浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.15 “设参求值”解决反比例函数问题（巩固篇）（含答案）

这是一份浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.15 “设参求值”解决反比例函数问题（巩固篇）（含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（ ）
A．2B．C．mD．4
2．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，过点C作x轴的平行线，交y轴于点A，若，则k的值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
3．如图，直线与x轴相交于点B，点A是直线上一点，过点A，B分别作x轴、y'轴的平行线交于点C，点C恰在反比例函数的图象上，若点A的横坐标为点B横坐标的一半，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线与x轴交于点A，与函数的图象交于点B，轴于点C，平移直线，使其过点C，且与函数的图象交于D，若，则k的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．如图，的边在x轴上，若过点A的反比例函数的图象经过边的中点D，且，则k的值是（ ）
A．12B．24C．28D．32
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与轴平行，，两点纵坐标分别为，，反比例函数经过，两点，若，则值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点、为反比例函数图象上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为（ ）
A．B．8C．D．
8．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点是双曲线上的一点，点是双曲线上的一点，所在直线垂直轴于点，点是轴上一点，连接、，则的面积为（ ）
A．5B．6C．10D．16
10．如图，矩形，双曲线分别交、于、两点，已知，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，的边在x轴上，且，反比例函数的图象与边、分别相交于点C、D，连接，已知，的面积为12，若，直线的函数解析式为 _____．
12．如图，两个边长分别为的正方形连在一起，三点在同一直线上，反比例函数在第一象限的图象经过小正方形右下顶点．若，则的值是 _____．
13．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点D，且，反比例函数的图象经过点A，若，则反比例函数表达式为______．
14．如图，反比例函数和的图象在第一象限内分别交矩形的顶点和对角线的中点，则的值为______．
15．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图像在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③若，则；④若，，则．其中正确的有__________．（填序号）
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且若将该菱形向下平移个单位后，顶点恰好落在此反比例函数的图像上，则此反比例函数的表达式为________．
17．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限内的一点，其纵坐标为2，过点P作轴于点Q，以为边向右侧作等边，若反比例函数的图象经过点P和点M，则k的值为______．
18．定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数的图像上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形是第一象限内的一个“奇特矩形”．且点，，则矩形的面积为_______．
三、解答题
19．如图，在矩形中，，F是上的一个动点，F不与重合，过点F的反比例函数的图像与边交于点E．
当F为的中点时，求该函数的解析式及 的面积；
当的面积为时，求F点的坐标．
20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，且，．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 求反比例函数的表达式和点A，B的坐标；
(3) 若点F是点D关于x轴的对称点，求的面积．
21．在平面直角坐标系中，反比例函数和一次函数的图象都经过点．
(1) 若，求的值．
(2) 若点也在反比例函数的图象上．
①求，的函数表达式．
②若，求x的取值范围．
22．如图，矩形的边分别与反比例函数的图象相交于点D、E，与相交于点F．
(1)若点B的坐标为，求点D、E、F的坐标；
(2)求证：点F是的中点．
23．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于点，已知为线段的中点．
求的值；
若点是反比例函数的图象上一个动点，轴于点设四边形的面积为，探究随的变化情况．
24．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线在第一象限内交于点，与轴交于点．
(1) 求，的值；
(2) 在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标．
(3) 点在双曲线上，且是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点共有______个，任意写出一个满足条件的点的坐标，可以为______．
参考答案
1．A
分析：设A坐标为，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为，即可得到，根据点A在点第一象限，即可得到．
解：设点A坐标为，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为，
∴，
∵点A在点第一象限，
∴．
故选：A
【点拨】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键．
2．D
分析：设，由题意可知，可得，由，可得，求出的值即可．
解：设，
∵点C在反比例函数的图象上，且轴，过点C作x轴的平行线，交y轴于点A，
∴，
则，，
∵，即，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据三角形的面积找出关于的一元一次方程．
3．C
解：对于一次函数，
令，则，
解得：，
∵点A的横坐标为点B横坐标的一半，
∴点A的横坐标为
把代入，解得，
∴，
