2023-2024学年四川省成都市青白江区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市青白江区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）
1.计算(−15)+7的结果等于( )
A. 8B. −8C. 12D. −12
2.剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列多项式中，能用完全平方公式因式分解的是( )
A. 4a2−4a−1B. 4a2+2a+1C. 1−4a+4a2D. 2a2+4a+1
4.约分−a2b5ab2的结果是( )
A. −15B. −a5bC. −15bD. −15a
5.如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为( )
A. 3
B. 6
C. 3 2
D. 3 3
6.已知aA. 2−a<2−bB. 3a<3bC. −3a>−3bD. a+37.如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点，若∠EBC=50°，则∠D的度数为( )
A. 50°B. 100°C. 130°D. 150°
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
8.“x与y的差大于4”用不等式表示为______．
9.一个多边形的内角和为1800度，则这个多边形的边数为______．
10.分式3x−2有意义的条件是______．
11.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件 (只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
12.如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=8，∠ACB=30°，以A为圆心，AB的长为半径作弧交BC于点D，连接AD；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点E，则BD的长是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共52分）
13.因式分解：
(1)a3b−ab；
(2)a(m−n)+b(n−m)．
14.解不等式：2(x+1)>x①1−2x≥x+72②.请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)原不等式组的解集为______．
15.(1)解方程：xx−1−3=11−x；
(2)先化简，后计算：(1+3a−1)÷a2+4a+4a2−a，其中a是满足条件a≤2的合适的非负整数．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(−3,4)，B(−4,2)，C(−2,3)．
(1)将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1；请画出△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标；
(3)求△ABC的面积．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=8cm，动点P从点A开始以2cm/s的速度向点C运动，动点F从点B开始以1cm/s的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t(s)．
(1)当t为何值时，△PAF是等边三角形？
(2)当t为何值时，△PAF是直角三角形？
(3)过点P作PD//AB交BC于点D，连接DF，求证：四边形AFDP是平行四边形．
18.若m2−n2=−6，且m−n=−3，则m+n=______．
19.若分式a−ba−2的值为0，实数a、b应满足的条件是______．
20.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB=4，∠AA′B′=15°，则AB′的长度为______．
21.如图，在平面直角坐标系中，AC/​/y轴，BC/​/x轴，点A在直线l：y=kx+1上，点B的坐标是(9,2)，∠ACB=90°，AC=5，BC=3，将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移m个单位长度，此时点B恰好落在直线l上，则m的值是______．
22.如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，∠A=60°，E是边DC延长线上一点，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，连接FC，则FC的最小值是______．
23.【阅读理解】
mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)
mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx+ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x+y)
以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．
【问题解决】
(1)分解因式：x2−y2−4x+4；
(2)△ABC的三边a，b，c满足a2−2bc−c2+2ab=0，判断△ABC的形状．
24.“龙年到，行大运”，新学期伊始，某班级欲购买一些龙年元素的贴纸装饰教室，经过挑选，选定了“龙行大吉”和“龙腾虎跃”两款贴纸.经过了解，“龙腾虎跃”贴纸比“龙行大吉”贴纸单价贵2元，花费150元购买的“龙腾虎跃”贴纸与花费90元购买的“龙行大吉”贴纸数量相同．
(1)“龙腾虎跃”与“龙行大吉”两种贴纸的单价分别为多少元？
(2)该班级计划花费不超过40元，购买两种贴纸共10个，且“龙行大吉”贴纸数量不超过“龙腾虎跃”贴纸数量的2倍，问该班级有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来．
25.如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC所在平面内的一点，过点P作PE//AC交AB于点E，PF/​/AB交BC于点D，交AC于点F．
(1)当点P在BC边上时，如图①所示，此时点P与点D重合，则线段AB与线段PE、PF有何关系，说明理由；
(2)当点P在内部时，如图②所示，作DG/​/AC交AB于G，求证：
①四边形AEPF、四边形PDGE都是平行四边形；
②PE+PF+PD=AB．
(3)当点P在外部时，如图③所示，AB、PE、PF、PD这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
答案解析
1.B
【解析】解：(−15)+7=−(15−7)=−8，
故选：B．
2.D
【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3.C
【解析】解：A.4a2−4a−1不能用完全平方公式分解因式，故错误；
B.4a2+2a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误；
C.1−4a+4a2=(1−2a)2，能用完全平方公式分解因式，故正确；
D.2a2+4a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误．
故选：C．
4.B
【解析】解：−a2b5ab2=−a⋅ab5b⋅ab=−a5b．
故选：B．
5.D
【解析】解：在等边△ABC中，
∵AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∵等边三角形的边长为6，
∴AB=6，BD=3，
根据勾股定理，得AD= 62−32=3 3，
故选：D．
6.A
【解析】解：A选项，∵a∴−a>−b，
∴2−a>2−b，故该选项符合题意；
B选项，∵a∴3a<3b，故该选项不符合题意；
C选项，∵a∴−3a>−3b，故该选项不符合题意；
D选项，∵a∴a+3故选：A．
7.C
【解析】解：∵∠EBC=50°，
∴∠ABC=130°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC=130°，
故选：C．
8.x−y>4
【解析】解：由题意可得：x−y>4．
故答案为：x−y>4．
9.12
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
(n−2)⋅180°=1800°，
解得：n=12．
故答案为：12．
10.x≠2
【解析】解：要使分式3x−2有意义，必须x−2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
11.BO=DO(答案不唯一)
【解析】解：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO.(答案不唯一)
12.6
【解析】解：由作法得AE垂直平分BD，
∴AB=AD=5，BE=DE=12DE，
在Rt△AEC中，∠C=30°，AC=8，
∴AE=12AC=4，
在Rt△ADE中，DE= AD2−AE2= 52−42=3，
∴BD=2DE=6，
故答案为：6．
13.解：(1)原式=ab(a2−1)
=ab(a+1)(a−1)；
(2)原式=a(m−n)−b(m−n)
=(m−n)(a−b)．
【解析】(1)提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
(2)利用提公因式法因式分解即可．
14.x>−2 x≤−1 −2【解析】解：(1)2(x+1)>x，
2x+2>x，
2x−x>−2，
x>−2，
故答案为：x>−2；
(2)1−2x≥x+72，
1×2−2x×2≥x+72×2，
2−4x≥x+7，
−4x−x≥7−2，
−5x≥5，
x≤−1，
故答案为：x≤−1；
(3)根据(1)和(2)结果，作图如下，
(4)根据(3)中的图形，可知不等式组的解集为：−2故答案为：−215.解：(1)去分母，得x−3(x−1)=−1，
去括号．得x−3x+3=−1，
移项，得x−3x=−1−3，
合并，得−2x=−4，
系数化为1，得x=2，
径检验，原方程的解为x=2；
(2)原式=a−1+3a−1⋅a(a−1)(a+2)2
=a+2a−1⋅a(a−1)(a+2)2
=aa+2，
∵a−1≠0且a≠0且a+2≠0，
而a是满足条件a≤2的合适的非负整数，
∴a=2，
当a=2时，原式=22+2=12．
【解析】(1)先把方程两边乘以(x−1)得到整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；
(2)先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式=aa+2，然后利用分式有意义的条件确定a的值，最后把a的值代入计算即可．
16.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；

