2023-2024学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷（含答案）

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这是一份2023-2024学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设向量a=(x,2)，b=(3,x)，如果a与b共线且方向相同，则x的值为( )
A. − 6B. 6C. 0D. 15
2.若复数z=1−i2+i3(i为虚数单位)，则|z−|=( )
A. 0B. 1C. 2D. 5
3.在△ABC中，“A>B”是“csAA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.(2x−ax)6的展开式中常数项的值为−160，记展开式的二项式系数和为m，系数和为n，则m−n=( )
A. 63B. 65C. −665D. 793
5.若函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数，则a=( )
A. 1B. 12C. −1D. −12
6.已知随机变量ξ，η满足2ξ+η=4，且ξ～B(6,13)，则下列说法正确的是( )
A. P(ξ=2)=P(ξ=4)B. E(η)=1
C. D(η)=83D. E(ξ2)=163
7.商家为了解某品牌电风扇的月销售量y(台)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月该品牌电风扇的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b=5，据此估计平均气温为35℃的那个月，该品牌电风扇的销售量约为( )台．
A. 63B. 61C. 59D. 57
8.若曲线f(x)=ex+x在点(x0,f(x0))处的切线方程为y=kx+b，则k+b的最大值为( )
A. e2+1B. e2−1C. e+1D. e−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1
B. 正态曲线当μ一定时，σ越小，正态曲线越“瘦高”；σ越大，正态曲线越“矮胖”
C. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数R2的值越大，说明拟合的效果越好
D. 对于独立性检验，随机变量χ2的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
10.如图所示，已知角α,β(0<α<β<π2)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则( )
A. ∠AOC=β−α2
B. OA⋅OC=csβ−α2
C. 当△AOB面积为 34时，点M在圆x2+y2=12上运动
D. 点M的坐标为(csα+β2csβ−α2,sinα+β2csβ−α2)
11.有n(n∈N∗,n≥10)个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai(i=1,2,3,…,n)，则( )
A. P(A1A2)=35B. P(A1|A2)=37
C. P(A1−+A2)=1315D. P(An)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为AB，BC的中点，则DM⋅DN= ______．
13.2024年3月14日是第十九届世界肾脏日.某社区服务站将从5位志愿者中选3人到两个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“全民肾脏健康”，其中1人去A社区，2人去B社区，则不同的分配方案有______种(用数字作答)．
14.已知ex+sinx≥ax+1对任意x∈[0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC−b−c=0，
(1)求A；
(2)若BC边的中线AD= 216a，且△ABC面积为 32，求b+c的值．
16.(本小题15分)
2024年3月28日，小米集团在北京举行主题为“向前”的小米汽车上市发布会，正式发布小米SU7.在发布会上，小米集团创始人、董事长兼CEO雷军表示：“这是小米SU7第一次正式亮相，这个时代的梦想之车必须要有最先进的智能科技和最出色的驾驶质感”.小米汽车首款产品的推出引起了购车者的热议，为了了解购车者对该款汽车的购买意愿与年龄是否具有相关性，在某购车市场随机抽取了100名中青年购车意向者进行调查，现定义小于45周岁的为青年，大于等于45周岁小于60周岁的为中年，所得数据统计如下表所示：
(1)请根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析购车意向者对小米SU7的购买意愿与年龄段是否有关；
(2)在以上随机抽取不愿购买的调查者中，按年龄比例分层抽样抽取8名，然后在被抽取的8名中再随机抽取5名进行面对面访谈.设面对面访谈中的青年人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望.(参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.)
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面PBC，底面ABCD为正方形，PA=AB且PA⊥AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，BF−=λBC−(0≤λ≤1)．
(1)证明：AE⊥PC；
(2)求实数λ的值，使得平面AEF与平面PDC所成锐二面角的平面角的正弦值最小．
18.(本小题17分)
在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于技术原因，每次传输信号的准确率为90%，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1.现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点n．
(1)若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率；
(2)为确保信号传输的有效性，要求节点n收到信号的准确率不低于60%，求n的最大值．
参考数据：lg2≈0.3010．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+bx−a(x>0,a,b∈R)．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间与极值；
(Ⅱ)若b>0且f(x)≥0恒成立，求ea−1−b+1的最大值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，且ea−1−b+1取得最大值时，设F(b)=a−1b−m(m∈R)，且函数F(x)有两个零点x1，x2，求实数m的取值范围，并证明：x1x2>e2．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.D
6.D
7.A
8.C
9.BC
10.ABD
11.BCD
12.4
13.30
14.(−∞,2]
15.解：(1)因为acsC+ 3asinC−b−c=0，
由正弦定理得：sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
即sinAcsC+ 3csA=sinAcsC+csAsinC+sinC，
即 3sinAsinC=csAsinC+sinC，
整理可得： 3sinA−csA=1，即sin(A−π6)=12，
又因为A∈(0,π)，
可得A=π3；
(2)因为BC边的中线AD= 216a，
则AD=12(AB+AC)，两边平方得2136a2=14(b2+c2+2AB⋅AC)，
而AB⋅AC=cbcsA=bc⋅b2+c2−a22bc=b2+c2−a22，
整理可得：3b2+3c2−5a2=0，
又因为csA=b2+c2−a22bc=12，即b2+c2−a2=bc，
所以2a2=3bc，又S=12bcsinA= 34bc= 32，即bc=2，
所以a= 3，则b2+c2=a2+bc=5，
即(b+c)2−2bc=5，
所以b+c=3．
16.解：(1)零假设为H0：意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段无关，
根据表中数据可得χ2=100×(45×25−15×15)260×40×60×40=22516≈14.06>10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段有关．
(2)按性别比例分层抽样抽取8名调查者中，有青年3名，中年5名，
若在被抽取的8名中再随机抽取5名，
P(X=0)=C30C55C85=156，P(X=1)=C31C54C85=1556，
P(X=2)=C32C53C85=3056，P(X=3)=C33C52C85=1056，
故随机变量X的分布列：
E(X)=0×156+1×1556+2×3056+3×1056=158，
故随机变量X的数学期望为158．
17.解：(1)证明：因为PA=AB且PA⊥AB，E为线段PB的中点，

