北师大版七年级数学下册常考题专练专题15全等三角形模型(二)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册常考题专练专题15全等三角形模型(二)(原卷版+解析)，共47页。


A．B．C．D．
2．如图，，都是等边三角形，则的度数是
A．B．C．D．
3．已知，如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是
A．①、②B．③、④C．①、②、③D．①、②、④
4．如图，两个正方形和，连接与，二者相交于．问：
（1）求证：．
（2）与的关系？并说明理由．
（3）求证：平分．
5．如图两个等腰直角与，，连接，交于点．
证明：（1）；
（2）．
6．如图，以的边，为边，向外作等边和等边，连接，相交于点．
（1）求证：．
（2）求的度数．
（3）求证：平分．
（4）求证：．
7．如图，在等腰和等腰中，，，且、、三点共线，作于，求证：．
8．如图，，，，、交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：平分．
9．（1）问题发现
如图1，已知和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，求的度数．
（2）拓展探究
如图2，若和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接；
求：①的度数；
②线段，，之间的数量关系，并说明理由．
10．已知中，；中，；，点、、在同一直线上，与相交于点，连接．
（1）如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数；
（2）如图2，当时，请直接写出：
①的度数；
②若，，线段的长．
11．以的、为边作和，且，，与相交于，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若、分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）；
（3）如图3，连接，直接写出与的数量关系是 ．
12．已知：在和中，，．
（1）如图①，若．
①求证：．
②求证：．
（2）如图②，若，的大小为 （直接写出结果，不证明）．
13．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
（2）拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ；
（3）解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段、、之间的数量关系并说明理由．
14．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，和是等边三角形，连接，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（将所有正确的序号填在横线上）．
【延伸应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系．
15．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若，，，则．
（1）在图1中证明小胖的发现；
借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：
（2）如图2，，，求证：；
（3）如图3，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数（用含有的式子表示）．
题型二 半角模型
16．如图，是边长为6的等边三角形，，，以点为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连结，则的周长是 ．
17．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为 ．
18．已知：边长为1的正方形中，、分别是、上的点．
（1）若，求证：；
（2）若得周长为2，求的度数．
19．已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于、．
（1）当绕点旋转到时（如图，求证：．
（2）当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：．
（3）当绕点旋转到时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
20．如图，中，，，于交于点，连接．
（1）如图1所示，当在内部时，求证：．
（2）如图2所示，当的边、分别在外部、内部时，求证：．
21．（1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ．
（2）如图2：在四边形中，，，．点、分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ．
请你帮小王同学写出完整的证明过程．
22．【感知】如图①，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且，易证，进而证得（不要求证明）
【应用】如图②，在正方形中，点、分别在边、上，且．求证：．
【拓展】如图③，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为 ．
23．问题背景：“半角问题”
（1）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？
（2）若将（1）中“，”换为．其它条件不变．如图1，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．
（3）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出线段、、它们之间的数量关系．（不需要证明）
（4）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．
24．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、．当绕点旋转到时（如图，易证．
（1）当绕点旋转到时（如图，线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
专题15 全等三角形模型（二）
题型一 手拉手模型
1．如图所示，，，，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
故选：．
2．如图，，都是等边三角形，则的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：，都是等边三角形，
，，，，
，
，
，
，
，
的度数是，
故选：．
3．已知，如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是
A．①、②B．③、④C．①、②、③D．①、②、④
【解答】解：和均是等边三角形，
，，，
，，
，
，
，故①正确；
，
，，
，
，
又，
是等边三角形，故②正确；
过作于，于，
，
，
，，
，
，
，，
平分，故④正确；
当时，平分，
则，此时，
则，故③不正确；
故选：．
4．如图，两个正方形和，连接与，二者相交于．问：
（1）求证：．
（2）与的关系？并说明理由．
（3）求证：平分．
【解答】（1）证明：四边形和四边形是正方形，
，，且，
，
在与中，，
，
（2）解：，，理由如下：
由（1）得：，
，，
，
，
；
（3）证明：过点作于，于，如图：
，
，
，
，
，，
平分．
5．如图两个等腰直角与，，连接，交于点．
证明：（1）；
（2）．
【解答】解：（1）证明：与是等腰直角三角形，
，，且，
，
即，
在与中，
，
，
；
（2）证明：设与相交于点，由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
．
6．如图，以的边，为边，向外作等边和等边，连接，相交于点．
（1）求证：．
（2）求的度数．
（3）求证：平分．
（4）求证：．
【解答】证明：（1）和是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
；
（2），
，
，
，
；
（3）过点作于，于，
，
，
，
，
，，
平分；
（4）在上截取，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
即，
是等边三角形，
，
．
7．如图，在等腰和等腰中，，，且、、三点共线，作于，求证：．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
．
8．如图，，，，、交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：平分．
【解答】解：（1），
，
在和中，
，
；
（2）过点作于，于，
，
（全等三角形的对应高相等），
平分．
9．（1）问题发现
如图1，已知和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，求的度数．
（2）拓展探究
如图2，若和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接；
求：①的度数；
②线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
△，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）①同（1）的方法得，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
②同（1）的方法得，，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，
．
10．已知中，；中，；，点、、在同一直线上，与相交于点，连接．
（1）如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数；
（2）如图2，当时，请直接写出：
①的度数；
②若，，线段的长．
【解答】解：（1）①，，，
和是等边三角形；