(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；

B2的坐标为(4,2)；
(3)△ABC面积=2×2−12×1×1−12×1×2−12×2×1=1.5．
【解析】(1)依据△ABC向下平移5个单位长度，即可得到△A1B1C1；
(2)依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴的对称的△A2B2C2；
(3)根据割补法进行计算，即可得出△ABC面积．
17.(1)解：在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴∠A=90°−30°=60°，
当8−2t=2t时，AF=AP，
∴t=83，
∵∠A=60°，
∴△PAF是等边三角形．
∴当t=83时，△PAF是等边三角形；
(2)解：若∠AFP=90°，如图2，

∵∠AFP=∠ABC=90°，
∴PF/​/BC，
∴∠APF=∠C=30°，
∴PA=2AF，
∴2(8−t)=2t
∴t=4；
若∠FPA=90°，则FA=2AP.如图3，

∴8−t=2×2t，
∴t=85，
综上所述，当t=4或85时，△PAF是直角三角形．
(3)证明：设BF=x，则AF=8−x，
∵∠C=30°，AB=8cm，
∴AC=2AB=16cm，
根据点P，F的运动速度可得，AP=2x cm，PC=AC−AP=(16−2x)(cm)，
∵PD/​/AB，
∴∠PDC=∠B=90°，
又∵∠C=30°，
∴PD=12PC=12(16−2x)=8−x．
∴PD=AF，
∴四边形AFDP是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
【解析】(1)由等边三角形的判定与性质得出答案；
(2)分两种情况画出图形，由直角三角形的性质列出方程可得出答案；
(3)证出PD=AF，由平行四边形的判定可得出结论．
18.2
【解析】解：∵(m+n)(m−n)=−6，m−n=−3，
∴−3(m+n)=−6，
∴m+n=2，
故答案为：2
19.a=b≠2
【解析】解：∵分式a−ba−2的值为0，
∴a−b=0且a−2≠0，
解得a=b≠2，
故答案为：a=b≠2．
20.2 3−2
【解析】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′，
∴AC=CA′，∠BAC=∠CA′B′，
∴∠CAA′=∠CA′A=45°，且∠AA′B′=15°，
∴∠CA′B′=30°，
∵AB=A′B′=4，∠A′CB′=∠ACB=90°，
∴BC=2，
∴AC=A′C= 42−22=2 3，
∴AB′=AC−B′C=2 3−2，
故答案为：2 3−2．
21.6
【解析】解：∵点B的坐标是(9,2)，∠ACB=90°，AC=5，BC=3，
∴点A的坐标是(9−3,2+5)，即(6,7)，
∵点A(6,7)在直线l：y=kx+1上，
∴7=6k+1，
∴k=1，
∴直线l的解析式为y=x+1．
∵将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移m个单位长度，此时点B恰好落在直线l上，
∴2+m=1×(9−2)+1，
解得：m=6，
∴m的值是6．
故答案为：6．
22.2 3
【解析】解：延长AB，DE，在AB的延长线上截取BG=BC，连接EG，过点G作GH⊥DC于点H，过点C作CM⊥DC交AB的延长线于点M，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AB/​/CD，BC=AD=4，
∵AD/​/BC，
∴∠CBM=∠A=60°，
∵CM⊥CD，
∴∠DCM=90°，
∵AB/​/CD，
∴∠CMB=180°−∠DCM=90°，
∴∠BCM=30°，
∴BM=12BC=2，
∴CM= BC2−BM2=2 3，
∵GH⊥DC，CM⊥DC，
∴CM//GH，
∵AB/​/CD，
∴四边形CMGH为平行四边形，
∴GH=CM=2 3，
∵△BEF为等边三角形，
∴∠EBF=60°，BE=BF，
∴∠EBF=∠CBG=60°，
∴∠CBF=∠GBE，
∵BC=BG，
∴△CBF≌△GBE(SAS)，
∴CF=GE，
