河北省保定市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省保定市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．用数字0，1，2，3组成三位数，各数位上的数字允许重复，则满足条件的三位数的个数为( )
A.12B.24C.48D.64
3．若曲线在处的切线的斜率为，则( )
A.B.C.D.6
4．为了研究某产品的年研发费用x(单位:万元)对年利润y(单位:万元)的关系，该公司统计了最近8年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为.已知，，.若该公司对该产品预投入的年研发费用为25万元，则预测年利润为( )
A.55万元B.57万元C.60万元D.62万元
5．已知正实数a，b，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有( )
A.7种B.8种C.12种D.14种
7．已知为偶函数，若函数与图象的交点为，，…，，则( )
A.45B.C.90D.
8．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称为“旋转函数”.下列四个函数中“旋转函数”的个数为( )
①;②;③;④.
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．对于的展开式，下列说法正确的是( )
A.展开式共有5项B.展开式的各项系数之和为
C.展开式中的常数项是15D.展开式的各二项式系数之和为32
10．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若点数为5或6，则从甲箱中随机摸出1个球不放回;若点数为1，2，3，4，则从乙箱中随机摸出1个球不放回.下列结论正确的是( )
A.掷骰子一次，摸出的是红球的概率为
B.掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为
C.掷骰子两次，摸出的2个球都来自甲箱的概率为
D.掷骰子两次，摸出2个红球的概率为
11．已知函数恰好有三个零点，分别为，，，且，则下列说法正确的是( )
A.B.，，成等差数列
C.，，成等比数列D.
三、填空题
12．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为________.
13．已知和分别是函数的极大值点和极小值点.若，则a的取值范围是________.
四、双空题
14．如图，一只蚂蚁从正四面体的顶点O出发，每一步(均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n步回到点O的概率，则________，________.
五、解答题
15．某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：
(1)根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联?
(2)从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
16．已知函数是奇函数.
（1）求a；
（2）求不等式的解集.
17．已知函数.
（1）若在上单调递增，求m的取值范围;
（2）若且经过点只可作的两条切线，求a的取值范围.
18．某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？
19．若存在实数a，对任意，使得函数，则称在D上被a控制.
（1）已知函数在上被a控制，求a的取值范围.
（2）（i）证明：函数在上被1控制.
（ii）设，证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：，，，
，，，
则.
故选：D.
2．答案：C
解析：百位数字除0有3个数字可选，十位数字有4个数字可选，
个位数字有4个数字可选，
所以满足条件的三位数的个数有个.
故选：C.
3．答案：D
解析：，
故选：D
4．答案：A
解析：，，
，
.
y关于x的经验回归方程为.
故当时，.
故选:A.
5．答案：B
解析：若，取，，则，即不能推出，故充分性错误；
若，由均值不等式可知，所以，2个等号取等条件都是，
所以可以推出，所以必要性正确，所以是必要不充分条件.
故选：B
6．答案：A
解析：先把4名学生分成2组，
第一种情况2组人数分别为2、2，
由于甲不去A乡村，所以从另外3人中选一人和甲一起去B村，有种，
第二种情况2组人数分别为1、3，
则可能甲单独去B村，或者甲与另外2人去B村，有种，
故共有种.
故选：A.
7．答案：A
解析：因为为偶函数，所以，
即函数的图象关于直线对称，
又函数的图象关于直线对称，
所以函数与图象的交点关于直线对称，
由交点有9个，故两函数必都过点，即.
故选：A
8．答案：B
解析：由题可知，所给函数的图象都经过坐标原点，则的图象与直线只能有一个交点；
①图象绕坐标原点逆时针旋转后所得曲线为仍然是的函数的图象，故是旋转函数符合题意；
②在处的切线方程为，则的图象于有2个交点，不符合题意；
③在处的切线方程为，同样不符合题意;
④在处的切线方程为，符合题意
所以“旋转函数”的个数有2个；
故选：B.
