浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.33 反比例函数（存在性问题）（巩固篇）（含答案）

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(2) 连接、，求三角形的面积
(3) 连接，在轴的正半轴上是否存在点，使是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由
2．已知反比例函数图象的一支在第一象限，点，均在这个函数的图象上．
(1) 图象的另一支在第 象限；常数m的取值范围为 ；
(2) 直接写出a与b的大小关系；
(3) 若过点作轴于点，连接，若的面积为3，求此反比例函数的表达式；
(4) 在（3）的条件下，探究在平面内是否存在点D，使以点A，O，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于N、E两点，直线NE与坐标轴交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，交反比例函数图象于点M，已知点A坐标为，．
(1) 求a的值和反比例函数的解析式．
(2) 若，直接写出自变量x的取值范围．
(3) 若点D在x轴正半轴上，且，连接，，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，，以为边向右作正方形，边分别与轴交于点，反比例函数的图象经过点．
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 在反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于正方形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在矩形中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 在反比例函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（1，6），B（6，1）两点．
(1) 求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
(2) 当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围为 ；
(3) 在平面内存在点P，使得点A、点B关于点P成中心对称的点恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B．
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 在反比例函数的图象上是否存在点P，使得的面积等于菱形的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 在x轴上是否存在一点P，使得PA+PB最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 连接AB，在线段CD上是否有一点E，使得△ABE的面积为5，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知一次函数y＝kx+b图像经过点A（2，0）、B（0，2），回答下列问题：
(1) 求一次函数解析式．
(2) 在函数y＝kx+b图像上有两个点（a，2）、（b，3），请说明a与b的大小关系．
(3) 以AB为直角边作等腰直角△ABC，点C不与点O重合，过点C的反比例函数的解析式为y＝，请直接写出点C的坐标以及过点C的反比例函数的解析式．
(4) 是否在x轴上找一点C，使S△ABC＝2S△ABO，若存在，写出点C坐标若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
(1) 求反比例函数的关系式；
(2) 若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积．
(3) 在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标.
11．反比例函数y＝（k＞0）的图像与直线y＝mx+n的图像交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y＝的图像上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作PA∥y轴交反比例函数图像于点A，已知点A的纵坐标为．
(1) 求反比例函数及直线OP的解析式；
(2) 在x轴上存在点N，使得△AON的面积与△BOP的面积相等，请求出点N的坐标；
(3) 在y轴上找一点E，使△OBE为等腰三角形，直接写出点E坐标．
12．如图，一次函数（）的图象分别与轴、轴交于点、点，且．直线与反比例函数（，）的图象交于点．
(1) 求一次函数与反比例函数的表达式；
(2) 在该反比例函数图象上存在点，且到轴的距离为6，连接，直线交轴于点，求的面积．
13．如图，A为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为P．
(1) 联结，当时，求反比例函数的解析式；
(2) 联结，若，y轴上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由，
(3) 点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图象于点C，若的面积为4，求k的值．
14．如图，已知一次函数与反比例的图象相交于点，与x轴相交于点B．
(1) 求k的值以及点B的坐标；
(2) 以AB为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
(3) 在y轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由．
15．如图，把一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系的第二象限内，若，且A、B两点的坐标分别为．
(1) 求点C的坐标；
(2) 将沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的位置，若B、C两点的对应点E、F都在反比例函数y＝的图象上，求m、k的值和直线的解析式；
(3) 在（2）的条件下，直线交y轴于点G，问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点M和点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，函数的图象过点和两点．
(1) 求n和k的值；
(2) 将直线沿x轴向左移动得直线，交x 轴于点D，交y 轴于点E，交于点C，若，求直线解析式；
