2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共10页。

2024.7
本试卷共6页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1, 3)，则z的共轭复数z=( )
A. 1+ 3iB. 1− 3iC. −1+ 3iD. −1− 3i
2.已知a=(1,2),b=(x,4)，若a⊥b，则实数x=( )
A. 8B. −2C. 2D. −8
3.在▵ABC中，a=2,b=3,csB=45，则sinA=( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4.平面向量a,b在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则a⋅b=( )
A. −2B. 0C. 1D. 2
5.已知α,β是不重合的平面，m,n是不重合的直线，下列命题中不正确的是( )
A. 若m//α,m//β，则α/​/βB. 若m//n,m⊥α，则n⊥α
C. 若m⊥α,m⊥β，则α/​/βD. 若m⊥α,m⊂β，则α⊥β
6.在平面直角坐标系xOy中，已知Pcsθ,sinθ,θ∈0,π2,A1,1，则OA⋅OP的取值范围是( )
A. 1, 2B. 0,2C. − 2, 2D. 2,2
7.如图，已知正六棱锥P−ABCDEF的侧棱长为6，底面边长为3,Q是底面上一个动点，PQ≤4 2，则点Q所形成区域的面积为( )
A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π
8.已知函数fx=sin2x和gx=cs2x,fx的图象以每秒π12个单位的速度向左平移，gx的图象以每秒π24个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为( )
A. 1秒B. 2秒C. 3秒D. 4秒
9.已知函数fx=sinωx+π6ω>0，“存在m,n∈0,π2，函数fx的图象既关于直线x=m对称，又关于点n,0对称”是“ω≥2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为y=a+b +∞n=1 sin⁡(2n−1)x2n−1，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如fx=sinx+13sin3x+15sin5x+17sin7x就是一种近似情况，则( )
A. 函数fx是最小正周期为π的奇函数
B. 函数fx关于x=π2+2kπk∈Z对称
C. 函数fx在区间0,π2上单调递增
D. 函数fx的最大值不大于2
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11.复数z=2i1+i，则z= ．
12.已知函数fx=cs2x.若非零实数a,b，使得fx+a=bfx对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a= ，b= − .(只需写出一组)
13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ；表面积为 ．
14.在▵ABC中，∠A=60∘,AC=6,AB=4，则AC⋅AB= ，|CA→+CB→|= − ．
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为AD的中点，点N是侧面DCC1D1上(包括边界)的动点，点P是线段B1D上的动点，给出下列四个结论：
①任意点P，都有CD1⊥MP；
②存在点P，使得B1D⊥平面MPC；
③存在无数组点N和点P，使得C1P//MN；
④点P到直线CD1的距离最小值是 63．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题13分）
在平面直角坐标系中，角α以Ox为始边，终边经过点3,4．
(1)求tanα及tan2α的值；
(2)求cs2α+sinα+π2的值．
17.（本小题13分）
在▵ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，bsinA−acsB2=0．
(1)求∠B的大小；
(2)若c=1，且AB边上的高是BC边上的高的2倍，求b及▵ABC的面积．
18.（本小题14分）
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点E、F分别为A1C1、BC的中点．
(1)求证：FC1//平面ABE；
(2)已知C1C⊥BC,AB= 3,BC=1,A1A=2，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得三棱柱唯一确定，并求解下列问题：
条件①：AC1=A1C；
条件②：C1C⊥AC；
条件③：AC=2．
(i)求证：AB⊥FC1；
(ii)求三棱锥B1−AFC1的体积．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.（本小题15分）
已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π的部分图象如图所示．
(1)求fx的解析式；
(2)若函数gx=fxsinx，
(i)求函数gx的单调递增区间；
(ii)求函数gx在区间0,10内的所有零点的和．
20.（本小题15分）
如图(1)，在Rt▵ABC中，∠C=90∘,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，且DE//BC,DE=2，将▵ADE沿DE折起到▵A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)求点C到平面A1DE的距离；
(3)点M为线段A1D的中点，线段BC上是否存在点P，使得MP//平面A1BE？若存在，求出CPCB的值；若不存在，说明理由．
21.（本小题15分）
若存在实数k和周期函数ℎx，使得fx=kx+ℎx，则称fx是好函数．
(1)判断ux=sinx,vx=x+x2是否是好函数，证明你的结论；
(2)对任意实数x，函数fx,gx满足gfx=x,fgx=x.若fx是好函数，
(i)当fx=2x时，求gx；
(ii)求证：fx不是周期函数；
(iii)求证：gx是好函数．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.C
5.A
6.A
7.B
8.B
9.B
10.BD
11. 2
12.π ；；1
13.33π；54π
14.12；4 7
15.①③④
16.(1)由题意可知：tanα=yx=43，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=−247．
(2)由题意可得：csα=x x2+y2=35，
则cs2α=2cs2α−1=−725,sinα+π2=csα=35，
所以cs2α+sinα+π2=−725+35=825．
17.(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得，sinB⋅sinA−sinA⋅csB2=0.
因为A∈(0,π)，所以sinA≠0．
所以sinB=csB2.
所以2sinB2⋅csB2=csB2.
因为B∈(0,π)，所以B2∈0,π2，csB2≠0，
所以sinB2=12，所以B2=π6，即B=π3．
(2)因为AB边上的高是BC边上的高的2倍，c=1，
所以由等面积法知a=2c=2，
所以b2=a2+c2−2ac⋅csB=3，
所以b= 3，
所以S▵ABC=12acsinB= 32.