②和均为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
③，
，
又，
；
（2）①和均为等腰直角三角形，，
，，，
即，，
，
在和中，
，
，
，
，
②，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
11．以的、为边作和，且，，与相交于，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若、分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）；
（3）如图3，连接，直接写出与的数量关系是 ．
【解答】解：（1），
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）连接，
由（1）可得：，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接，过点作于，于，
，
，，
，
，
又，，
，
，
故答案为：．
12．已知：在和中，，．
（1）如图①，若．
①求证：．
②求证：．
（2）如图②，若，的大小为 （直接写出结果，不证明）．
【解答】解：（1）①证明：，
，
．
在和中，
，
，
；
②证明：，
，
，
，
；
（2）由（1）可知：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
13．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
（2）拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ；
（3）解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段、、之间的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）和均是顶角为的等腰三角形，
，，，
，
，
，
；
（2）和均是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3），理由：
同（1）（2）的方法得，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
．
．
14．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，和是等边三角形，连接，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ①②③ ．（将所有正确的序号填在横线上）．
【延伸应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系．
【解答】（1）证明：，
，
，
在和中，，
；
（2）如图2，和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，①正确，，
记与的交点为，
，
，
，
，②正确，
在上取一点，使，连接，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，③正确，
连接，要使，则有，
，
，
，
，
，
，
，而没办法判断大于30度，
所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）如图3，
延长至，使，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
15．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若，，，则．
（1）在图1中证明小胖的发现；
借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：
（2）如图2，，，求证：；
（3）如图3，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数（用含有的式子表示）．
【解答】（1）证明：如图1中，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：如图2中，延长到，使得．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
．
（3）解：如图3中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．
由（1）可知，
，，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
．
题型二 半角模型
16．如图，是边长为6的等边三角形，，，以点为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连结，则的周长是 12 ．
【解答】解：是等腰三角形，且，
，
是边长为4的等边三角形，
，
，
延长至，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的周长是：．
故答案为：12．
17．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为 6 ．
【解答】解：是等腰三角形，且
是边长为3的等边三角形
延长至，使，连接，
在和中，，
，
，
，，为公共边
，
的周长是：．
18．已知：边长为1的正方形中，、分别是、上的点．
（1）若，求证：；
（2）若得周长为2，求的度数．
【解答】（1）证明：延长到，使，连接，
，，，
，
．
，，
，，
，
．
，
，
．
（2）解：如图，延长到，使，连接，
，，，
，
．
，，
，
又，
，
．
19．已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于、．
（1）当绕点旋转到时（如图，求证：．
（2）当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：．
（3）当绕点旋转到时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【解答】（1）证明：，，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
为等边三角形，
，
，
；
（2）证明：如图，将顺时针旋转，得，
，，，
，，
点与点重合，
，
，
点、、三点共线，
，，，
，
在与中，
，
，
，
；
（3）解：不成立，，理由如下：
如图，将顺时针旋转，得，
，
由（2）同理得，点、、三点共线，
，，
点与点重合，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
．
20．如图，中，，，于交于点，连接．
（1）如图1所示，当在内部时，求证：．
（2）如图2所示，当的边、分别在外部、内部时，求证：．
【解答】证明：（1）如图，在上截取，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）如图，在的延长线上截取，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
21．（1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ．
（2）如图2：在四边形中，，，．点、分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ．
请你帮小王同学写出完整的证明过程．
【解答】解：（1）结论：．理由如下：
如图（1）中，在正方形中，，，
把绕点逆时针旋转得到，
，
点、、共线，
，
在和中，，
，
．
（2）结论：成立．理由如下：
如图（2）中，因为，所以可以延长到，使得，则，
，，
，，
，
在和中，
，
，
．
22．【感知】如图①，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且，易证，进而证得（不要求证明）
【应用】如图②，在正方形中，点、分别在边、上，且．求证：．
【拓展】如图③，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为 6.4 ．
【解答】【应用】如图②中，过点作交延长线于点．
四边形为正方形，
，．
，．
，．
．
在和中，
，
．
，．
，，
．
在和中，
，
．
．
，
．
【拓展】如图③中，过点作交延长线于点．
，，
，
，．
．
在和中，
，
．
，．
，，
．
在和中，
，
．
．
，
．
四边形的周长为，
故答案为6.4
23．问题背景：“半角问题”
（1）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？
（2）若将（1）中“，”换为．其它条件不变．如图1，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．
（3）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出线段、、它们之间的数量关系．（不需要证明）
（4）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．
【解答】证明：（1）延长到点．使．连接，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图1，延长到，使，连接．
在与中，
，
．
，，
．
．
又，
易证．
．
．
（3）（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到，使，连接．
，，
，
在与中，
，
．
，，
．
．
又，
．
．
．
（4）结论不成立，应当是．
证明：在上截取，使，连接．
，，
．
在与中，
，
．
，．
．
．
，
易证．
．
24．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、．当绕点旋转到时（如图，易证．
（1）当绕点旋转到时（如图，线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【解答】解：（1）成立．
证明：如图，把绕点顺时针旋转，
得到，则可证得、、三点共线（图形画正确）．
，
又，
在与中，
，
，
，
；
（2）．
在线段上截取，
在与中，
，
，
，
．
在和中，
，
，
．