(3) 在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA延长线上，轴，垂足为点C，直线BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．
(1) 求该反比例函数解析式；
(2) 若，求线段BD的长度；
(3) 在第（2）问的条件下，x轴上是否存在一点使，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
18．如图，过点作轴的垂线在第一象限与反比例函数的图象交于点，连接，点是的中点，连接，．
(1) 求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2) 在反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积为3，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是的中点，过点D的反比例函数图像交于E点，连接．若，．
(1) 求过点D的反比例函数的解析式；
(2) 求的面积；
(3) x轴上是否存在点P使为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E．
(1) 求线段的长；
(2) 在线段OD在存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标．
(3) 平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O，D，E，N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接．
(1) ___________，___________．
(2) 若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内．
(1) 点的坐标_________；
(2) 将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
(3) 在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图1，一次函数与反比例函数交于A，B两点，点A的横坐标为－3．
(1) 求出反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2) 当y1(3) 如图2，在第二象限中存在一点P，使得四边形PAOB是菱形，求菱形PAOB的面积．
24．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点．
求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
当反比例函数值大于一次函数值时，写出x的取值范围．
在y轴上存在点P，使得的周长最小，求点P的坐标及的周长．
参考答案
1．(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是；(2)三角形的面积是4；(3)所有符合条件的点Q的坐标是或或．
分析：（1）把N的坐标代入反比例函数，能求出反比例函数解析式，把M的坐标代入解析式，求出M的坐标，把M、N的坐标代入，能求出一次函数的解析式；
（2）求出与x轴的交点坐标，求出和的面积即可；
（3）符合条件的有3个①，②，③，再利用勾股定理列方程求解即可．
（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴，
把，代入得： ，
解得：，
∴，
答：反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是．
（2）如图，设交x轴于C，
由，当时，，
∴， ，
∴的面积是，
答：三角形的面积是4．
（3）设，而，，
∴，，，
如图，为等腰三角形，
当时，则，
∴（负根舍去）
Q的坐标是；
当时，则，
解得：（舍去）
Q的坐标是；
当时，则，
解得：，
Q的坐标是；
答：在x轴的正半轴上存在点Q，使是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是或或．
【点拨】本题综合考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点，此题综合性比较强，题型较好，注意分类讨论思想的运用．
2．(1)三，；(2)；(3)；(4)存在，或或．
分析：（1）由反比例函数的性质可得答案；
（2）由反比例函数的增减性可得答案；
（3）根据反比例函数的几何意义列方程可得答案；
（4）设，根据平行四边形对角线中点重合，分三种情况列方程组，分别解方程组即可得到的坐标．
解：（1）反比例函数图象的一支在第一象限，
图象的另一支在第三象限，，
，
故答案为：三，；
（2）反比例函数在第一象限，随的增大而减小，
，
；
（3）如图：
轴，的面积为3，
，
解得；
∴此反比例函数的表达式为；
（4）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（3）知，
把，代入得：
，，
，，
设，又，
①若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
②若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得；
，
③若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或．
【点拨】本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．
3．(1)，；(2)x的取值范围是或；(3)存在，P的坐标为或
分析：（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3），设点的坐标为，则，即可求解．
解：（1）（1）将点A的坐标代入得：，
解得，
故一次函数的表达式为①，
令，则，故点；
在中，，，则，
而，则，
则点M的坐标为，则点C的纵坐标为3，
将点M的坐标代入并解得，
故反比例函数表达式为②
（2）联立①②得：，解得或，
故点N、E的横坐标分别为2，，
从函数图象看，，自变量x的取值范围是或；
（3）∵，则，
则，
设点P的坐标为，
则，
解得，
故点P的坐标为或．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查的是反比例函数与一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
4．(1)反比例函数的表达式为；(2)在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点的坐标为或
分析：（1）根据正方形的性质，求出点的坐标，再利用待定系数法从而即可求出反比例函数的表达式；
