2025年高考数学一轮复习-第四章-第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第四章-第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课时作业【含解析】，共8页。
1.sin 105°的值为（ ）
A.3＋22B.2+12
C.6－24D.2＋64
2.设角θ的终边过点（2，3），则tanθ－π4＝（ ）
A.15B.－15C.5D.－5
3.已知sin（π＋α）＝13，｜α｜＜π2，则csα＋π6＝（ ）
A.22+36B.26+16
C.22－36D.26－16
4.（2024·辽宁大连）已知sinπ－α＝2sinπ2－α，则tanπ4＋α＝（ ）
A.－3B.3C.－4D.4
5.已知sin α＝223，cs（α＋β）＝－13，且α，β∈0，π2，则sin β等于（ ）
A.－12B.12C.－13D.429
6.（多选）下列式子的运算结果为3的是（ ）
A.2（sin 35°cs 25°－cs 35°sin 25°）
B.2（cs 35°cs 5°＋sin 35°sin 5°）
C.1+tan15°1－tan15°
D.tanπ61－tan2π6
7.（多选）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，下列各式正确的是（ ）
A.A＋B＝2CB.tan（A＋B）＝－3
C.tan A＝tan BD.cs B＝3sin A
8.（2024·广东揭阳）已知sin α＝45，csα＋β＝－725，且α∈0，π2，α＋β∈π2，π，则cs β＝ .
9.已知tanα－π6＝12，tanπ6－β＝13，则tan（α－β）的值为 .
10.（2024·重庆）2cs 15°sin 10°cs 20°＋cs 10°cs 70°－2cs 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值为 .
11.若sinπ4－α＝－12，sinπ4＋β＝32，其中π4＜α＜π2，π4＜β＜π2，则角α＋β的值为 .
[B组 能力提升练]
12.（2024·福建龙岩）已知－π2＜α－β＜π4，sin α＋2cs β＝2，cs α－2sin β＝1，则sinβ＋π3＝（ ）
A.33B.63C.36D.66
13.（2024·山东聊城）已知0＜α＜π2，2sin β－cs α＝1，sin α＋2cs β＝3，则csα＋π3＝（ ）
A.14B.－14C.13D.－13
14.（多选）下列计算正确的是（ ）
A.cs（－15°）＝6－24
B.sin 19°cs 26°－cs 19°sin 206°＝22
C.tan 105°＝－2－3
D.1+tan72°tan12°tan72°－tan12°＝3
15.（2024·山东潍坊）已知csπ4－α＝35，sin5π4＋β＝－1213，其中α∈π4，3π4，β∈0，π4，则tanαtanβ＝（ ）
A.－5663B.5663
C.－17D.17
16.已知cs α＝45，α∈（0，π），tan（α－β）＝12，则tan β等于 .
17.（2024·广东广州）已知tanα＋π3＝32，则3sinα＋csα3csα－sinα＝ .
2025年高考数学一轮复习-第四章-第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课时作业(解析版）
[A组 基础保分练]
1.sin 105°的值为（ ）
A.3＋22B.2+12
C.6－24D.2＋64
答案：D
解析：sin 105°＝sin（45°＋60°）＝sin 45°cs 60°＋cs 45°·sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64.
2.设角θ的终边过点（2，3），则tanθ－π4＝（ ）
A.15B.－15C.5D.－5
答案：A
解析：由于角θ的终边过点（2，3），所以tan θ＝32，tanθ－π4＝tanθ－11+tanθ＝32－11+32＝15.
3.已知sin（π＋α）＝13，｜α｜＜π2，则csα＋π6＝（ ）
A.22+36B.26+16
C.22－36D.26－16
答案：B
解析：∵sin（π＋α）＝－sin α＝13，∴sin α＝－13.
又｜α｜＜π2，∴cs α＝1－sin2α＝223，
∴csα＋π6＝cs αcsπ6－sin αsinπ6＝223×32＋13×12＝26+16.