所以PB⊥AE，
又因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，
所以AE⊥面PBC，
因为PC⊂面PBC，
所以AE⊥PC；
(2)因为AE⊥面PBC，则AE⊥BC，又AB⊥BC，
所以BC⊥面PAB，
因为BC⊂平面ABCD，则平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，
所以PA⊥平面ABCD，
如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

不妨设PA=AB=AD=1，
BF=λBC(0≤λ≤1)，设F(x,y,z)，
则(x−1,y,z)=λ(0,1,0)，解得F(1,λ,0)，
AE=(12,0,12)，AF=(1,λ,0)，
设平面AEF的法向量为n1=(x1,y1,z1)，
则AE⋅n1=0，AF⋅n1=0，
所以12x1+12z1=0x1+λy1=0，
取y1=−1，则x1=λ，z1=−λ，
即n1=(λ,−1,−λ)，
且平面PCD的法向量为n2=(0,1,1)，
设平面AEF与平面PDC所成二面角的平面角为α，
则|csα|=|n1⋅n2|n1|⋅|n2||=|−1−λ 1+2λ2 2|= 22|1+λ 1+2λ2|，
所以|csα|= 22 (1+λ)21+2λ2= 22 12+2λ+122λ2+1，
令t=12+2λ∈[12,52]，
所以|csα|= 22 (1+λ)21+2λ2= 22 12+t12t2−12t+982= 22 12+112t+98t−12，
当t=32时，即λ=12时，|csα|max= 32，
则(sinα)min=12．
18.解：记Ai=“节点i收到信号1”，Ai−=“节点i收到信号0“，i=1，2，…，n，
则P(Ai)+P(A−i)=1，
P(Ai+1|Ai)=0.9，P(Ai+1−|Ai)=0.1，P(Ai+1|Ai−)=0.1，P(Ai+1−|Ai−)=0.9，
(1)P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1−)P(A2|A1−)=0.9×0.9+0.1×0.1=0.82，
故节点2收到信号1的概率为0.82；
(2)不妨计算信号源发出信号1，求节点n收到信号1的概率：
记P(Ai)=pi，则P(Ai−)=qi=1−pi，
则P(Ai+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Ai−)P(Ai+1|Ai−)，
即pi+1=0.9pi+0.1(1−pi)=0.8pi+0.1，
构造得pi+1−0.5=0.8(pi−0.5)，又p1=0.9，
所以pn−0.5=(p1−0.5)×0.8n−1，
即节点n收到信号1的概率为pn=0.5+0.4×0.8n−1，
由pn≥0.6，得0.8n−1≥0.25，
两边取以10为底的对数，n−1≤−lg4lg4−lg5=2lg21−3lg2≈≈6.2，
所以n≤7.2，即n的最大值为7．
19.解：(Ⅰ)f′(x)=x−bx2
当b≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)，无极值；
当b>0时，x∈(0,b)时，f′(x)<0，x∈(b,+∞)时，f′(x)>0，
函数f(x)的单调减区间为(0,b)，增区间为(b,+∞)，有极小值f(b)=lnb+1−a…(4分)
(Ⅱ)当b>0时，由(Ⅰ)得f(x)min=lnb+1−a≥0
∴lnb≥a−1，
∴b≥ea−1，
∴ea−1−b+1≤1，即当lnb=a−1时，ea−1−b+1最大为1…(8分)
(Ⅲ)证明：由(Ⅰ)知，b>0时，当x→+∞时，f(x)→+∞，当x→0(x>0)时，f(x)→+∞，
函数f(x)有且仅有一个零点，即f(x)min=f(b)=lnb+1−a=0，∴lnb=a−1．
F(b)=a−1b−m=lnbb−m(b>0)，
记F(x)=lnxx−m,(x>0)，F′(x)=1−lnxx2，
故函数F(x)在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，F(e)=1e−m
当x→0(x>0)时，F(x)→−∞；x→+∞时，F(x)→−m，
函数F(x)有两个零点x1，x2，
故1e−m>0−m<0，0不妨设x1则lnx1x2=m(x1+x2),lnx2x1=m(x2−x1)⇒m=lnx2x1x2−x1，
欲证x1⋅x2>e2，只需证明：ln(x1⋅x2)>2，只需证明：m(x1+x2)>2，
即证：(x1+x2)x2−x1lnx2x1>2，
即证1+x2x1x2x1−1lnx2x1>2，设t=x2x1>1，则只需证明：lnt>2⋅t−1t+1，
也就是证明：lnt−2⋅t−1t+1>0
记u(t)=lnt−2⋅t−1t+1,(t>1)，∴u′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，
∴u(t)在(1,+∞)单调递增，∴u(t)>u(1)=0，
所以原不等式成立，故x1x2>e2得证…(14分) 平均气温(℃)
27
29
31
33
月销售量(台)
24
33
40
55
年龄段
购车意愿
合计
愿意购买SU7
不愿购买SU7
青年
45
15
60
中年
15
25
40
合计
60
40
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
156
1556
3056
1056

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