人教A版普通高中数学一轮复习第2章第3节微专题抽象函数的性质课件

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抽象函数是高中数学的难点，也是近几年高考试题的热点．抽象函数与函数的单调性、周期性、奇偶性和对称性相结合的题目往往难度大，综合性强，解此类题目定义是根本，特值代入是妙法，充分理解和运用已知的抽象式是关键．抽象函数一般都基于基本初等函数，找到原型，数形结合可化抽象为具体．本专题就抽象函数的性质及应用予以讲解．
比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用函数单调性比较大小．类型二　抽象函数的周期性【例2】(2022·新高考全国Ⅱ卷)若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1，则 f＝1f(k)＝(　　)A.－3B．－2C．0D．1
A　解析：因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数．令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，即有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.因为22＝3×6＋4，所以 f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A.
【例4】(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则 f＝1f(k)＝(　　)A．－21B．－22C．－23D．－24
D　解析：因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2)．因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)．因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.
因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7.又因为f(x)＋g(2－x)＝5，联立，得g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称．因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)＝6.因为f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以 f(k)＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24.故选D.