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湖北省五市州2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷（Word版附答案）
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这是一份湖北省五市州2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷（Word版附答案），文件包含湖北省五市州2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题docx、湖北省五市州2023-2024学年高一下学期期末联考数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
命题单位: 恩施州教科院 审题单位: 宜昌市教科院
本试卷共 4 页, 19 题, 全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 z=3+i ,则 z1+i=（ ）
A. 4−2i B. 4+2i C. 2−i D. 2+i
2. 当 x∈0,2π 时,曲线 y=2+csx 与直线 y=13x 的交点个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知 a=2,0,b=1,1 ,则 a 在 b 上的投影向量为（ ）
A. 2,1 B. 1,1 C. 2,1 D. 2,2
4. 已知 z1,z2∈C ,则下列说法正确的是（ ）
A. 若 z3∈C,z1z3=z2z3 ,则 z1=z2 B. 若 z1=z2 ,则 z1=z2
C. 若 z1+z2=z1−z2 ,则 z1⋅z2=0 D. z1+z2=z1−z2
5. 如图所示,角 xx∈0,π2 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,其终边与单位圆的交点为 P ,分别过点 A 作 x 轴的垂线,过点 B 作 y 轴的垂线交角 x 的终边于 T , S ,根据三角函数的定义, tanx=AT . 现在定义余切函数 y=ctx ,满足 ctx=1tanx ,则下列表示正确的是（ ）
A. ctx=OT
B. ctx=PS
C. ctx=OS
D. ctx=BS
6. 已知单位向量 a,b 互相垂直,若存在实数 t ,使得 a+1−tb 与 1−ta+b 的夹角为 60∘ ,则 t=（ ）
A. −1±22 B. −1±2 C. −1±32 D. −1±3
7. 12cs20∘−cs40∘cs20∘=（ ）
A. −14 B. 14 C. −12 D. 12
8. 已知函数 fx=sinx+sin2x ,下面关于函数 fx 的图象与性质描述正确的是（ ）
A. 函数 fx 的图象关于 y 轴对称
B. 函数 fx 的最小正周期为 π
C. 方程 fx=0 在 −π,π 上有 5 个不同的实根
D. fx≤2 恒成立
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某同学统计了某校高一男生的身高数据 (单位: cm ),并整理得到下表
根据表中数据,下列说法正确的是（ ）
A. 该校高一年级男生身高的中位数小于 170 cm
B. 该校高一年级男生身高的众数和中位数相同
C. 该校高一年级男生身高的极差介于 15 cm 至 25 cm 之间
D. 该校高一年级男生身高的平均数介于 170 cm 到 175 cm 之间
10. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置, 其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动. 若某阻尼器离开平衡位置的位移 y (单位: m ) 和时间 x (单位: s ) 满足函数关系: y=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2 ,某同学通过 “五点法” 计算了一个周期内的部分数据如下 (其中 a,b,c,d 为未知数),则下列有关函数 y=fx 的描述正确的是（ ）
A. 函数 fx 的图象关于点 163,0 对称
B. 函数 fx 的图象可由函数 y=Asinωx 的图象向右平移 13 个单位得到
C. 函数 fx 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为 4
D. 函数 fx 的图象与函数 y=3csπ2x+π3 的图象重合
11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, Q 是 CC1 的中点,下列说法正确的是（ ）
A. 若 P 是线段 AC1 上的动点,则三棱锥 P−BQD 的体积为定值
B. 三棱锥 A1−BQD 外接球的半径为 666
C. 若 AQ 与平面 AC ,平面 AD1 ,平面 AB1 所成的角分别为 θii=1,2,3 ,则 i=13cs2θi=2
D. 若平面 ABQ 与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为 θii=1,⋯,6 , 则 i=16sin2θi=4
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 tanα+β=1,tanα−β=2 ,则 tan2α= .
13. 在 △ABC 中, A=π2,BC⋅BA=3CA⋅CB ,则 △ABC 中最小角的余弦值为 .
14. 设 x∈R,m∈Z，若 −12四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 b 最大, sinA−csC=2csBsinC+π3 .
(1) 求 B ;
(2) 若 AC 边上的高为 4,求 △ABC 面积的最小值.
16. (15 分)
已知函数 fx=4sinxcsx−sin2x+3cs2x−1 .
(1) 求函数 fx 的最值与单调递增区间;
(2) 若方程 f2x−a+2fx+2a=0 在 0,π 上恰有 4 个不同的实数根,求 a 的值.
