差为,
所以选项B和D错误,
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：由,
的最小正周期为,故A对,
,对应的函数值是最值,故B对;
时,,此时t关于x单调递增,
在不单调,故 在区间 上不单调递增,故C错;
时,,此时t关于x单调递增,
即t与x是一一对应的,
,而关于t的三角函数方程在时,恰好有4个根：,,,,
又t与x是一一对应的,所以在区间上有4个零点,故D对,
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A,设的中点为C,连接,,则,,
所以,
所以点C在以O为圆心,为半径的圆上,
所以点C到直线l的距离的最小值为,
因为,所以以为直径的圆与直线l相离,所以A正确,
对于B,如图,当直线与直线l平行,且O,C,P共线时,则为等腰三角形,
此时,,,
则,
所以,所以,所以B错误,
对于C,因为,
所以
,
因为,
所以
,当,共线,且在之间时取等号,
所以的最小值为8,所以C正确,
对于D,因为,
所以,
所以
,当,共线,且在之间时取等号,
所以的最小值为112,所以D正确,
故选：ACD.
12．答案：
解析：设圆锥的底面圆的半径为r,母线为l,高为h,
由题有,解得,,所以,
所以圆锥的体积为,
故答案为：.
13．答案：
解析：由可得：,
所以函数是R上的增函数,
又由可得：函数是奇函数,
则,
即,
解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：令,则,,,
在中,由余弦定理得,
解得,则,,令,
在中,由余弦定理得,解得,
所以双曲线C的离心率.
故答案为：.
15．答案：(1),
(2)
解析：(1)
可知
上式相加得
所以数列的通项公式,.
(2),,
所以
所以数列的前n项和.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接AP并延长交BD于点N,连接NC,
过点M作BD的平行线交AN于点E,
因为,且M,P分别是,的中点,
,,即,又因为,
所以,又因为平面,平面,
所以 平面;
(2)取CD的中点T,连接,则,
设,以T为坐标原点,分别以TB,TD,垂直于平面的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
那么,,,,,,
设平面的法向量为,,,
所以,
令,则,,
所以平面的一个法向量为,
设平面与平面的夹角为,
因为平面的法向量为,
,
所以平面与平面夹角的余弦值为
17．答案：(1)
(2)分布列见解析,
解析：(1)记事件A：该同学得分为8分,事件B：该同学只射击了发子弹,
由题知,,
所以.
(2)由题知X可能取值为0,4,8,12,16,20,24,
,,,
,
,
,,
所以X的分布列为
.
18．答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：(1)易知函数的定义域为,,
令,,,对称轴为,
①当,即时,方程有两根为,,
（i）时,,时,,即,
时,,即,
（ii）时,,时,,即,
时, ,即,
②当,即时,方程的根为,
此时在区间上恒成立,当且仅当取等号,
③当,即时,在区间上恒成立,
综上所述,当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
时,函数的单调递增区间为,无减区间.
(2)由（1）知当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
当时,,
又,
又,所以,,则,,得到,
而时,,
由零点存在性原理知时,函数有且仅有一个零点,
当时,函数的单调递增区间为,
又,而时,,
由零点存在性原理知时,函数有且仅有一个零点,
综上,函数有且仅有一个零点.
19．答案：(1)
(2)(i)证明见解析;(ii),证明见解析
解析：(1)由直线过点,得,
联立,消y得：,易知,
设,,则,整理得：,
又因为,所以,解得,,
即椭圆.
（2）(i)不妨设,的中点为G,的中点为H,
再设,,,
由题可知直线斜率必存在,且,,
以上两式相减得,
即,同理,
因为可得：,则,即G,H,O三点共线;
又因为四边形是梯形,且与交于M,
由平面几何知识可知G,H,M三点共线,
即得证G,H,O,M四点共线;
(ii)由(i)可知,,而,
所以,
设直线的方程为：,设直线的方程为：,
联立,消去y并整理得,
由韦达定理得：,不妨设,
同理,,
因为,所以
化简得：,
即
上式两边平方化简得：,
由平面几何知识易知T,G,H三点共线,故设,
由,,可得,
,,
所以,即或（舍去）
化简得：,
结合,可得,
故直线与直线的交点为定点.
X
P