人教版九年级数学上册精品专题22.1.1二次函数(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题22.1.1二次函数(原卷版+解析)，共18页。
一、单选题
1．(2023·湖南娄底·九年级期末）若是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·九年级课时练习）对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（ ）
A．当b=0时，二次函数是y=ax2+cB．当c=0时，二次函数是y=ax2+bx
C．当a=0时，一次函数是y=bx+cD．以上说法都不对
3．(2023·浙江·九年级专题练习）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5B．y＝ax2+bx+cC．h＝D．y＝x2+
4．(2023·全国·九年级）对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（ ）
A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数
B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数
C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数
D．以上说法都不对
5．(2023·全国·九年级课时练习）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积，棱长xm
B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm
6．(2023·全国·九年级课时练习）某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝30000（1+2x）B．y＝30000+2x
C．y＝30000（1+x2）D．y＝30000（1+x）2
7．(2023·浙江·九年级专题练习）若函数y＝m+4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或﹣1B．0或1C．﹣1D．1
8．(2023·浙江·九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2
二、填空题
9．(2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．
10．(2023·江苏淮安·九年级期末）函数是二次函数，则m＝_____．
11．(2023·浙江·九年级专题练习）如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为 __．
12．(2023·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．
13．(2023·全国·九年级课时练习）已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．
（1）当m_______时，该函数为二次函数；
（2）当m_______时，该函数为一次函数．
三、解答题
14．(2023·全国·九年级课时练习）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：
(1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
(2)一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；
(3)有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不是
二、填空题
2．(2023·全国·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
3．(2023·辽宁大连·九年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 _____．
4．(2023·广西贺州·九年级期末）当_________时，函数是二次函数．
三、解答题
5．(2023·全国·九年级课时练习）已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况．
6．(2023·全国·九年级课时练习）写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系式，并分别计算当，2时三角形的面积．
7．(2023·全国·九年级课时练习）已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
(1)函数为二次函数；
(2)函数为一次函数．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
9．(2023·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
22.1.1 二次函数（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·湖南娄底·九年级期末）若是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．掌握二次函数的概念是解题的关键．
2．(2023·全国·九年级课时练习）对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（ ）
A．当b=0时，二次函数是y=ax2+cB．当c=0时，二次函数是y=ax2+bx
C．当a=0时，一次函数是y=bx+cD．以上说法都不对
答案:D
分析：根据二次函数的定义和一次函数的定义判断即可．
【详解】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；
B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；
C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；
D.以上说法都不对，故此选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数，一次函数的一次项系数．
3．(2023·浙江·九年级专题练习）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5B．y＝ax2+bx+cC．h＝D．y＝x2+
答案:C
分析：根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
【详解】解：A.是一次函数，故此选项错误；
B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C.是二次函数，故此选项正确；
D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
4．(2023·全国·九年级）对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（ ）
A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数
B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数
C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数
D．以上说法都不对
答案:D
分析：根据二次函数和一次函数的定义解答即可．
【详解】解：A、当b＝0，a≠0时，y＝ax2+c是二次函数，故A选项错误；
B、当c＝0，a≠0时，y＝ax2+bx是二次函数，故B选项错误；
C、当a＝0，b≠0时，y＝bx+c是一次函数，故C选项错误；
D、以上说法都不对，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的定义，熟记各定义是解题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）是二次函数，形如y＝kx+b（k、b为常数且k≠0）是一次函数．
5．(2023·全国·九年级课时练习）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积，棱长xm
B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm
答案:D
分析：根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．
【详解】A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．
6．(2023·全国·九年级课时练习）某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝30000（1+2x）B．y＝30000+2x
C．y＝30000（1+x2）D．y＝30000（1+x）2
答案:D
分析：2020年人均收入y = 2018年人均收入×(1+年人均收入平均增长率为x) 2，把相关数值代入即可．
【详解】解：设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为:
y＝30000（1+x）2
故选： D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二次函数的知识点，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)2 =增长后的量．
7．(2023·浙江·九年级专题练习）若函数y＝m+4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或﹣1B．0或1C．﹣1D．1
答案:C
分析：利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0，
解得：m＝﹣1，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
8．(2023·浙江·九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2
答案:D
分析：根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．
二、填空题
9．(2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．
答案: 3 -5 1
分析：形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可．