（2）设，则根据题意可得，求出的值即可得到点的坐标．
（1）解：，
，且轴，
四边形为正方形，
轴，且，
反比例函数的图象经过点，
，
解得，
即反比例函数的表达式为；
（2）解：根据题意，得，，
设，则，解得，
当时，，
此时，
当时，，此时，
综上可知，在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点P的坐标为或．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正方形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，正方形的性质是解题的关键．
5．(1)，
；(2)存在，或
分析：（1）将点的横纵坐标相乘，求出的值，进而求出点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，利用进行求解即可．
（1）解：∵在双曲线上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
∴；
∵，在直线上，
∴，解得：，
∴；
（2）解：存在；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的横坐标为，
则：，
∵，
∴，
解得：或，
当时，；当时，；
∴存在点或，使．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
6．(1)，；(2)或；(3)或
分析：（1）将点A（1，6），B（6，1）代入一次函数解析式和反比例函数解析式待定系数法即可求解；
（2）根据函数图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）根据题意作出矩形，根据矩形的性质，中点坐标公式即可求解．
解：（1）将点A（1，6），代入y2＝，
解得，
，
将点A（1，6），B（6，1）代入y1＝ax+b
，
解得，
，，
（2）A（1，6），B（6，1）
当y1>y2时，根据函数图像可知或，
故答案为：或；
（3）
则直线与坐标轴的夹角为，
如图，作的平行线交坐标轴于点，且，
则四边形是矩形，点即为所求，
A（1，6），B（6，1），
，
，
，
即，即．
或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了中心对称，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，中点坐标公式，数形结合是解题的关键．
7．(1)；(2)存在；或，
分析：（1）延长交轴于点，易得轴，根据菱形的性质，求出点坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）求出菱形的面积，再利用进行计算即可．
（1）解：延长交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴轴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）解：存在；设点的横坐标为，
∵，
∴，
∴，
当时，，即：，
当时，，即：；
综上，存在点或，使的面积等于菱形的面积．
【点拨】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
8．(1)y；(2)P（5，0）；(3)E（4，0）
分析：（1）将点A，点B坐标代入可求k＝4m＝2n，由CD＝n﹣m＝3，即可求解；
（2）作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出AF的解析式，即可求解；
（3）由面积和差关系列出等式，即可求解．
解：（1）∵A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y的图象上，
∴k＝4m＝2n，
即n＝2m，
∵DC＝3，
∴n﹣m＝3，
∴m＝3，n＝6，
∴点A（3，4），点B（6，2），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）存在，理由如下：
如图，作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，
设直线AF的解析式为y＝k′x+b，
，
解得，
∴直线AF的解析式为y＝﹣2x+10，
当y＝0时，x＝5，
∴点P（5，0）．
（3）设点E（x，0），
∴DE＝x﹣3，CE＝6﹣x，AD＝4，BC＝2，
∵S△ABE＝S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE（4+2）×34（x﹣3）（6﹣x）×2＝﹣x+9＝5，
∴x＝4，
∴点E（4，0）．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，轴对称最短路径问题，一次函数与几何综合等等，熟知相关知识是解题的关键．
9．(1)y＝−x＋2；(2)a＞b；(3)点C的坐标为（2，4）或（4，2），过点C的反比例函数的解析式为：y＝；(4)存在，点C坐标为（−2，0）或（6，0）．
分析：（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据一次函数的增减性判断即可；
（3）画出图形，根据等腰直角三角形的性质求出符合题意的点C的坐标，再利用待定系数法求出过点C的反比例函数解析式；
（4）根据可知BC＝2OB＝4，然后分情况求解即可．
（1）解：∵一次函数y＝kx＋b图像经过点A（2，0）、B（0，2），
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝−x＋2；
（2）∵一次函数y＝−x＋2中k＝−1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴a＞b；
（3）∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
如图，△CAB，，，都是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴，为等腰直角三角形，
∴点的坐标为（−2，0），点的坐标为（0，−2），
∵这两个点在坐标轴上，
∴不符合题意；
过点C作CD⊥x轴于点D，
在△AOB和△CDB中，
，
∴△AOB≌△CDB（AAS），
∴BD＝OB＝2，CD＝OA＝2，
∴点C的坐标为：（4，2），
设过点C的反比例函数的解析式为：y＝，
则k＝4×2＝8，
则过点C的反比例函数的解析式为：y＝，
同理可得：点的坐标为：（2，4），
过点的反比例函数的解析式为：y＝，
综上所述：点C的坐标为（2，4）或（4，2），过点C的反比例函数的解析式为：y＝；
（4）
存在，
∵点C在x轴上，，
∴BC＝2OB＝4，
∴当点C在点B的左侧时，点C的坐标为（−2，0），
当点C在点B的右侧时，点C的坐标为（6，0），
