四川省遂宁市2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

这是一份四川省遂宁市2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题（本题共8小题共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的运算，即可得出答案.
【详解】根据交集的运算可得，.
故选：B.
2. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】比较两个不等式表示范围的大小，即可得出答案.
【详解】因为所表示的范围要小于所表示的范围，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定写出结论，即可判断得解.
【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定是：.
故选：B
4. 已知幂函数的图象过点，则（）
A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值
【详解】由题意令，由于图象过点，得，，所以，得
故选：D
5. 已知，则的最小值为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】直接由基本不等式运算即可.
【详解】因为，所以，即的最小值为4，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
6. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，代入，判断奇偶性；然后根据函数的形式，判断得出单调性，即可得出答案.
【详解】对于A项，设，定义域为R，
且，所以为奇函数.
当时，在上单调递增，且；
当时，在上单调递增，且.
所以，在定义域上为增函数.故A项正确；
对于B项，设，定义域为R，
且，所以，不是奇函数.故B项错误；
对于C项，设，定义域为R，
且，所以，为偶函数，不是奇函数.故C项错误；
对于D项，设，定义域为，
且，所以为奇函数.
又在上单调递减，上单调递减，故D项错误.
故选：A.
7. 已知是定义在上的单调递减函数，且，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围.
【详解】∵是定义在上的单调递减函数，且，
则，解得
故选：D..
8. 已知为定义在上的偶函数，对于且，有，，，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，结合函数单调性及奇偶性即可解不等式
【详解】设，因为，所以，
即，令，则有时，，
所以在上为增函数，
由题知为定义在上的偶函数，
易知为奇函数且在上为增函数，
因为，，所以，
所以
当时，，不等式不成立，
当时，等价于，即，则，
当时，等价于，即，则
综上所述：等式的解集为，
故选：C.
二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9. 设，则下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据不等式性质判断A、B；C、D选项举出反例即可.
【详解】对于A，由，故A对；
对于B，，因为，
所以，得，故B对；
对于C，若，，，故C错；
对于D，当时，，故D错.
故选：AB
10. 与表示同一个函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样得到答案.
【详解】定义域为，且.
对于A：，定义域也为，故A正确；
对于B：的定义域为，定义域不一样，故B错误；
对于C：，定义域与解析式都相同，故C正确；
对于D：的定义域为，定义域不一样，故D错误；
故选：AC.
11. 下列说法正确的是（）
A. 函数的单调递增区间为
B. 函数的值域为
C. 若定义在R上的幂函数，则
D. 若是奇函数，则一定有
【答案】BC
【解析】
【分析】求出的定义域即可判断A；利用分离常数法求值域判断B；利用幂函数的性质求值判断C；利用奇函数的定义结合举例判断D.
【详解】由，解得，可知当时，函数无意义，故A错误；
，∵，∴，
∴，即函数的值域为，故B正确；
若定义在R上的幂函数，则，得，故C正确；
若是奇函数，令，是奇函数，但函数在处无意义，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数，下面四个结论中正确的是（）
A. 的值域为
B. 是偶函数
C. 在区间上单调递增
D. 的图像与的图像有4个不同的交点
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的性质逐个判定即可.
【详解】易得的定义域为，
因为，所以为偶函数，B正确；
对于A：当时；
当时，
由对勾函数性质可知时，当且仅当取到等号，
所以，
因为为偶函数，所以时，
所以的值域为，A错误；
对于C：由A可知时，
由对勾函数性质可知在上单调递增，在单调递减，所以C错误；
对于D：当时，令，则，
此时，所以方程有两个不同的根，
又因为，所以方程有两个不同的正根，
因为为偶函数，所以当时也有两个负根，
所以图像与的图像有4个不同的交点，D正确，
故选：BD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知集合，且，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系即得
【详解】因为，且，所以得，
当时，符合互异性.所以.
故答案为：
14. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法结合条件即得.