4.（2024·辽宁大连）已知sinπ－α＝2sinπ2－α，则tanπ4＋α＝（ ）
A.－3B.3C.－4D.4
答案：A
解析：∵sinπ－α＝2sinπ2－α，∴sin α＝2cs α，即tan α＝2，
tanπ4＋α＝tanα＋tanπ41－tanπ4tanα＝1+tanα1－tanα＝1+21－2＝－3.
5.已知sin α＝223，cs（α＋β）＝－13，且α，β∈0，π2，则sin β等于（ ）
A.－12B.12C.－13D.429
答案：D
解析：因为sin α＝223，cs（α＋β）＝－13，且α，β∈0，π2，所以cs α＝13，sin（α＋β）＝223.
所以sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cs α－cs（α＋β）sin α＝429.
6.（多选）下列式子的运算结果为3的是（ ）
A.2（sin 35°cs 25°－cs 35°sin 25°）
B.2（cs 35°cs 5°＋sin 35°sin 5°）
C.1+tan15°1－tan15°
D.tanπ61－tan2π6
答案：BC
解析：对于A，2（sin 35°cs 25°－cs 35°sin 25°）＝2sin（35°－25°）＝2sin 10°≠3，不符合题意；对于B，2（cs 35°cs 5°＋sin 35°sin 5°）＝2cs （35°－5°）＝2cs 30°＝2×32＝3，符合题意；对于C，1+tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan（45°＋15°）＝tan 60°＝3，符合题意；对于D，tanπ61－tan2π6＝331－332＝3323＝32≠3，不符合题意.
7.（多选）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，下列各式正确的是（ ）
A.A＋B＝2CB.tan（A＋B）＝－3
C.tan A＝tan BD.cs B＝3sin A
答案：CD
解析：∵C＝120°，∴A＋B＝60°，
∴2（A＋B）＝C，
∴tan（A＋B）＝3，
∴选项A，B错误；
∵tan A＋tan B＝3（1－tan A·tan B）＝233，
∴tan A·tan B＝13.①
又tan A＋tan B＝233，②
∴联立①②，解得tan A＝tan B＝33，
∴cs B＝3sin A，故选项C，D正确.
8.（2024·广东揭阳）已知sin α＝45，csα＋β＝－725，且α∈0，π2，α＋β∈π2，π，则cs β＝ .
答案：35
解析：因为α∈0，π2，α＋β∈π2，π，
所以cs α＝1－sin2α＝1－452＝35，
sinα＋β＝1－cs2α＋β＝1－－7252＝2425，
所以cs β＝csα＋β－α＝csα＋βcs α＋sinα＋βsin α＝－725×35＋2425×45＝35.
9.已知tanα－π6＝12，tanπ6－β＝13，则tan（α－β）的值为 .
答案：1
解析：因为tanα－π6＝12，
tanπ6－β＝13，
所以tan（α－β）＝tanα－π6＋π6－β
＝tanα－π6＋tanπ6－β1－tanα－π6tanπ6－β＝12＋131－12×13＝1.
10.（2024·重庆）2cs 15°sin 10°cs 20°＋cs 10°cs 70°－2cs 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值为 .
答案：12
解析：原式＝2cs 20°sin 10°（cs 15°－sin 15°）＋cs 10°cs 70°
＝2cs 20°sin 10°×2cs（45°＋15°）＋cs 10°cs 70°
＝cs 20°sin 10°＋cs 10°sin 20°＝sin 30°＝12.
11.若sinπ4－α＝－12，sinπ4＋β＝32，其中π4＜α＜π2，π4＜β＜π2，则角α＋β的值为 .
答案：5π6
解析：∵π4＜α＜π2，π4＜β＜π2，
∴－π4＜π4－α＜0，π2＜π4＋β＜3π4，
∴csπ4－α＝1－sin2π4－α＝32，
csπ4＋β＝－1－sin2π4＋β＝－12，
∴cs（α＋β）＝csπ4＋β－π4－α
＝csπ4＋βcsπ4－α＋sinπ4＋β
sinπ4－α
＝－12×32＋32×－12＝－32.
又π2＜α＋β＜π，∴α＋β＝5π6.
