人教A版普通高中数学一轮复习第3章第2节第2课时导数与函数的极值、最值课件

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第3章第2节第2课时导数与函数的极值、最值课件，共38页。PPT课件主要包含了函数的极值，连续不断，利用导数求函数的极值，反思感悟，利用导数求函数的最值，极值与最值的综合应用等内容，欢迎下载使用。

知识点一　函数的极值与导数1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．(　　)(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　　)(3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)
必备知识 落实“四基”
4．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(　　)A．2B．4C．6D．2或6
注意点： (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．(3)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但0不是f(x)的极值点．
知识点二　函数的最值与导数1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(　　)(3)函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值．(　　)
3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__________．32　解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.分析可得f(x)的极小值点为2，极大值点为－2.计算得f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.
1．函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的______；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中______的一个是最大值，______的一个是最小值．
【常用结论】1．若函数f(x)的图象在[a，b]上连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．应用　函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)A．1－eB．－1C．－eD．0
考向1　根据函数的图象判断函数的极值【例1】(2024·通辽模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是(　　)A．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点C．x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点D．函数y＝f(x)在区间(－1，1)上单调递减
核心考点 提升“四能”
C　解析：由题图，可知f′(－2)＝0，当x＜－2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞－2时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，故x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点，y＝f(x)无极大值．
导函数图象的应用策略(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，进而研究函数的极值、最值．
函数极值或极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
反思感悟已知函数极值点或极值求参数的两个关键
1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．f(x)有极大值f(－2)B．f(x)有极小值f(－2)C．f(x)有极大值f(1)D．f(x)有极小值f(1)A　解析：由题图，可得当x＞1时，f′(x)＜0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＜－2时，f′(x)＞0，且f′(－2)＝0，所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减．所以f(x)有极大值f(－2)．
求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或递减，那么f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数f(x)在区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)若函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，那么这个极值点就是最值点．此结论在导数的实际应用中经常用到．
(2)求f(x)的最小值．解：由(1)知f(x)＝ex＋sin x－2x，f′(x)＝ex＋cs x－2，f′(0)＝0.当x＜0时，因为ex＜1，cs x≤1，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减．当x＞0时，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－sin x.因为ex＞1，sin x≤1，所以g′(x)＞0，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＞f′(0)＝0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以x＝0是f(x)的极小值点也是最小值点，f(x)min＝f(0)＝1，即f(x)的最小值为1.
解决函数极值、最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范．函数含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)当函数在给定闭区间上存在极值时，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．