17. (15 分)
在三棱锥 P−ABC 中, AC⊥CB,AB⊥BP,CB=CP=CA,BP=12AP . 点 C 在平面 PAB 上的射影 D 恰好在 PA 上.
(1) 若 E 为线段 BP 的中点,求证: BP⊥ 平面 CDE ;
(2) 求二面角 C−AB−P 的余弦值.
18. (17 分)
某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价, 为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况,该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法,从该市所辖 A,B,C 三个区域的第二档居民用户中按 2:2:1 的比例分配抽取了 100 户后,统计其去年一年的月均用电量 (单位: kW⋅h ),进行适当分组后 (每组为左闭右开的区间),频率分布直方图如下图所示.
(1) 求 m 的值;
(2) 若去年小明家的月均用电量为 234 kW⋅h ,小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中 85% 的用户,请判断小明的估计是否正确?
(3) 通过进一步计算抽样的样本数据,得到 A 区样本数据的均值为 213,方差为 24.2 ; B 区样本数据的均值为 223 , 方差为 12.3 ; C 区样本数据的均值为 233 , 方差为 38.5 , 试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差. (需先推导总样本方差计算公式, 再利用数据计算)
19. (17 分)
在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AB⊥BC,AB=2,BC=AA1=23 ,点 M 是平面 ABC 上的动点.
(1) 若点 M 在线段 BC 上 (不包括端点),设 α 为异面直线AC 与 B1M 所成角,求 csα 的取值范围;
(2) 若点 M 在线段 AC 上,求 A1M+12MC 的最小值;
(3) 若点 M 在线段 BA 上,作 MN 平行 AC 交 BC 于点 N,Q 是 BB1 上一点,满足 MB+BQ=2 . 设 MB=x ,记三棱锥 Q−MBN 的体积为 Vx . 我们知道,函数 y=fx 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y=fx 为奇函数,有同学发现可以将其推广为: 函数 y=fx 的图象关于点 Pa,b 成中心对称图形的充要条件是函数 y=fx+a−b 为奇函数. 据此,判断函数 y=Vx 在定义域内是否存在 x0 ,使得函数 y=Vx 在 0,x0 上的图象是中心对称图形,若存在,求 x0 及对称中心; 若不存在,说明理由.身高
[155,160)
[160,165)
[165,170)
[170,175)
[175,180)
频数
60
120
180
240
100
ωx+φ
0
π2
Ti
3π2
2π
x
a
43
b
103
d
fx
0
3
0
C
0
命题单位: 恩施州教科院 审题单位: 宜昌市教科院
本试卷共 4 页, 19 题, 全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 z=3+i ,则 z1+i=（ ）
A. 4−2i B. 4+2i C. 2−i D. 2+i
2. 当 x∈0,2π 时,曲线 y=2+csx 与直线 y=13x 的交点个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知 a=2,0,b=1,1 ,则 a 在 b 上的投影向量为（ ）
A. 2,1 B. 1,1 C. 2,1 D. 2,2
4. 已知 z1,z2∈C ,则下列说法正确的是（ ）
A. 若 z3∈C,z1z3=z2z3 ,则 z1=z2 B. 若 z1=z2 ,则 z1=z2
C. 若 z1+z2=z1−z2 ,则 z1⋅z2=0 D. z1+z2=z1−z2
5. 如图所示,角 xx∈0,π2 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,其终边与单位圆的交点为 P ,分别过点 A 作 x 轴的垂线,过点 B 作 y 轴的垂线交角 x 的终边于 T , S ,根据三角函数的定义, tanx=AT . 现在定义余切函数 y=ctx ,满足 ctx=1tanx ,则下列表示正确的是（ ）
A. ctx=OT
B. ctx=PS
C. ctx=OS
D. ctx=BS
6. 已知单位向量 a,b 互相垂直,若存在实数 t ,使得 a+1−tb 与 1−ta+b 的夹角为 60∘ ,则 t=（ ）
A. −1±22 B. −1±2 C. −1±32 D. −1±3
7. 12cs20∘−cs40∘cs20∘=（ ）
A. −14 B. 14 C. −12 D. 12
8. 已知函数 fx=sinx+sin2x ,下面关于函数 fx 的图象与性质描述正确的是（ ）
A. 函数 fx 的图象关于 y 轴对称
B. 函数 fx 的最小正周期为 π
C. 方程 fx=0 在 −π,π 上有 5 个不同的实根
D. fx≤2 恒成立
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某同学统计了某校高一男生的身高数据 (单位: cm ),并整理得到下表
根据表中数据,下列说法正确的是（ ）
A. 该校高一年级男生身高的中位数小于 170 cm
B. 该校高一年级男生身高的众数和中位数相同
C. 该校高一年级男生身高的极差介于 15 cm 至 25 cm 之间
D. 该校高一年级男生身高的平均数介于 170 cm 到 175 cm 之间
10. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置, 其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动. 若某阻尼器离开平衡位置的位移 y (单位: m ) 和时间 x (单位: s ) 满足函数关系: y=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2 ,某同学通过 “五点法” 计算了一个周期内的部分数据如下 (其中 a,b,c,d 为未知数),则下列有关函数 y=fx 的描述正确的是（ ）
A. 函数 fx 的图象关于点 163,0 对称
B. 函数 fx 的图象可由函数 y=Asinωx 的图象向右平移 13 个单位得到
C. 函数 fx 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为 4
D. 函数 fx 的图象与函数 y=3csπ2x+π3 的图象重合
11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, Q 是 CC1 的中点,下列说法正确的是（ ）
A. 若 P 是线段 AC1 上的动点,则三棱锥 P−BQD 的体积为定值
B. 三棱锥 A1−BQD 外接球的半径为 666
C. 若 AQ 与平面 AC ,平面 AD1 ,平面 AB1 所成的角分别为 θii=1,2,3 ,则 i=13cs2θi=2
D. 若平面 ABQ 与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为 θii=1,⋯,6 , 则 i=16sin2θi=4
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 tanα+β=1,tanα−β=2 ,则 tan2α= .
13. 在 △ABC 中, A=π2,BC⋅BA=3CA⋅CB ,则 △ABC 中最小角的余弦值为 .
14. 设 x∈R,m∈Z，若 −12
15. (13 分)
已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 b 最大, sinA−csC=2csBsinC+π3 .
(1) 求 B ;
(2) 若 AC 边上的高为 4,求 △ABC 面积的最小值.
16. (15 分)
已知函数 fx=4sinxcsx−sin2x+3cs2x−1 .
(1) 求函数 fx 的最值与单调递增区间;
(2) 若方程 f2x−a+2fx+2a=0 在 0,π 上恰有 4 个不同的实数根,求 a 的值.
17. (15 分)
在三棱锥 P−ABC 中, AC⊥CB,AB⊥BP,CB=CP=CA,BP=12AP . 点 C 在平面 PAB 上的射影 D 恰好在 PA 上.
(1) 若 E 为线段 BP 的中点,求证: BP⊥ 平面 CDE ;
(2) 求二面角 C−AB−P 的余弦值.
18. (17 分)
某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价, 为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况,该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法,从该市所辖 A,B,C 三个区域的第二档居民用户中按 2:2:1 的比例分配抽取了 100 户后,统计其去年一年的月均用电量 (单位: kW⋅h ),进行适当分组后 (每组为左闭右开的区间),频率分布直方图如下图所示.
(1) 求 m 的值;
(2) 若去年小明家的月均用电量为 234 kW⋅h ,小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中 85% 的用户,请判断小明的估计是否正确?
(3) 通过进一步计算抽样的样本数据,得到 A 区样本数据的均值为 213,方差为 24.2 ; B 区样本数据的均值为 223 , 方差为 12.3 ; C 区样本数据的均值为 233 , 方差为 38.5 , 试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差. (需先推导总样本方差计算公式, 再利用数据计算)
19. (17 分)
在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AB⊥BC,AB=2,BC=AA1=23 ,点 M 是平面 ABC 上的动点.
(1) 若点 M 在线段 BC 上 (不包括端点),设 α 为异面直线AC 与 B1M 所成角,求 csα 的取值范围;
(2) 若点 M 在线段 AC 上,求 A1M+12MC 的最小值;
(3) 若点 M 在线段 BA 上,作 MN 平行 AC 交 BC 于点 N,Q 是 BB1 上一点,满足 MB+BQ=2 . 设 MB=x ,记三棱锥 Q−MBN 的体积为 Vx . 我们知道,函数 y=fx 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y=fx 为奇函数,有同学发现可以将其推广为: 函数 y=fx 的图象关于点 Pa,b 成中心对称图形的充要条件是函数 y=fx+a−b 为奇函数. 据此,判断函数 y=Vx 在定义域内是否存在 x0 ,使得函数 y=Vx 在 0,x0 上的图象是中心对称图形,若存在,求 x0 及对称中心; 若不存在,说明理由.身高
[155,160)
[160,165)
[165,170)
[170,175)
[175,180)
频数
60
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