∴当GE最小时，CF最小，
∵垂线段最短，
∴当点E与点H重合时，GE最小，此时最小值为GH=2 3，
∴CF最小值为2 3．
故答案为：2 3．
23.解：(1)原式=(x2−4x+4)−y2
=(x−2)2−y2
=(x−2+y)(x−2−y)；
(2)∵a2−2bc−c2+2ab=0，
∴(a−c)(a+c)+2b(a−c)=0，
∴(a−c)(a+c+2b)=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+c+2b≠0，a−c=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】(1)根据上述的分组分解法将原式进行因式分解即可；
(2)先将原式进行因式分解，得：(a−c)(a+c+2b)=0，根据题意可知a+c+2b≠0，a−c=0，即a=c，即可得出结果．
24.解：(1)设“龙腾虎跃”贴纸的单价为x元，则“龙行大吉”贴纸的单价为(x−2)元，
由题意得：150x=90x−2，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴x−2=5−2=3，
答：“龙腾虎跃”贴纸的单价为5元，“龙行大吉”贴纸的单价为3元；
(2)设购买“龙腾虎跃”贴纸m个，则购买“龙行大吉”贴纸(10−m)个，
由题意得：5m+3(10−m)≤4010−m≤2m，
解得：103≤m≤5，
∵m为正整数，
∴m=4，5，
∴该班级有2种购买方案：
①购买“龙腾虎跃”贴纸4个，“龙行大吉”贴纸6个；
②购买“龙腾虎跃”贴纸5个，“龙行大吉”贴纸5个．
【解析】(1)设“龙腾虎跃”贴纸的单价为x元，则“龙行大吉”贴纸的单价为(x−2)元，根据花费150元购买的“龙腾虎跃”贴纸与花费90元购买的“龙行大吉”贴纸数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买“龙腾虎跃”贴纸m个，则购买“龙行大吉”贴纸(10−m)个，根据该班级计划花费不超过40元，购买两种贴纸共10个，且“龙行大吉”贴纸数量不超过“龙腾虎跃”贴纸数量的2倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
25.(1)解：如图①，

∵PE/​/AC，PF/​/AB，
∴四边形AEPF为平行四边形，∠1=∠C，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠1，
∴PE=BE，
∴PE+PF=BE+AE=AB，
即：PE+PF=AB．
(2)①证明：如图②，

∵DG/​/AC，
∵PE/​/AC，
∴DG//PE，
而PF/​/AB，
∴四边形AEPF、PDGE都为平行四边形．
②证明：∵四边形AEPF、PDGE都为平行四边形，
∴PF=AE，PE=DG，PD=GE，
与(1)中一样可得GD=GB，
∴PE=BG，
∴PE+PF+PD=BG+AE+GE=AB，
即：PE+PF+PD=AB．
(3)解：结论：PE+PF−PD=AB．
理由：作PG/​/BC交AB的延长线于G点，如图③，

∵PE/​/AC，PF/​/AB，
∴四边形AEPF、PDBG都为平行四边形，
∴PF=AE，PD=BG，
与(1)中一样可得PE=GE，
∴PE+PF+PD=GE+AE+BG=AB+2BG=AB+2PD，
即PE+PF−PD=AB．
【解析】(1)由PE//AC，PF/​/AB可判断四边形AEPF为平行四边形，根据平行线的性质得∠1=∠C，根据平行四边形的性质得PF=AE，再根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，则∠B=∠1，则可根据等腰三角形的判定得PE=BE，所以PE+PF=AB；
(2)如图②，利用平行的性质得DG//PE，则四边形AEPF、PDGE都为平行四边形，根据平行四边形的性质得PF=AE，PE=DG，PD=GE，与(1)中一样可得GD=GB，则PE=BG，于是PE+PF+PD=AB；
(3)作PG/​/BC交AB的延长线于G点，如图③，同理可得四边形AEPF、PDBG都为平行四边形，则PF=AE，PD=BG，与(1)中一样可得PE=GE，所以PE+PF+PD=AB+2PD．