18.(1)证明：如图，取AB的中点为D，连接DF，DE，
则DF//AC且DF=12AC，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC//A1C1且AC=12A1C1，
又E为A1C1的中点，所以DF//C1E且DF=C1E，
所以四边形C1FDE为平行四边形，
所以C1F//DE，又DE⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C1F//平面ABE；
(2)若选条件①②：
由AC1=A1C可得四边形ACC1A1为矩形，底面三角形形状不确定，此时三棱柱不唯一；
若选条件②③：
由C1C⊥AC，C1C⊥BC，AC∩AB=A,AC,AB⊂平面ABC，故C1C⊥平面ABC，
又AB= 3,BC=1,AC=2，故AB⊥BC，所以AC= AB2+BC2=2，故三棱柱唯一，符合要求，
由于C1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则C1C⊥AB，
又AB⊥BC，CC1∩BC=C,CC1,BC⊂平面BCB1C1，
故AB⊥平面BCB1C1，FC1⊂平面BCB1C1，故FC1⊥AB，
VB1−AFC1=VA−B1FC1=13S▵B1FC1⋅AB=13×12B1C1⋅BB1⋅AB=13×12×1×2× 3= 33
若选条件①③：
由AC1=A1C可得四边形ACC1A1为矩形，
又AB= 3,BC=1,AC=2，故AB⊥BC，
所以AC= AB2+BC2=2，故三棱柱唯一，符合要求，
由于C1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则C1C⊥AB，
又AB⊥BC，CC1∩BC=C,CC1,BC⊂平面BCB1C1，
故AB⊥平面BCB1C1，FC1⊂平面BCB1C1，故FC1⊥AB，
VB1−AFC1=VA−B1FC1=13S▵B1FC1⋅AB=13×12B1C1⋅BB1⋅AB=13×12×1×2× 3= 33
19.(1)由图象可知：T=4×3π4−π4=2πω∴ω=1，
将点π4,2代入y=f(x)得fπ4=2sinπ4+φ=2，
∴φ=π4+2kπ,k∈Z
∵0<φ<π∴φ=π4
∴fx=2sinx+π4
(2)g(x)=f(x)sinx= 2sinxsinx+csx= 22sin2x−cs2x+ 22=sin2x−π4+ 22
(i)令−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，
所以函数gx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπ(k∈Z)．
(ii)令g(x)=0，即sin2x−π4=− 22，
所以2x−π4=2kπ+5π4或2x−π4=2kπ+7π4,k∈Z，
即x=kπ+3π4或x=kπ+π,k∈Z，
由x∈0,10可得，g(x)零点为3π4,π,7π4,2π,11π4,3π，
故零点之和为3π4+π+7π4+2π+11π4+3π=6π+21π4=45π4．
20.(1)如图所示，
根据题意，DE⊥A1D,DE⊥DC,A1D∩DC=D，且A1D,DC⊂平面A1DC，
则DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，则A1C⊥DE.又已知A1C⊥CD．
CD∩DE=D，CD,DE⊂平面BCDE，则A1C⊥平面BCDE．
(2)如图所示，连接CE.设点C到平面A1DE的距离ℎ．
由翻折前状态，可知DEBC=ADAC⇒23=AD6⇒AD=4,DC=2．
由(1)知道，A1C⊥CD，则A1C= A1D2−CD2=2 3，则S▵A1CD=12A1C×CD=2 3．
由(1)知道，DE⊥A1D，S▵A1ED=12A1D×ED=4．
由DE⊥平面A1DC.等体积法知道VC−A1DE=VE−A1CD．
即13SA1DE×ℎ=13SA1CD×DE．
代入化简得到4ℎ=2 3×2，则ℎ= 3，则点C到平面A1DE的距离 3．
(3)存在，CPCB=23．
如图所示，取A1E中点N，连接NB.在CB上取点P，使得PB=1，连接PM．
由于点M为线段A1D的中点，则MN=12DE=1，MN//DE．
又PB=1,PB//DE.则MN=PB，MN//PB，则四边形MNBP为平行四边形．
则MP//NB，MP⊄平面A1BE，NB⊂平面A1BE，则MP//平面A1BE．
此时CPCB=23．
21.(1)因为u(x)=0x+sinx，其中sinx为周期函数，所以u(x)为好函数，、
若vx=x+x2为好函数，则存在实数k和周期函数ℎ(x)，使得v(x)=kx+ℎ(x)，
所以ℎx=x2+1−kx为周期函数，又由二次函数性质知当且仅当x=k−12时，
ℎ(x)取最小值，这与ℎ(x)是周期函数矛盾，
所以vx不是好函数．
(2)(i)由gfx=x,fgx=x，fx=2x，
可得gx=12x．
(ii)若f(x)是周期函数，设T(T>0)是f(x)的一个周期，
则x=g(f(x))=g(f(x+T))=x+T，这与T>0矛盾，
所以f(x)不是周期函数．
(iii)因为f(x)是好函数，所以存在实数k和周期函数ℎ(x)，使得f(x)=kx+ℎ(x)，
由(ii)知k≠0，否则f(x)是周期函数，矛盾．
令rx=gx−1kx，
以下证r(x)是以kT为周期的周期函数，T是ℎ(x)的周期，
rx+kT=rx⇔gx+kT−1kx+kT=gx−xk⇔gx+kT=gx+T
假设存在x1≠x2，使得y0=fx1=fx2，
则gy0=gfx1=x1,gy0=gfx2=x2，矛盾．
所以g(x+kT)=g(x)+T⇔f(g(x+kT))=f(g(x)+T)
⇔x+kT=k(g(x)+T)+ℎ(g(x)+T)⇔x=kg(x)+ℎ(g(x))=f(g(x))，
所以r(x+kT)=r(x)．
所以gx=1kx+rx是好函数．