江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(Word版附答案)
展开2024.06
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
1.设复数满足,则( )
A. B. C. D.
2.方程的解所在区间为( )
A. B. C. D.
3.数据的45百分位数为( )
A.73 B.76 C.77 D.78
4.已知平面向量,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.如图,为了测量河对岸两点之间的距离,在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得,从点测得,从点测得.若测得(单位:百米),则两点的距离为( )百米.
A. B. C. D.3
6.在正方体中,分别是棱的中点,下列结论正确的是( ).
A. B.
C.平面 D.平面平面
7.如图,在中,是上的两个三等分点,,则的值为( )
A.50 B.80 C.86 D.110
8.已知,则的值( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分)
9.在中,角所对的边为,根据下列条件解三角形,其中仅有一解的有( )
A. B.
C. D.
10.连续抛掷两次骰子,“第一次抛掷,结果向上的点数小于3”记为事件A,“第二次抛掷,结果向上的点数是偶数”记为事件B,“两次拋掷,结果向上的点数之和为奇数”记为事件,则下列叙述中正确的有( )
A.与互斥 B.与相互独立
C.与对立 D.
11.如图,正方形的中心为,边长为4,将其沿对角线折成直二面角,设为的中点,为的中点,则下列结论正确的有( )
A.三棱锥的外接球表面积为
B.直线与平面所成角的正切值为
C.点到平面的距离为
D.三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知一个正四棱台的体积为,上、下底面边长分别为,则棱台的高为__________.
13.若复数满足,则的最小值是__________.
14.已知的面积为满足条件,则__________.;若,延长至点,使得,则__________.(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
已知.设.
(1)若三点共线,求的值;
(2)若,求的值.
16.(本小题满分15分)
某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障,设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析,并按年龄段分成了五组,其频率分布直方图如图所示,每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示:
(1)若采用分层抽样的方法,从年龄段在和内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查,再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度,求这2人中恰好有1人年龄段在内的概率.
(2)由于10000人参加保险,该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本,则年龄段的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元?
17.(本小题满分15分)
已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)求函数在区间上的所有零点之和.
18.(本小题满分17分)
如图,在斜三棱柱中,侧面为菱形,,为中点,与的交点为.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的正弦值.
19.(本小题满分17分)
如图所示,已知是以为斜边的等腰直角三角形,在中,,.
(1)若,求的面积;
(2)①求的值;
②求的最大值.
年龄
保费(单位:元)
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2024.06
1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.D
9.ABD 10.BD 11.ACD
12. 13. 14.;
15.解:(1)因为,
,
又因为三点共线,所以,则,解得.
(2),即
.
16.解:(1)由得,
设“抽取2人中恰好有1人年龄段在内”为事件.
由题设可知,年龄在和内的频率分别为0.16和0.32,则抽取的6人中,年龄在内的有2人,年龄在内的有4人.
记年龄在内2位参保人员为,年龄在的4位参保人员为,则从6人中任取2人,样本空间,共包含15个样本点,共包含8个样本点,所以.
(2)保险公司每年收取的保费为:
,
所以要使公司不亏本,则,即,解得,即保费元,所以年齗段需要缴纳的保费至少为250元.
17.解:(1)
因为,所以,
所以,则的值域为;
(2)因为,所以,由得
所以,解得,
所以函数在区间上的所有零点之和为.
18.解:(1)如图(1),连接.
由三棱柱可知侧面为平行四边形,所以为中点;
又因为为中点,所以,
又平面平面,所以平面;
(2)如图(2),连接.
由菱形可知,因为,可得为等边三角形;
因为是中点,所以,且;因为为直角三角形,且,
所以;因为,可得,所以,平面平面,所以平面;
(3)由(2)可知平面,因为平面,所以平面平面;
如图(3),过点作,垂足为,过作,垂足为,连接.
因为平面平面平面,所以平面,
因为平面平面,所以;
因为平面平面,所以平面,
又平面,所以,
所以为二面角的平面角
在中,,可得,
在中,,可得,
在中,,可得,
因为,所以,
即二面角的正弦值为.
19.解:(1)在中,由余弦定理得,,
且是等腰直角三角形,则.
(2)①设,因为,由余弦定理可得,,
,即;
②在中,,
由正弦定理可得,则,
,又,
在中,由余弦定理得
(其中为锐角,且),
由可得,
所以当时,即时,取得最大值.
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