综上所述：点C坐标为（−2，0）或（6，0）．
【点拨】本题考查的是反比例函数、一次函数的综合运用、等腰直角三角形的性质、待定系数法、坐标与图形性质等知识，灵活运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键．
10．(1)反比例函数y=(x>0)；(2)线段OD扫过的面积为；(3)P点作标（，0）
分析：（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，求出A点坐标，求出表达式即可．
（2）将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，求出D′点的纵坐标为3，表示出DF、OO′再求出线段OD扫过图形的面积．
（3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出直线的关系式，再求出P点坐标．
解：（1）作DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为(4，3)，
∴FO=4，DF=3，
∴DO=5，
∴AD=5，
∴A点坐标为：(4，8)，
∴xy=4×8=32，
∴k=32；
反比例函数y=(x>0)
（2）
∵将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，
∴DF=3， =3，
∴点的纵坐标为3，
∴3=，x=，
∴=，
∴=−4=，
∴平行四边形 平移的面积S=×3=；
（3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，
∵OB＝OD＝5
∴点B的坐标是(0，5)，
∴点的坐标是(0，-5)，
设直线的关系式
把A (4，8)，(0，-5)代入解析式得∶
解得：
当y=0时，，
∴PA+PB有最小值，P点作标（，0 ）
【点拨】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积、待定系数法求一次函数，解题的关键是利用菱形性质找出点A、B的坐标，利用坐标求出一次函数．
11．(1)反比例函数：，直线OP：；(2)N或；(3)E（0，5）或（0，-5）或（0，8）或．
分析：（1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，再通过反比例函数求出点A坐标，点P坐标即可得到OP解析式．
（2）通过△AON与△BOP面积相等列等式即可．
（3）分三类讨论：①当OB=OE=5时；②当BO=BE=5时；③当EB=EO时；分别列方程解题即可．
（1）解：∵点B（3，4）在反比例函数的图像上，
∴k=3×4=12，
∴反比例函数为，
∵点A在反比例函数上且横坐标为，
∴点A的横坐标为，
∵PBx轴，PAy轴，
∴点P，
设直线OP的解析式为，
代入点P解得，
∴直线OP的解析式为．
（2）解：∵△AON的面积与△BOP的面积相等，
∴
∴，
∴或．
（3）∵B（3，4），
∴OB=5，
①当OB=OE=5时，E（0，5）或（0，-5）
②当BO=BE=5时，作BH⊥y轴于H，
∵等腰△OBE
∴OH=HE=4，
∴E（0，8）
③当EB=EO时，作BH⊥y轴于H，
设OE=EB=x，则HE=4-x
在Rt△BHE中，由勾股定理得：，
解得，
∴．
综上，E（0，5）或（0，-5）或（0，8）或．
【点拨】本题主要考查反比例函数图像与几何综合题型，会利用几何关系求线段长度并转化为点的坐标是解题关键．
12．(1)一次函数的表达式，反比例函数的表达式为；(2)8
分析：（1）先求得点坐标，将、代入一次函数表达式，得到一次函数的表达式，再求得点的坐标，将点代入反比例函数解析式即可求解；
（2）求得点坐标，再求得直线解析式，再求得点坐标，由图形可得，分别求得和即可求解．
（1）解： ，
，
又，
．
将，分别代入中，得 ，
解得：，
一次函数的表达式．
将代入中，
得，
．
将代入中，得，
，
该反比例函数的表达式为．
（2）解：点到y轴的距离为，点在第二象限，
．
在的图象上，
，
，
设直线的表达式为，
将，分别代入中，得 ，
解得：，
直线的表达式为．
直线交轴于点，
当时，，
，
．
．
【点拨】此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及了割补法求解三角形面积，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
13．(1)；(2)存在，；(3)k的值为或
分析：（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求解；
（2）求得，即可求得从而求得点；
（3）当B点在P点右侧，如图，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到；当B点在P点左侧，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到，然后分别解关于k的方程即可．
（1）解：∵轴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：存在，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当B点在P点右侧，如图，
设，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵的面积为4，
∴，解得；
当B点在P点左侧，如图
设，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵的面积为4，
∴，解得；
综上所述，k的值为或．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
14．(1)12，；(2)；(3)存在，
分析：（1）根据待定系数法，将点代入中，求得，故点坐标为，再将代入，求得，最后根据题意，对一次函数，令，求得点B坐标；（2）由，，求得，再根据菱形的性质，求得点D的坐标；（3）作点关于y轴对称点，连接交y轴于点P，连接PB，此时值最小，且最小值为，根据，，求得的值即可．
（1）解：将代入，
得，
故点坐标为，
将代入，
得．
∵一次函数与x轴交于点B，
∴令，
解得，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，
∴．
（3）解：如图，作点关于y轴对称点，连接交y轴于点P，连接PB，
此时值最小，且最小值为． 1
∵，，
∴，
即的最小值为．
【点拨】本题考查了待定系数法，菱形的性质，平面内线段最值问题，熟练掌握待定系数法，菱形的性质，图形对称性等知识是解题的关键．
15．(1)；(2)，，；(3)存在； ，
分析：（1）过点作轴，证明，即可得解；
（2）用含的代数式，表示出的坐标，根据E、F都在反比例函数y＝的图象上，列式计算，得出的值，即可得解；