∵过点A，B分别作x轴、y'轴的平行线交于点C，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查一次函数图象与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，熟练掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
4．B
分析：过点D作轴于点E，设，通过表示点D的坐标，由,即可求解．
解：过点D作轴于点E，
由直线可知，
设
∴，，
∴，
由题意可知，
∴，
即，
∴，，
∴
∴点D的坐标为
∵点B、点D在反比例函数上，
∴,
解得：或(舍)
∴
故选B．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的解析式，考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图像上点坐标特征，由列出方程是解题的关键．
5．C
分析：过点、分别作的垂线，由反比例函数系数的几何意义，可以得到，进而得到，根据是平行四边形，，可得，由是的中点，可得出，设出点、的坐标，列方程求解即可．
解：过点、分别作，，垂足为、，
由图像可知：，
在中，，
∴，
是的中点，
∴，
，
四边形是平行四边形，，
，
点、在反比例函数的图象上，
，
，
，
设点，，，
在中，令，则，
∴，，
即，，，，
，
解得，
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．
6．A
分析：过点作，设，，根据的长度，在中应用勾股定理即可求解．
解：过点作，
∵，两点纵坐标分别为，，反比例函数经过，两点，
∴设，，
∴，，
∵
在中，，
即，解得，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键．
7．A
分析：设点的坐标为，则点，，，，根据三角形的面积公式可得出，由此即可求出值．
解：设点的坐标为，则点，，，，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，利用点的横坐标表示出、点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．
8．C
分析：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，先证明，则，易知，，由此可得，从而得到，求出的值即可．
解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，如图所示，
，
中点恰好落在轴上，
，
，
（AAS），
，
点在双曲线上，
，
点在双曲线上，且从图像得出，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是．
9．A
分析：作交的延长线于，则，设点的坐标为，再根据题意分别表示出的长，计算即可得到答案．
解：如图所示，作交的延长线于，
，
则，
设点的坐标为，，
所在直线垂直轴于点，
点坐标为，
，，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数与三角形综合，解题的关键是作出恰当的辅助线，设出相关点的坐标，从而将需要的条件都表示出来，再进行计算即可．
10．C
分析：设F点的坐标为，可求得点E的坐标为，根据三角形面积公式得到，解得m的值，即可求得F点的坐标，据此即可求得．
解：∵四边形是矩形，，，
∴设F点坐标为，点E的纵坐标为3，
，解得，
点坐标为，
则，
整理得：，
解得或(不合题意，舍去)，
，
∵双曲线分别交、于、两点，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了求反比例函数的解析式和矩形的性质，利用面积求得点的坐标是解题的关键．
11．
分析：连接 ，过C作 于E，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，再利用反比例函数的几何意义求出，得到反比例函数为，根据平行的性质得到为的中点，推出，设，则点，，依据的面积公式可得 ，求出，即，最后设直线的函数解析式为，利用待定系数法即可求得直线OA的函数解析式．
解：如图，连接，过C作于E，
，
，
的面积为12，
，即，
又，
，
反比例函数为，
，
，
又为的中点，
为的中点，
，
设，则点，
，
，
，
，
，即，
设直线的函数解析式为，
则，即，
直线的函数解析式为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
12．4
分析：设点的坐标为，再用两个正方形的边的代数式来表示，同时用正方形的边表示代入即可得到关于的积，即的值．
解：连接，
设点坐标为，则，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
即，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查反比例函数求的值，运用正方形性质以及勾股定理代入并转化为反比例函数图象上关于点的横纵坐标关系式是解决本题的关键．
13．
分析：过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，证明，推出，由此即可求得答案．
解：设 ，如图，过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，
则：，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在的图象上，
∴，
∴反比例函数表达式为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线构造．
14．4
分析：利用点是线段的中点，利用点的坐标表示点的坐标和点的坐标，再代入反比例函数的解析式求解即可．
解：设点
则点，点，点
点是线段的中点，
，即
∵点在反比例函数图象上，代入得：
，即
又∵点在反比例函数图象上，
∴代入点得：
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查矩形的性质以及反比例函数，熟练掌握矩形的性质以及运用中点公式整体代入求解的值是解决本题的关键．
15．①②④
分析：根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断，根据平行四边形的性质，面积公式，，即可求解．
解：矩形，比例函数，
∴设，，则点，，，
∴设直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
令，则，解得，，
∴，则，
∵，
∴，则，
∵矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，且，则，
∴，
∴，
∵直线的解析式为，
∴，且，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，解得，，
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去）或，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，反比例函数图形的性质是解题的关键．
16．
