2025年高考数学一轮复习-第2课时-球的切、接与截面问题【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第2课时-球的切、接与截面问题【课件】，共60页。PPT课件主要包含了考点分类突破，课时跟踪检测等内容，欢迎下载使用。

精选考点 典例研析 技法重悟通
（2）（2024·全国乙卷16题）已知点 S ， A ， B ， C 均在半径为2的球 面上，△ ABC 是边长为3的等边三角形， SA ⊥平面 ABC ，则 SA ＝ ⁠.
解题技法1. 求几何体外接球半径的方法（1）补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用 它们外接球半径公式求解；（2）性质法：球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点 的连线与弦垂直.
2. 确定球心的常用结论（1）长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；（2）正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；（3）直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的 中点；（4）正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角 三角形运用勾股定理计算得到.
1. （2024·菏泽一模）已知三棱锥 P - ABC 中， PA ， PB ， PC 两两垂 直，且 PA ＝1， PB ＝2， PC ＝3，则三棱锥 P - ABC 的外接球的表面 积为（　　）
解析：　以线段 PA ， PB ， PC 为相邻三条棱 的长方体PAB'B-CA'P'C'被平面 ABC 所截的三棱 锥 P - ABC 符合要求，如图，长方体PAB'B- CA'P'C'与三棱锥 P - ABC 有相同的外接球，其外 接球直径为长方体体对角线PP'，设外接球的半径为 R ，则（2 R ）2＝PP'2＝ PA 2＋ PB 2＋ PC 2＝12＋22＋32＝14，则所求表面积 S ＝4π R 2＝π·（2 R ）2＝14π.
2. （2021·全国甲卷11题）已知 A ， B ， C 是半径为1的球 O 的球面上 的三个点，且 AC ⊥ BC ， AC ＝ BC ＝1，则三棱锥 O - ABC 的体积为 （　　）
【例2】　（1）（2024·全国甲卷15题）在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别为 AB ， C 1 D 1的中点.以 EF 为直径的球的球面与该正 方体的棱共有 个公共点；
（2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的 球的体积为 ⁠.
解题技法内切球问题的处理思路　　通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，解题 思路如下：（1）定球心：内切球中球心到切点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包 含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到 空间问题平面化的目的；
（3）求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球 半径的方程，并求解.提醒　求解多面体内切球问题，一般是将多面体分割为以内切 球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的 体积等于分割后各棱锥的体积之和，求内切球的半径.
1. 如图，已知球 O 是棱长为1的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的内切球， 则平面 ACD 1截球 O 的截面面积为（　　）
2. 已知三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥底面 ABC ， AC ＝4， BC ＝3， AB ＝ 5， PA ＝3，则该三棱锥的内切球的体积为 ⁠.
与球切、接有关的最值问题
【例3】　（1）（2022·全国乙卷9题）已知球 O 的半径为1，四棱锥的 顶点为 O ，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积 最大时，其高为（　　）
（2）（2024·全国甲卷16题）在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝ 4， O 为 AC 1的中点，若该正方体的棱与球 O 的球面有公共点， 则球 O 的半径的取值范围是 ⁠.
解题技法处理与球切、接有关最值问题的解题策略（1）截面法：①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且 为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；② 作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.（2）代数法：找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方 法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次 函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法（如 三角函数等）及导数法等.
2. （2024·长沙检测）在封闭的直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1内有一个体积 为 V 的球.若 AB ⊥ BC ， AB ＝6， BC ＝8， AA 1＝3，则 V 的最大值 是 ⁠.
关键能力 分层施练 素养重提升
1. 正方体的外接球与内切球的表面积之比为（　　）
2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球 面上，则该圆柱的体积为（　　）
3. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个 球的表面积为（　　）
4. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯 结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完 全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90°榫卯起来.若正四棱 柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容 器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结 果保留π）（　　）
6. （多选）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已 知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点 在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是 （　　）
7. 已知三棱锥 S - ABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA ＝1， SB ＝ SC ＝ 2，则三棱锥 S - ABC 的外接球的半径是 ⁠.
9. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆 柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相 传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大 发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面 积之比说法正确的是（　　）
11. 已知 A ， B ， C 为球 O 的球面上的三个点，☉ O 1为△ ABC 的外接 圆.若☉ O 1的面积为4π， AB ＝ BC ＝ AC ＝ OO 1，则球 O 的表面积 为（　　）
当2＜ h ＜4时，f'（ h ）＜0；当 h ＞4时，f'（ h ）＞0.
所以 f （ h ）在（2，4）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增，
所以 f （ h ）min＝ f （4）＝8，即 h ＝4时，该圆锥的体积最小.后 同法一.
15. （2024·南昌调研）如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中有 两个球，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且 与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 ⁠.
16. 如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为5 cm，该纸片上的等边三角 形 ABC 的中心为 O . D ， E ， F 为圆 O 上的点，△ DBC ，△ ECA ， △ FAB 分别是以 BC ， CA ， AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开 后，分别以 BC ， CA ， AB 为折痕折起△ DBC ，△ ECA ，△ FAB ， 使得 D ， E ， F 重合，得到三棱锥.当△ ABC 的边长 变化时，求所得三棱锥体积（单位：cm3）的最 大值.