（3）设点坐标为，根据平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式，得到点坐标为，根据点在双曲线上，列式求解即可．
（1）解：过点作轴，交轴于点，
则：，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：将沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的位置，B、C两点的对应点为E、F，
∵，
∴，
∵E、F都在反比例函数y＝的图象上，
∴，解得：，
∴，
∴；
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）存在：如图，
∵当时， ，
∴点坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴点为为中点，
∴点坐标为，
设点坐标为，
∵点为为中点，
∴点坐标为，
∵在反比例函数图象上，
∴，解得，
∴点坐标为，点坐标为；
∴当点坐标为，点坐标为时，四边形为平行四边形．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数的综合应用，以及平行四边形的性质．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
16．(1)；(2)；(3)，
分析：（1）将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得n、k的值；
（2）设点，过点C做轴于点G，交于点H，以为底，由的面积解出点C坐标，进而求出直线的解析式；
（3）分两种情况进行讨论：①以为直角边，D为直角顶点；②以为直角边，E为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．
（1）解：函数的图像过点和两点，
，
解得，
故n和k的值分别为4，8；
（2）解：，
，直线OA的解析式为：，
过点C作轴于点G，交直线于点H，
设，
，
，
，
或（不符合题意舍去）
，
，
设直线的解析式为：，
点C在直线上，
，即，
直线的解析式为：；
（3），
解：∵直线的解析式为：，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以为直角边，D为直角顶点；
如图，过做轴于点K，可知：，
，
，
又，
，又，
，
，
故点D到点的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，
，且F在第二象限，
即；
②以为直角边，E为直角顶点；同①理，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得．
综上所述：点或
【点拨】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
17．(1)；(2)；(3)存在，，理由见分析
分析：(1)把点A(3，2)代入反比例函数，即可求出函数解析数．
(2)过点A作，垂足为E，设直线OA关系式为，将A(3，2)代入得到直线OA的关系式为，设点C(0，a)，根据三角形面积公式得到a=4，于是得到结论．
(3)延长交轴于点P，过B作交轴于M，则，根据平行四边形即可得到结论．
解：（1）∵点A(3，2)在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数解析式为．
（2）
如图1，过点A作，垂足为E，
设直线OA关系式为，将A(3，2)代入得，
∴OA的关系式为，
设点C(0，a)，把代入，得，
把代入，得，
∴B(，)，即，
∴D(，)，即，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
故线段的长度为．
（3）存在
延长交轴于点P，
∵轴，
∴，
∴，
过B作交轴于M，则，
由(1)知C，
∵A(3，2)，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵轴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．(1)，；(2)存在满足条件的点，点的坐标为或
分析：（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，进而得出点的坐标为，再把代入，即可得出的值，进而即可得出反比例函数的表达式；
（2）首先设点的坐标为，然后分两种情况：当点在左侧时，当点在右侧时，结合三角形的面积公式，计算即可．
（1）解：∵点是的中点，
∴在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
又∵点在反比例函数的图象，
∴把代入，可得：，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：存在满足条件的点，
设点的坐标为，
当点在左侧时，
∴，
解得，
∴时，，
∴．
当点在右侧时，
∴，
解得，
∴时，，
∴．
综上，存在满足条件的点，点的坐标为或．
【点拨】本题考查了坐标与图形、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理、求反比例函数表达式、三角形的面积，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答问题．
19．(1)；(2)3；(3)存在，或
分析：（1）先根据勾股定理求出的长，得点坐标，然后再利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）先求点的坐标，得出的长，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据已知先设，然后根据为直角三角形，分两种情况进行讨论：①当时；②当时；然后分别进行求解即可．
（1）解：∵四边形为矩形，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
设反比例函数解析式为，
∵点D在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵D为的中点，且，
∴，
∴E点横坐标为8，且E在反比例函数图像上，
在中，令，可得，
∴，
∴，且，
∴；
（3）解：∵P在x轴上，
∴可设，
∵为锐角，
∴当为直角三角形时，有或，且点P在x轴正半轴上，
①当时，则轴，此时P点坐标为；
②当时，由，，
∴，且，，
由勾股定理可得，即，
解得，
∴；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或．
【点拨】此题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法、矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，熟练掌握相关的方法、性质与公式，灵活运用分类讨论的思想方法是解答此题的关键．
