压轴题03不等式压轴题十三大题型汇总-1

这是一份压轴题03不等式压轴题十三大题型汇总-1，共33页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知均是锐角，设的最大值为，则=（ ）
A．B．C．1D．
3．如图所示，面积为的扇形中，分别在轴上，点在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，且与交于点，其中与轴交于点，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．2
4．在中，则的最小值为（ ）
A．14B．16C．18D．20
5．已知点是圆 C 上的任意一点，则 的最大值为（ ）
A．25B．24C．23D．22
6．已知分别是双曲线的左，右顶点，是双曲线上的一动点，直线，与交于两点，的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
7．对任意两个非零的平面向量和，定义：，．若平面向量满足，且和都在集合中，则（ ）
A．1B．C．1或D．1或
8．已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A．B．C．D．
9．当，时，.这个基本不等式可以推广为当x，时，，其中且，.考虑取等号的条件，进而可得当时，.用这个式子估计可以这样操作：，则.用这样的方法，可得的近似值为（ ）
A．3.033B．3.035C．3.037D．3.039
10．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：，，，…，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（ ）
A．46B．45C．44D．43
11．设，随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值的概率也均为0.2，若记分别为的方差，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系与的取值有关
12．已知随机变量，且，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
13．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．27B．24C．32D．28
14．已知在中，角的对边分别为．若为的重心，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）

A．B．
C．D．
二、多选题
16．已知正实数，，，且，，，为自然数，则满足恒成立的，，可以是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
三、填空题
17．以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 .
18．已知正数满足，，则的最小值为 .
19．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ．
20．已知正实数，，满足，则的最小值是 .
21．若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ．
22．已知“”与“”互为充要条件，则“”和“”的最小值之和为 ．
23．已知，，，则的最小值为 ．
24．已知，，则最小值为 .
25．若，则的最大值为 ．
26．如图，双曲线的右焦点为，点A在的渐近线上，点A关于轴的对称点为为坐标原点)，记四边形OAFB的面积为，四边形OAFB的外接圆的面积为，则的最大值为 ，此时双曲线的离心率为 .
27．已知正实数满足则当 取得最小值时，
28．已知单位向量，向量，满足，且，其中，当取到最小时， ．
29．在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值．
30．如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则 ；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为 ．
31．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为 ．
32．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为 ．
33．如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为 ．

四、解答题
34．在中，，点，分别在，边上．
(1)若，，求面积的最大值；
(2)设四边形的外接圆半径为，若，且的最大值为，求的值．
35．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为．
(1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值；
(2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；
(3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为求证：的垂心必在椭圆上．
参考答案：
1．B
【分析】由基本不等式和可得，化简可得，令，利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.
【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以．
因为，
令，则，，
所以，
由对勾函数在上单调递增，则当时函数取到最小值，
所以当时，，
所以.
故选：B．
2．B
【分析】根据三角恒等变换结合基本不等式求最值可得，然后由求解即可
【详解】由基本不等式可得，，，
三式相加，可得，
当且仅当均为时等号成立，
所以，
则．
故选：B
3．B
【分析】利用扇形面积公式求出，设，利用三角函数的定义和切线的性质用和表示，，，再根据基本不等式求最小值即可.
【详解】解析：因为扇形的面积为，即，所以，
设，则在中，，
连接，根据切线的性质知，
则在中，，
所以，
令，则，且，
所以原式，
当且仅当，即时，等号成立，
又，所以时，取得最小值，为，
故选：B
4．B
【分析】利用和差角公式及二倍角公式得到，即可得到，从而得到，再令，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，
所以，即，
因为，，
所以
，
所以，
又，所以，
所以
即，
所以，
设，则，显然，，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故选：B
5．A
【分析】设 代入算式中由倍角公式化简，利用基本不等式求积的最大值.
【详解】点是圆 C 上的任意一点，设
则
，
当且仅当 时，等号成立.
的最大值为25.
故选：A
6．A
【分析】容易知道，设直线的方程为：，则直线的方程为：，求出，两点坐标，则，设的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值.
【详解】由已知得，，，由双曲线的对称性，不妨设在第一象限，
所以，，
所以，
设直线的方程为：，则直线的方程为：，
同时令，则，，
所以，
设的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得，
，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以.