[B组 能力提升练]
12.（2024·福建龙岩）已知－π2＜α－β＜π4，sin α＋2cs β＝2，cs α－2sin β＝1，则sinβ＋π3＝（ ）
A.33B.63C.36D.66
答案：B
解析：因为sin α＋2cs β＝2，则sin2 α＋4sin αcs β＋4cs2 β＝2.
因为cs α－2sin β＝1，则cs2 α－4cs αsin β＋4sin2 β＝1，
两式相加可得5＋4sinα－β＝3，
则sinα－β＝－12.
又－π2＜α－β＜π4，所以α－β＝－π6，即α＝β－π6，
代入sin α＋2cs β＝2可得sinβ－π6＋2cs β＝2，
则32sin β－12cs β＋2cs β＝2，即32sin β＋32cs β＝2，
所以3sinβ＋π3＝2，则
sinβ＋π3＝63.
13.（2024·山东聊城）已知0＜α＜π2，2sin β－cs α＝1，sin α＋2cs β＝3，则csα＋π3＝（ ）
A.14B.－14C.13D.－13
答案：B
解析：由2sin β－cs α＝1，得2sin β＝1＋cs α，得4sin2 β＝1＋2cs α＋cs2 α ①，
由sin α＋2cs β＝3，得2cs β＝3－sin α，得4cs2 β＝3－23sin α＋sin2 α ②，
①＋②得4＝5＋2cs α－23sin α＝5＋412csα－32sinα＝5＋4sinπ6－α，
即sinπ6－α＝－14，
则csα＋π3＝csα＋π3－π2＋π2＝
－sinα－π6＝sinπ6－α＝－14.
14.（多选）下列计算正确的是（ ）
A.cs（－15°）＝6－24
B.sin 19°cs 26°－cs 19°sin 206°＝22
C.tan 105°＝－2－3
D.1+tan72°tan12°tan72°－tan12°＝3
答案：BC
解析：对于A，原式＝cs（30°－45°）＝cs 30°cs 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24，故A错误.
对于B，原式＝sin 19°cs 26°＋cs 19°sin 26°＝sin（19°＋26°）＝sin 45°＝22，故B正确.
对于C，原式＝tan（45°＋60°）＝1+tan60°1－tan60°＝1+31－3＝－2－3，故C正确.对于D，原式＝1tan72°－tan12°1+tan72°tan12°＝1tan（72°－12°）＝1tan60°＝33，故D错误.
15.（2024·山东潍坊）已知csπ4－α＝35，sin5π4＋β＝－1213，其中α∈π4，3π4，β∈0，π4，则tanαtanβ＝（ ）
A.－5663B.5663
C.－17D.17
答案：C
解析：因为csπ4－α＝35，α∈π4，3π4，得π4－α∈－π2，0，所以sinπ4－α＝－45，所以cs α＝csπ4－α－π4＝csπ4－αcsπ4＋sinπ4－αsinπ4＝－210，sin α＝7210，所以tan α＝－7.
因为sin5π4＋β＝－1213，β∈0，π4，得5π4＋β∈5π4，3π2，所以cs5π4＋β＝－513，
sin β＝sin5π4＋β－5π4＝sin5π4＋β
cs5π4－cs5π4＋βsin5π4＝7226，cs β＝17226，所以tan β＝717，所以tanαtanβ＝－17.
16.已知cs α＝45，α∈（0，π），tan（α－β）＝12，则tan β等于 .
答案：211
解析：∵cs α＝45＞0，α∈（0，π），∴sin α＞0，
∴sin α＝1－cs2α＝1－452＝35，
∴tan α＝sinαcsα＝3545＝34，
∴tan β＝tan[α－（α－β）]
＝tanα－tan（α－β）1+tanα·tan（α－β）＝34－121+34×12＝211.
17.（2024·广东广州）已知tanα＋π3＝32，则3sinα＋csα3csα－sinα＝ .
答案：39
解析：依题意，tanα＋π3＝tanα＋tanπ31－tanα·tanπ3＝tanα＋31－3tanα＝32，
解得tan α＝－35，所以3sinα＋csα3csα－sinα＝3tanα+13－tanα
＝3×－35+13＋35＝25635＝39.