【详解】令，则，
所以，
即.
故答案为：.
15. 已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据真命题得到不等式恒成立，求出参数的取值范围即可.
【详解】因为命题“”是真命题，所以恒成立，
①当时不等式恒成立，所以符合要求；
②当时，要使得恒成立，则，
解得，
综上可知，
故答案为：
16. 已知函数，若，使得有解，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意先构造，可得为奇函数，
且在上单调递增，即可由得，
将看作为关于的一次函数，结合，
有解，根据一次函数的单调性分类可得的取值范围.
【详解】由得，
设则
故为奇函数，
由得，
即，
当时，，
根据在单调递增，在单调递增，
故在单调递增，又为奇函数，
故在上单调递增，
故由得即，
由题意使得有解，
当时，，不符合题意；
当即时，，解得或，故；
当即时，，解得或，故，
综上可得实数的取值范围为，
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数的定义域为集合，集合．
（1）求集合；
（2）求．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接根据二次根式、分式有意义条件即可求解.
（2）先求出集合，再根据补集、并集的定义即可求解.
【小问1详解】
因为函数的定义域为集合，
则，解得，
即集合．
【小问2详解】
因为或，，
所以，或，则或．
18. 已知函数的解析式，
（1）求；
（2）若，求a的值；
【答案】（1）5；（2）0或.
【解析】
【分析】（1）根据自变量的范围选择相应的解析式可求得结果;
（2）按照三种情况,选择相应的解析式代入解方程可得结果.
【小问1详解】
，
,
故.
【小问2详解】
当时,,解得,成立;
当时,,解得或(舍);
当时,,解得,不成立，
的值为0或.
19. 已知集合，
从以下两个条件中任选一个，补充到第（2）问的横线处，求解下列问题．
①；②“”是“”的充分不必要条件；
（1）当时，求；
（2）若______，求实数的取值范围．
【答案】19.
20. 选①②，答案均为
【解析】
【分析】（1）根据并集概念求出答案；
（2）若选①，根据并集结果得到，从而得到不等式组，求出实数的取值范围；
若选②，得到⫋，得到不等式，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，集合，
所以；
【小问2详解】
若选择①，则，
因为恒成立，故，
又，所以，解得，
所以实数的取值范围是．
若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则⫋，
因为恒成立，故，
又，
所以或，解得，
所以实数取值范围是．
20. 已知函数.
（1）若为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，试判断在上的单调性并用定义法给出证明，写出此时的值域.
【答案】（1）1（2）单调递增，证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用函数为奇函数的性质求解即可；
（2）根据函数单调性的定义证明并利用单调性求值域.
【小问1详解】
因为，定义域为，且为奇函数，
所以，
所以，
即，解得.
【小问2详解】
由（1）知，，在上单调递增，
证明如下：
设，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
由的单调性可知，，即，
所以的值域为.
21. 已知函数.
（1）当时，求关于x不等式的解集；
（2）若在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1），1）（2，.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）原不等式等价于在上恒成立，分离参数得，令，利用基本不等式和不等式恒成立思想可得答案.
【小问1详解】
解：当时，则，由，得，
令，解得，或，
原不等式的解集为，1）（2，；
【小问2详解】
解：由即在上恒成立，从而有：，
令，则，当且仅当时取等号，，
故实数的取值范围是.
22. 若在函数定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质．
（1）当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由；
（2）若定义在上的函数具有性质，求的取值范围．
【答案】（1）函数具有性质M，
（2）．
【解析】
【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得，解得即可；
（2）首先将写出分段函数，再分和两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为在上单调递增，
所以在上的函数值的取值范围是，即，
显然，所以，
故函数具有性质．
【小问2详解】
解：，
因为在上单调递减，在上单调递增，
当时，单调递减，
∴，得，整理得，
∵与矛盾，∴当时，不合题意．
当时，在单调递增，
∴，知在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根，
令，，
由，，，知，