20．(1)；(2)；(3)存在，，，
分析：（1）根据矩形的性质结合点B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长；
（2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设， ，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标；
（3）根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出N的坐标即可．
解：（1）∵
∴
∵D是的中点
∴
∴
∴把代入得
∴反比例函数解析式为
∵在矩形中，
∴轴
∴E的横坐标为3
当时，
∴
∴
（2）如图，过点M作，交于点N
设的解析式为．
把代入得，，
∴
∴
∴设
设的解析式为．
把代入得，，
∴，
∴
∴设
∴
∴
∴，
∴
（3）存在，
由题意得：O（0，0），D（1，4），E（2，2），设，如图，
分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得
解得：，即；
当四边形为平行四边形时，可得
解得：，即；
当四边形为平行四边形时，可得
解得：，即，
综上，N的坐标为，，．
【点拨】此题主要考查了反比侀函数，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，以及三角形，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
21．(1)1，；(2)或；(3)
分析：（1）用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时；②当点B为直角顶点时；分别求解即可；
（3）由，即可求解．
（1）解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，即．
∵一次函数的图像过点，
∴，解得．
故答案为：1，；
（2）解：存在．理由如下：
若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：
①当点O为直角顶点时，
如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴
②当点B为直角顶点时，
如图，过点B作，且，连接，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴．
综上，点P的坐标为或．
（3）解：∵点C在线段AB上（不与点A，B重合），
∴设点，
则点，
则，
解得，（舍去），
故点C的坐标为．
【点拨】此题是一道反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、图形的面积计算等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识、添加辅助线构造全等三角形与分类讨论的思想是解答此题的关键．
22．(1)；(2)，；(3)存在，点、的坐标为、或、或P(-7，0)、Q(-3,-2)．
分析：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；
（2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论．
（1）解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示．
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵点，，
∴，，
∴点的坐标为，即．
故答案为：．
（2）设反比例函数为，
由题意得：点坐标为，点坐标为，
∵点和在该比例函数图象上，
∴，
解得：，，
∴反比例函数解析式为．
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．
以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①B′D′为对角线时，
∵四边形B′PD′Q为平行四边形，
∴，
解得：，
∴P（，0），Q（，4）；
②当B′D′为边时．
∵四边形PQB′D′为平行四边形，
∴，
解得：，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四边形B′QPD′为平行四边形，
∴，
解得：．
∴P（-7，0）、Q（-3，-2）.
综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，
符合题意的点P、Q的坐标为：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．
23．(1)；(2)x＜-3或0＜x＜1；(3)8
分析：（1）先求出点A的坐标，进而求出反比例函数的表达式，最后求出点B的坐标；
（2）由图像直接得出答案；
（3）先判断出OP⊥AB，再求出AB和OH，最后用面积公式求解，即可求出答案．
（1）解：∵点A在一次函数y1=x+2①的图像上，且点A的横坐标为-3，
∴y=-1，
∴A（-3，-1），
∵点A在反比例函数的图像上，
∴k=-3×（-1）=3，
∴反比例函数的表达式为②，
联立①②解得，或，
∴B（1，3）；
（2）由（1）知，A（-3，-1），B（1，3），
由图像知，当y1＜y2时，
x的取值范围为x＜-3或0＜x＜1；
（3）如图，连接OP，交AB于H，
∵四边形PAOB是菱形，
∴OP⊥AB，AH=BH，
由（1）知，A（-3，-1），B（1，3），
∴AB=，点H（-1，1），
∴OH=，
∴S菱形PAOB=2S△AOB=2×AB•OH=AB•OH==8．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，菱形的性质，勾股定理求两点间的距离，三角形的面积公式，作出辅助线求出OH是解本题的关键．
24．(1)，；(2)或；(3)，
分析：（1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式求出点B的坐标即可；
（2）利用图象法求解即可；
（3）如图所示，作点B关于y轴对称的点C，连接交y轴于P，则，求出，进一步得到当三点共线时最小，即的周长最小，最小为；再求出直线的解析式即可求出点P的坐标．
（1）解：把代入到一次函数中得：，
∴，
∴，
把代入到反比例函数中得：，
∴，
∴反比例函数解析式为，
联立，
解得或，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当或时，反比例函数值大于一次函数值；
（3）解：如图所示，作点B关于y轴对称的点C，连接交y轴于P，则，
∴，
∴的周长，
∵，
∴的周长，
∴当三点共线时最小，即的周长最小，最小为，
∴的周长最小；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．