分析：过点C作轴于点D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示和点B向下平移个单位的点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可解题．
解：过点C作轴于点D，设菱形的边长为a，
在中，
，，
则，，
点B向下平移个单位的点为，即
则有
解得，
∴，
∴反比例函数的表达式为
故答案为：．
【点拨】本题考查反比例函数解析式，坐标与图形的性质、菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
17．
分析：作轴交x轴于点N，分别表示出、，利用k的几何意义即可求出答案．
解：过点M作轴，如图所示，
∵轴，是等边三角形，
∴，
∵P点纵坐标为2，
∴，
∴，
∴，
设点P坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数中k的几何意义，涉及到了直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解题关键．
18．0.6或27
分析：根据题意分两种情况：设，当反比例函数的图像经过、上的点时，则点、在反比例函数的图像上，根据反比例函数系数得到，求出，即可求出矩形的面积；当反比例函数的图像经过、上的点时，点、在反比例函数的图像上，则，求得，即可求出矩形的面积．
解：当反比例函数的图像经过、上的点时，
设，
∵点， ，
，
∴点、在反比例函数的图像上，
∴，
，
解得，
，
当反比例函数的图像经过、上的点时，
设，
∵点， ，
∴点和点在反比例函数的图像上，
，
解得，
，
故答案为：0.6或27．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，运用分类思想是解题的关键．
19．(1)，；(2)， ）
分析：（1）当F为的中点时，点F的坐标为，由此代入求得函数解析式即可；将代入求出点E的坐标，从而求出的面积；
（2）先求点F的坐标，再求点E，表示出的面积，最后求出点F的坐标．
解：（1）∵点F是的中点，
∴
∴，
∴，
当y为2时，x为
∴，
∴，
∴；
（2）设点，则，
∵点E的纵坐标为2，
∴，
∴，
∵，
解得，，
∴，
【点拨】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．(1)；(2)，，；(3)8
分析：（1）先求出与坐标轴的交点，再根据，求出，进而得到一次函数的表达式；
（2）过作轴，设，，用勾股定理求得的值，求出点的坐标，把函数列成方程组求出点横坐标，代入反比例函数求出纵坐标；
（3）根据，求出的面积即可．
解：（1）令，，，，
∵，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式：；
（2）过A作轴，
设，，
∵A在上，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
解得（舍去），，
∵点在第二象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式：；
∵，
∴，，
∵点B在第四象限，
∴；
（3）令，，
∴，
∵点F是点D关于x轴的对称点，
∴，
∴，
∴．
∴的面积是8．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
21．(1)；(2)①，的函数表达式分别为，；②x的取值范围是或．
分析：（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①根据题意，求得a的值，从而得出，然后分别代入，，利用待定系数法即可求得；
②根据图象，结合A、B的坐标以及直线与x轴的交点即可求得．
（1）解：若，则，
∵反比例函数的图象都经过点．
∴；
（2）解：①∵反比例函数的图象经过点．点也在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
∴，，
解得，，
∴，的函数表达式分别为，；
②在中，令，则；
∵，，
∴若，则x的取值范围是或．
【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标符合解析式．
22．(1)，，；(2)见分析
分析：（1）根据题意可得D点横坐标为4，E点纵坐标为2，从而得到，，再求出直线和的解
析式，再联立，即可求解；
（2）设点B的坐标为，可得，，再求出直线和的解析式，再联立，可得到点
F的坐标，再求出的中点坐标，即可求解．
（1）解：根据题意得：轴，轴，
∵点B的坐标为，
∴D点横坐标为4，E点纵坐标为2，
∵点D、E在反比例函数的图象上，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，
∴；
（2）证明：设点B的坐标为，
∴D点横坐标为a，E点纵坐标为b，
∵点D、E在反比例函数的图象上，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，
∴，
∵，，
∴的中点坐标为，即，
∴点F是的中点．
【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，中点坐标公式，直线交点的求法是解题的关键．
23．(1)；(2)随的增大而减小
分析：（1）求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出点的坐标，待定系数法求出值即可；
（2）利用梯形的面积公式求出与的关系式，再进行分析即可．
（1）解：一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，
当时，；当时，，
，．
为线段的中点，
，
反比例函数的图象过点，
；
（2）点是反比例函数的图象上一个动点，
设，
，
设，则，
随的增大而减小，
在中，，
时，随的增大而增大，
随的增大而减小．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
24．(1)；(2)或；(3)，
分析：（1）将点，代入直线，得出，继而得出，待定系数法求解析式即可得；
（2）设，根据的面积为3，得出，解方程即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，画出图形，根据等腰三角形以及反比例函数的对称性求得点，，即可求解．
（1）解：∵双曲线与直线在第一象限内交于点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直线与轴交于点．
令，得，
∴，
设，
∵的面积为3
∴
∴,
∵，，
∴，
解得：或，
∴或，
（3）如图，以为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于，，，，可得，，是等腰三角形，其中在直线上不能构成三角形，
根据对称性可知，，
故满足条件的点有个，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数结合，等腰三角形的性质，反比例函数图象的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键．