故选：A
【点睛】结论点睛：若、分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上一动点，则直线与直线的斜率之积为定值.
7．D
【分析】根据，得到，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到，，再结合条件，即可求出结果.
【详解】因为，
设向量和的夹角为，因为，所以，
得到，
又，所以，
又在集合中，所以，即，得到，
又因为，所以或，
所以或，
故选：D.
8．A
【分析】根据向量运算，由米勒最大角定理分析运算可得结果，或者直接建立坐标系，利用坐标结合基本不等式计算可得结果.
【详解】根据题意：与共线，点位于的等分点处(靠近点)
解法一：欲使最大，根据“米勒最大角定理”，此时以为弦圆与相切，根据切割弦定理：,故.
解法二：设，则，有=
，
当且仅当时成立.
故选:A
9．C
【分析】根据给定的信息，求出的近似值，进而求出的近似值.
【详解】依题意，，则.
故选：C
10．B
【分析】将题目中的规律总结为含未知数的一般形式，然后解不等式即可.
【详解】题目所给规律可以表示为等式，
故由题目条件知，即且.
故，，
这得到，从而.
故选：B.
11．C
【分析】根据期望的公式推出，再根据方差的计算公式可得的表达式，结合基本不等式，即可判断的大小，即得答案.
【详解】由题意得，
，
故，
记
则
同理
因为，则，，，
故，
即得，与的大小关系与的取值无关，
故选：C
12．D
【分析】根据正态分布的性质求出的值，则，令，，则，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】因为随机变量，且，
所以，即，所以，
所以
令，，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
即的最大值为.
故选：D.
13．A
【分析】先求得每一轮训练过关的概率，利用二项分布的期望列方程，结合基本不等式以及二次函数的性质求得正确答案.
【详解】设每一轮训练过关的概率为，
则
，
，当且仅当时等号成立.
函数的开口向上，对称轴为，
所以，
依题意，，则，
，所以至少需要轮.
故选：A
【点睛】方法点睛：求解相互独立事件和独立重复事件结合的问题，要注意区别两者的不同，相互独立事件的概率可以不相同，独立重复事件概率是相同的.求最值的方法可以考虑二次函数的性质，也可以考虑基本不等式，利用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”.
14．A
【分析】先根据已知条件，利用正弦定理及同角三角函数的基本关系求出角，然后利用余弦定理、基本不等式求出，并且结合得到的表达式，即可求得的表达式，同理可得的表达式，进而得到的最小值.
【详解】由及可得，由正弦定理可得，
又，故,即，而,故；
由余弦定理得，故，
故，当且仅当时，取等号；
设为的中点，连接，则G在上，
则，，
由可得，
则，
同理可得，
故
，当且仅当时，取等号，
故的最小值为，
故选：A
【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边、角、面积的最值（范围）问题，常利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式等建立，（为三角形的边）等之间的等量关系与不等关系，然后利用函数知识或基本不等式求解.
15．A
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求周长的最大值.
【详解】因为四边形木板的一个内角满足，如图，

设，由题设可得圆的直径为，
故，因，为三角形内角，故，
故，
故，
故，
故，当且仅当时等号成立，
同理，当且仅当等号成立，
故四边形周长的最大值为，
故选：A.
16．BC
【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，进而得到只需即可，再依次判断四个选项即可.
【详解】要满足，只需满足，
其中正实数，，，且，，，为正数，
，
当且仅当，即时，等号成立，
观察各选项，故只需，故只需即可，
A选项，，，时，，A错误；
B选项，，，时，，B正确；
C选项，，，时，，C正确；
D选项，，，时，，D错误.
故选：BC.
17．
【分析】由，得，设，则，再结合基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
设，则，
由
，
当且仅当时，取等号，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设，由已知得出，进而得出是解决本题的关键.
18．/
【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.
【详解】由，得，，
则，
，当且仅当时取“=”，
所以当时，的最小值为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
19．2
【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解.
【详解】若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于等于2，
所以，又当，时，，
所以的最大值为2．
若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于2，
所以．
综上，的最大值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.
20．
【分析】因式分解得到，变形后得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为为正实数，
故，
即，
，
当且仅当，即，此时，
所以的最小值为.
故答案为：
21．
【分析】由基本不等式可得.利用导数证明不等式，进而，则，解出a、，得，再次利用基本不等式计算即可求解.
【详解】由基本不等式，得，
即，当且仅当，即时等号成立.
设，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，即，
令，得，所以，
解得，由，得．
所以，当且仅当时，取得等号．
故的最大值是．
故答案为：
22．23
【分析】根据配凑原式，使得相乘可得一个常数，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当，即时取等号；
，
当且仅当，即，
解得或时取等号，
所以和的最小值之和为5+18=23.
故答案为：23.
23．
【分析】将变形为，然后利用对勾函数求得，再根据对勾函数求得，再次利用对勾函数的性质即可求解.
【详解】
设
根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增，
，
，
设，
，
根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增，
，由题中可得，
，
设，
，
根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增，
，又，
，
的最小值为（当时取得)，
故答案为：.
【点睛】求解本题的关键是将原式化简，指定主元，多次利用对勾函数的性质进行求解.
24．6
【分析】利用对数运算找出，的关系，利用导数求出的最小值，再利用基本不等式即可求出最值.
【详解】由，，，
得，所以，即，
因为，所以；
所以，
即，
令，，则，
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以时，取最小值3，即.
因为，所以，
因为，
当且仅当，且，
即，，时等号成立；
故的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是利用对数的运算性质求出的关系；二是利用导数求出的范围；三是利用放缩法及基本不等式求出最小值.
25．
【分析】借助基本不等式有消去、，对求最大值即可，再应用三角函数的单调性即可得.
【详解】由题意得：，，，
则，
当且仅当时等号成立，
即，
即，
则有，则，,
有在单调递增，
在上单调递减，
故在上单调递增，
则当时，即、时，
有最大值，
即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将、消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解.
26．
【分析】利用点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离为，可得，可得，利用基本不等式求的最大值，进而可得离心率.
【详解】由题意可知：，渐近线，即，
则点到渐近线的距离为，
因为，可知，
则，可得，
则，
由题意可知：四边形OAFB的外接圆即为以OF为直径的圆，
则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
可知的最大值为，此时双曲线的离心率为.
故答案为：；.
27．
【分析】设出点之间的距离，由基本不等式求出最值，利用点和圆的位置关系确定自变量取值，代入求解即可.
【详解】设点与点之间的距离为，则，
易知的几何意义是点与点之间的距离的平方，
点在以为圆心，半径为的圆上，又，则，
设点与点之间的距离为，则，
故，当且仅当时取等，
此时取得最小值，由点与圆的位置关系得，此时，
代入得，.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用基本不等式找到关于的取值．再利用点与圆的位置关系确定此时也取得最小值，然后将代入目标式，得到所要求的结果即可．
28．0
【分析】由平面向量的数量积的运算律、结合基本不等式求解
【详解】由题意得，故，
又，，故，，
同理得，
故，
显然，故，当且仅当时等号成立，
此时取到最小值2，，得，得．
故答案为：0
29． /0.5 2
【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面积公式得到，结合和平面向量数量积公式，基本不等式得到的最小值，此时，由余弦定理得到.
【详解】由题意得
，
故，故；
由三角形面积公式得，
故，
其中，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时
，
故.
故答案为：，2
30． 4
【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；
第二空：由为的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出及，代入中利用基本不等式求最值即可.
【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为，
椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
不妨设点在双曲线的右支上，
由双曲线的定义：，
由椭圆的定义：，
可得：，
又，由余弦定理得：
，
即，
整理得：，
所以：；
②为的内心，
所以为的角平分线，则有，同理：，
所以，
所以，即，
因为，
所以，故，
为的内心，三点共线，
即为的角平分线，则有，又，
所以，即，
因为，
所以，故，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：4，.
【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，
（1）直接法：由题意知道利用公式求解即可；
（2）一般间接法：由题意知道或利用的关系式求出，在利用公式计算即可；
（3）齐次式方程法：建立关于离心率的方程求解.
31．
【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解.
【详解】由余弦定理得，
两式相减得，
因为，所以，
由正弦定理得，
即，
所以，
则，
因为在中，不同时为，，故，
所以，
又，所以，则，故，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最大值为.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
32．
【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解.
【详解】由余弦定理得，
两式相减得，
因为，所以，
由正弦定理得，
即，
所以，
则，
因为在中，不同时为，，故，
所以，
又，所以，则，故，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
又，所以，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
33．
【分析】根据正六边形的性质和对称性，可将问题转化为求三角形面积最大值问题，结合基本不等式求出最值即可.
【详解】

