湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知i是虚数单位,复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．已知M,N是圆O上的两点,若,则( )
A.3B.C.9D.
4．已知函数（,,）的部分图象如图所示,则( )
A.B.
C.D.的最小正周期为
5．已知双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为1,则E的离心率为( )
A.B.C.2D.
6．在的展开式中,的系数是( )
A.-5B.5C.-10D.10
7．从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次,每次取一个球,A表示事件“两次取出的球颜色相同”,B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”,则( )
A.B.C.D.
8．设函数的定义域为R,且满足,,,,都有,若,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.数据2,7,4,5,16,1,21,11的中位数为5
B.当时,当且仅当事件A与B相互独立时,有
C.若随机变量X服从正态分布,若,则
D.已知一系列样本点（,2,3,…,n）的经验回归方程为,若样本点与的残差相等,则
10．已知抛物线,直线l过C的焦点F,且与C交于M,N两点,则( )
A.C的准线方程为
B.线段的长度的最小值为4
C.存在唯一直线l,使得F为线段的中点
D.以线段为直径的圆与C的准线相切
11．已知圆柱的高为,线段与分别为圆与圆的直径,则( )
A.若P为圆上的动点,,则直线与所成角为定值
B.若为等边三角形,则四面体的体积为
C.若,且,则
D.若,且与所成的角为,则四面体外接球的表面积为或
三、填空题
12．已知平面向量,,若,则________________.
13．3月19日,习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街,了解历史文化街区修复利用等情况,这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化,某部门召集了200名志愿者,根据报名情况得到如下表格：
若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训,再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使,记X为这3人中来自澧水船工号子的人数,则X的数学期望为_________________.
14．已知函数,且时,,则的取值范围为________________.
四、解答题
15．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小：
(2)若,的面积为,求的周长.
16．已知椭圆过点,且离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l过点,且与C交于A,B两点,当最大时,求直线l的方程.
17．如图,四棱锥中,平面,,,.
(1)证明：;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知正项数列的前n项和为,且.
(1)求,的值及数列的通项公式;
(2)求数列的最大项;
(3)若数列满足,求数列的前30项和（,）.
19．已知函数,.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)若对任意恒成立,求整数a的最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意得,所以,.
故选：A.
2．答案：D
解析：由,
得.
故选：D.
3．答案：B
解析：设C为的中点,连接,如图,
则,
所以.
故选：B.
4．答案：C
解析：由图象可知,,故A错误;
由图象知,,所以,,故BD错误;
因为图象过点,且在减区间上,
所以,即,,
解得,,又,所以,即,
又图象过点,所以,即,所以,
所以,故C正确.
故选：C.
5．答案：A
解析：由题意可知,双曲线焦点在x轴,,右焦点到渐近线的距离,
所以,,.
故选：A.
6．答案：A
解析：由多选式乘法知,只需求出展开式中与项的系数,即可得解,
由组合知识可知,的系数为,项的系数为,
故在的展开式中,的系数是.
故选：A
7．答案：D
解析：由于我们不考虑两次取球的顺序,故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.
从而,,
故.
故选：D
8．答案：C
解析：由,可得,
即,
再令得：,所以,即函数是以6为周期的函数,所以,,
由可得关于对称,又因为,单调递增,所以当,单调递减,
因为,所以,即.
故选：C
9．答案：BC
解析：对A,数据由小到大排列为1,2,4,5,7,11,16,21,其中位数为,故A错误;
对B,当时,,即,所以事件A与B相互独立,故B正确;
对C,随机变量X服从正态分布,且,
所以,由正态分布的对称性知,,故C正确;
对D,由可知,与的残差分别为,,
所以由可得,故D错误.
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：对于A,抛物线的准线方程为,故A错误;
对于B,,
由题意可得直线的斜率不等于零,设方程为,,,
联立,消x得,,
则,所以,
所以,时取等号,
所以线段的长度的最小值为4,故B正确;
对于C,由B选项得线段的中点坐标为,
若点F为线段的中点,
则,解得,
所以存在唯一直线,使得F为线段的中点,故C正确;
对于D,由C选项知线段的中点坐标为,
则中点到准线的距离为,
所以以线段为直径的圆与C的准线相切,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：对于A,如图①所示,
当时,则,
又因为,
所以为直角三角形,
且,（r圆半径）,
故与所成角即为与所成角,
即为定值,故A正确;
对于B,如图②所示,
当为等边三角形时,即,
因为为中点,
所以,,,
又因为,且,平面,平面,
所以平面.
又因为,即,故,
所以,
故B错误;
对于C,如图③所示,分别以为x轴,过垂直于为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,
因为,即,由B选项可知,
则,,,
所以,,
所以,
所以,故C正确;
对于D,如图③所示,分别以为x轴,过垂直于为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,
因为与所成角位,
所以,
解得或.
设四面体外接圆半径为R,
当时,则,故外接球表面积为;
当时,则,故外接球表面积为;
故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：因为,
所以,解得,
故,
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意得样本中澧水船工号子的人数为,所以X可取0,1,2,
并且服从超几何分布,
,,,
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：作出函数的图象,如图所示,
因为时,,
由图可知,,
则,
即,所以,所以,
由函数关于对称,可得,
所以,
因为,所以,
即的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,
由正弦定理可得,
又,,所以,
又,所以;
（2）由,得,
由余弦定理得,
又因为,
所以,
所以,所以,
所以的周长为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得,解得,
所以椭圆C的标准方程为;
(2)当直线l的斜率不存在时,方程为,
此时,
当直线l的斜率存在时,设方程为,,
联立,消y得,
恒成立,故,
则,,
所以
,
令,,则,
所以
,
当,即时,取得最大值3,此时,
综上所述,当最大时,求直线l的方程为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为,,
所以,所以,
所以,
因为平面,平面,
所以,
又,,平面,
所以平面,
又平面,所以;
(2)设,
如图,以点O为原点建立空间直角坐标系,
由（1）得,,,
故,,
则,,,
故,,
设平面的法向量为,
则有,可取,
因为平面,
所以即为平面的一条法向量,
故,
即平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：(1),,
(2)3
(3)
解析：(1)因为,
所以当时,解得,
当时,由,解得,
当时,,
则,
化简得,而,所以,
所以数列为等差数列,所以.
(2)由（1）知,,则,
所以,
因为,当或时,取最大值3,
所以数列的最大项为第2项或第3项,其值为3.
（3）由题可知,当,时,
,
所以,
当,时,,
所以,
,
相减得,,
所以,
所以
19．答案：(1)
(2)函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(3)1
解析：(1)当时,,,
所以,,
所以切线方程为,即.
(2)因为,
所以,
设,
则,
又因为,所以,即单调递增,
又因为,所以时,,即;
时,,即,
综上可知,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(3)因为对任意恒成,
即,,
即,
即,
设,则,
易知单调递增,所以,
所以单调递增,则原不等式等价于,
即 对任意恒成立,
所以,令,则,
又因为,
令,则,所以单调递减;
又因为,,
所以,,
所以时,,即,单调递增;
时,,即,单调递减;
所以,
所以,而,
所以整数a的最小值为1.
项目
常德高腔
常德丝弦
桃源刺绣
安乡木雕
澧水船工号子
志愿者人数
30
60
50
40
20