[数学]重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一(下)期中质检试卷

这是一份[数学]重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一(下)期中质检试卷，共4页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。

考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 复数的虚部为（ ）
A . B . C . D .
2. 已知两点 ， ， 则与向量同向的单位向量是( )
A . B . C . D .
3. 如图，在正方形中，下列命题中正确的是( )
A . B . C . D .
4. 已知复数满足 ， 则（ ）
A . B . C . D .
5. 在边长为的菱形中， ， 若点 ， 满足 ， ， 其中 ， 且 ， 则的最大值为( )
A . B . C . D .
6. 在中， ， 点在上， ， ， 则( )
A . B . C . D .
7. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处则点到达点所跳跃次数的最小值是( )
A . B . C . D .
8. 已知平面内一正三角形的外接圆半径为 ， 在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动点 ， 则最大值为( )
A . B . C . D .
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。(共3题；共18分)
9. 已知复平面内表示复数：的点为 ， 则下列结论中正确的为( )
A . 若 ， 则 B . 若在直线上，则 C . 若为纯虚数，则 D . 若在第四象限，则
10. 已知复数 则（ ）
A . 是纯虚数 B . 对应的点位于第二象限 C . D .
11. 已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ）
A . B . 的面积为 C . D . 在的外接圆上，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 已知向量 ， 则与同向的单位向量为____________________．
13. 在中，内角、、的对边分别为、、 ， 满足 ， 则 ____________________．
14. 在中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 已知 ， ， ， 则的最大值为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
15. 在锐角中，已知 ， ．
（1） 求；
（2） 求的取值范围．
16. 在复平面内复数、所对应的点为、 ， 为坐标原点，是虚数单位．
（1） ， ， 计算与；
（2） 设 ， ， 求证： ， 并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号．
17. 设的外接圆半径是均为锐角，且 ．
（1） 证明：不是锐角三角形；
（2） 证明：在的外接圆上存在唯一的一点 ， 满足对平面上任意一点 ， 有 ．
18. 记的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 已知 ．
（1） 若 ， 求的取值范围；
（2） 若 ， 点 ， ， 分别在等边的边 ， ， 上不含端点若面积的最大值为 ， 求 ．
19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．
形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，称为虚数单位，当时，为实数；当且时，为纯虚数其中 ， 叫做复数的模．
设 ， ， ， ， ，
如图，点 ， 复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即 ， 其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作 ．
叫做复数的三角形式．
（1） 设复数 ， ， 求、的三角形式；
（2） 设复数 ， ， 其中 ， 求；
（3） 在中，已知、、为三个内角、、的对应边借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
；
， ， ． 题号
一
二
三
四
评分
阅卷人
得分
阅卷人
得分
阅卷人
得分
阅卷人
得分