【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
10．(2023·江苏淮安·九年级期末）函数是二次函数，则m＝_____．
答案:
分析：根据二次函数定义可得m-4=2，再解即可．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
11．(2023·浙江·九年级专题练习）如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为 __．
答案:﹣3
分析：根据二次函数的定义，可得m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，
∴m＝2或﹣3且m≠2，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
12．(2023·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．
答案:
分析：根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．
【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，
∴二月份的为
三月份的为
第一季度的总产值为（亿元），则
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
13．(2023·全国·九年级课时练习）已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．
（1）当m_______时，该函数为二次函数；
（2）当m_______时，该函数为一次函数．
答案: ≠2 =2
分析：（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值；
【详解】解：（1）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为二次函数，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2．
（ 2 ）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为一次函数，
∴m﹣2=0，m≠0，
∴m=2．
故答案为：（1）≠2；（2）=2
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一次函数的定义，利用函数的定义建立方程或不等式是解本题的关键．
三、解答题
14．(2023·全国·九年级课时练习）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：
(1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
(2)一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；
(3)有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．
答案:(1)p= m2﹣5m，是二次函数
(2)=100π﹣4x2，是二次函数
(3)=4a2﹣200a+2400；是二次函数
分析：（1）较大的数是m，则较小的数是（m-5），这两个数的乘积为m（m﹣5），根据题意得出p与m的函数关系，由二次函数的定义得出此函数是二次函数；
（2）方孔边长x（cm），则方孔面积为x2cm2；4个大小相同的正方形孔的面积为4x2cm，半径为10cm的圆的面积为100πcm2，则剩余部分的面积为(100π﹣4x2)cm2，根据题意得出列出函数关系式，根据函数定义可知此函数是二次函数；
（3）草坪宽度a（m）则种植郁金香部分矩形的长和宽为（60﹣2a）米与（40﹣2a）米，根据矩形的面积公式列出S与a的函数关系式，根据函数定义得出此函数是二次函数．
(1)解：这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：p=m（m﹣5）=m2﹣5m，是二次函数；
(2)解：剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：S=100π﹣4x2，是二次函数；
(3)解：郁金香的种植面积S（cm2）与草坪宽度a（m）的函数关系为：S=（60﹣2a）（40﹣2a）=4a2﹣200a+2400，是二次函数；
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义并根据题意找出等量关系列出函数表达式是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不是
答案:C
分析：先利用正方形的性质证明可得再利用勾股定理表示再利用等腰直角三角形的面积公式可得函数关系式，从而可得答案.
【详解】
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，列二次函数关系式，证明是解本题的关键.
二、填空题
2．(2023·全国·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
答案:
分析：由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．
【详解】解：由题意得
解得
∴函数的本源函数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
3．(2023·辽宁大连·九年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 _____．
答案:
分析：由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案．
【详解】解：∵BD=1，AD=y，
∴AB=y+1，
∵AB=AC，
∴AC=y+1，
在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1，
在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1，
∴2y+1=x2-1，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD2作等量，列出y与x的关系式．
4．(2023·广西贺州·九年级期末）当_________时，函数是二次函数．
答案:2
分析：根据二次函数的定义计算即可．
【详解】∵函数是二次函数，
∴m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义即形如，熟练掌握定义是解题的关键．
三、解答题
5．(2023·全国·九年级课时练习）已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况．
答案:
分析：首先得出与的关系，进而由图象得出平行四边形的面积随其底边变化情况．
【详解】解：平行四边形的高与底边的比是，
，
则，
如图所示：平行四边形的面积随其底边增大而增大．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及函数图象性质，解题的关键是利用数形结合的思想求解．
6．(2023·全国·九年级课时练习）写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系式，并分别计算当，2时三角形的面积．
答案:；
分析：根据三角形面积公式以及等边三角形的三线合一即可求出与的关系式．
【详解】解：在等边三角形中，
底边上的高为：，
，
当时，
，
当时，
当时，
【点睛】本题考查函数关系，解题的关键是根据等边三角形的性质求出底边上的高．
7．(2023·全国·九年级课时练习）已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
(1)函数为二次函数；
(2)函数为一次函数．
答案:(1)a=1；(2)a=0或﹣1
分析：（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；
（2）利用一次函数的定义分别求出即可．
(1)当 时，函数为二次函数，
解得：a=±1，a≠-1，
∴a=1；
(2)当 时，函数为一次函数，
解得：a=0，
当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
答案:
分析：过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等可证得∠1=∠3，再证明△ABC≌△DAE，得出AE=BC=a，DE=AC=4a，就可求出EC的长，在Rt△DEC中，根据勾股定理求得DC=5a，则x=5a，即a=x，然后根据四边形ABCD的面积y=△ABC的面积+△ACD的面积，就可求出y=10a2，就可得出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，
设BC=a，则AC=4a，
∵∠BAD=90°，∠AED=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠ACB=∠DEA=90°，AB=AD，
∴△ABC≌△DAE，
∴AE=BC=a，DE=AC=4a，
∴EC=AC-AE=4a-a=3a，
在Rt△DEC中，，
∴x=5a，即a= ，
又∵四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，
∴ ，
即y与x之间的函数关系式是 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的实际应用等，求出BC与x的数量关系是解题的关键．
9．(2023·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
答案:(1)
(2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析
分析：（1）把代入二次函数即可求解；
（2）①把m=4代入解析式求出、、，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入求得、、，根据三角形构成的条件，当时，>0来判断即可。
(1)解：把代入二次函数得：，
．
(2)解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当时，、、，
代入抛物线的解析式得：，，，
，
当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：把、、代入得：
，，，
，
，，，都是大于的，
，
，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长．
【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。