9．答案：BD
解析：对于A，，故展开式共有6项，A错误，
对于B，令，则，B正确，
对于C，展开式中的通项是，，令，则，故常数项为，C错误，
对于D，展开式的二项式系数和为，D正确，
故选：BD
10．答案：BCD
解析：对于A，掷骰子一次，从甲箱摸球的概率为，从甲箱子中摸出红球的概率为，从乙箱摸球的概率为，从乙箱子中摸出红球的概率为，
掷骰子一次，摸出的是红球的概率为，故A错误；
对于B，掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为，B正确；
对于C，掷骰子两次，摸出的2个球都来自甲箱的概率为，故C正确；
对于D，掷骰子两次，摸出2个红球包含三种情况，
掷骰子两次，摸出的2个球都来自甲箱的概率为；
掷骰子两次，摸出的2个球都来自乙箱的概率为
掷骰子两次，摸出的2个球来自甲、乙两个箱的概率为，
掷骰子两次，摸出2个红球的概率为，D正确；
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：根据题意，，
即或，所以或，
即问题转化为直线与曲线和交于三个点，
且三个点的横坐标依次为，，，且，
对于，得，
当时，，即函数单调递增，
当时，，即函数单调递减，
当时，函数取得最大值，
对于，得，
当时，，即函数单调递增，
当时，，即函数单调递减，
当时，函数取得最大值，
如图，作出函数与的图象，
由，可得，由，可得，
又，且在上单调递增，
又，所以，即，A正确；
，且在上单调递减，
又，所以，即，
故，则C正确，B错误；
因为，所以，
则，则D正确.
故选：ACD
12．答案：，
解析：由函数的定义域和值域均为，
所以要有意义，则需，解得，
所以函数的定义域为，
因为，所以，
所以，即值域为.
故答案为：，
13．答案：
解析：已知，函数定义域为R，
可得，
因为和分别是函数的极大值点和极小值点，
所以，是方程的两个不等实根，
所以，解得，
又，所以为开口向下的二次函数，故，
而当时，原函数只有一个极值点，矛盾，
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，这与题干矛盾；
故所求范围是.
故答案为：.
14．答案：；
解析：由题可知，在1步后蚂蚁位于O、B、C、A点的概率分别为0，，，
故经过2步回到点O的概率，
，，
数列是公比为的等比数列，
又，，即，
故答案为：；.
15．答案：(1)阅读达标情况与性别有关联
(2)分布列见解析，
解析：（1）零假设为：阅读达标情况与性别无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为阅读达标情况与性别有关联.
（2）由题可知抽取的女生人数为，抽取的男生人数为，
则的可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列如下：
故.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，所以的定义域为，
函数是奇函数，所以，
解得，可得，
当时，
，
所以是奇函数，故；
（2）因为是奇函数，所以，
由得，
可得，解得，
即，可得，
解得，
所以不等式的解集为.
17．答案：(1)；
(2)
题，利用导数研究函数的性质画出图象即可求解.
解析：（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在恒成立，
设，显然在上单调递减，
所以，所以.
（2）若，则，，
设切点坐标为，则切线方程，
把代入切线方程得：，
设，则，令得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，当时，，
依题意过存在两条切线，即方程有两解，根据的图象可得：
，即.
18．答案：(1)；
(2)选
解析：（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，
所选的题目回答正确为事件B，
则
，
所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，
故当时，甲获奖励的概率，
当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6，
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，
故当时，甲获奖励的概率
，
，即，
所以甲应选.
19．答案：(1)；
(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.
解析：（1）令，，
则，
当时，，所以在上单调递增，
因为，所以恒成立.
当时，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
综上所述，实数a的取值范围是.
（2）(i)要证明函数在上被1控制，
只需证明，，即证.
令，，
可得.
当时，，即在区间上单调递增，
所以，原命题得证.
(ii)由(i)可知，当时，，
则，即，
则有，
即，
故.
阅读达标
阅读不达标
合计
女生
70
30
100
男生
40
60
100
合计
110
90
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P