如图，由对称性可知，折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大，
此时，折叠后面积为正六边形面积的与面积的3倍的和.
由正六边形的性质和对称性知，，，
在中，由余弦定理可得：
，
得，
由基本不等式可知，则，
故，
因，，解得，
当且仅当时等号成立，
故，
又正六边形的面积，
所以折叠后的面积最大值为：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得折叠后所成图形的面积要取得最大值时的状态，从而得解.
34．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值为1，再利用面积公式即可求解；
（2）由四边形存在外接圆，知四边形为等腰梯形，连接，设，，利用正弦定理，表示，进而利用基本不等式求解.
【详解】（1）由已知，
在中，利用余弦定理知，
结合基本不等式有，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为1，
所以面积的最大值为
（2）四边形存在外接圆，
又，，，
，所以四边形为等腰梯形，
连接，设，，
在中，由正弦定理得，，
，
同理，在中，由正弦定理得，，
所以
，，
，
当且仅当，即
，，当且仅当时，等号成立，
即，即
35．(1)或1
(2)当时，取得最小值
(3)证明见解析
【分析】（1）计算椭圆离心率的等量关系，求解即可.
（2）联立直线与椭圆方程，可得出与的关系，结合不等式可求出最小值；
（3）先由“一簇椭圆系”定义计算椭圆的方程，再根据垂心的性质计算垂心与点坐标的关系，代入点满足的椭圆方程，即可证明.
【详解】（1）因为椭圆的离心率，故由条件得，
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，或1．
（2）易得，
所以直线的方程分别为，
由，得，
又直线与椭圆相切，则，
又，即．
由，得，
又直线与椭圆相切，则，
又，即，
故，
，当且仅当时取等号，此时．
所以当时，取得最小值．

（3）显然椭圆．
因为椭圆上的任意一点记为，
所以．①
设的垂心的坐标为，
连接，因为，
故由得．
又，所以，（*）
将代入（*），得，②
由①②得．
将，代入①得，
即的垂心在椭圆上．

【点睛】知识点点睛：垂心是三角形三条高线的交点，通常有两种方法进行求解，其一是向量法，即两个互相垂直的向量的数量积为零；其二是利用直线的斜率公式，即两条互相垂直的直线的斜率之积为．