2024中考数学复习 重难题型分类练 题型三 函数的实际应用 (含答案)

这是一份2024中考数学复习 重难题型分类练 题型三 函数的实际应用 (含答案)，共18页。
(1)当甲车减速至9 m/s时，它行驶的路程是多少？
(2)若乙车以10 m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
第1题图
2. (2023齐齐哈尔)在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地(甲、乙二人到达A地后均停止运动)，甲、乙二人之间的距离y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)A、B两地之间的距离是______米，乙的步行速度是____________________________米/分；
(2)图中a＝______，b＝______，c＝______；
(3)求线段MN的函数解析式；
(4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米？(直接写出答案即可)
第2题图
类型二 方案问题
3. (2023绵阳)某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300 kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88 kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
类型三 利润最值问题
4. (2023毕节)2023北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：(注：利润＝销售价－进货价)
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
5. (2023仙桃)某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)有如下表所示的关系：
(1)根据表中的数据在下图中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w(元)(不计其他成本).
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240(元)时的销售单价．
第5题图
6. (2022扬州)甲，乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费－月维护费；
③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润－月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是______________________________________元；
当每个公司租出的汽车为________辆时，两公司的月利润相等；
(2)求两公司月利润差的最大值；
(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
类型四 抛物线型问题
7. (2023安徽)如图①，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E(0，8)是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内(含边界)修建“”型或“”型栅栏，如图②、图③、图④中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
①修建一个“”型栅栏，如图②，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m(0＜m≤6)，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
②现修建一个总长为18的栅栏，有如图③、图④所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围(P1在P4右侧)．
第7题图
源自沪科九上P38第1题
8. (2023台州)如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h(单位： m).如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l的距离OD为d(单位： m).
(1)若h＝1.5，EF＝0.5 m.
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；
(2)若EF＝1 m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
第8题图
类型五 几何图形(面积)问题
9. (2020无锡)有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
(1)当x＝5时，求种植总成本y；
(2)求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，求三种花卉的最低种植总成本．
第9题图
10. (2022苏州)如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH.
(1)求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？
(2)现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水(注水前两个容器是空的)，一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h乙－h甲＝h，已知h(米)关于注水时间t(小时)的函数图象如图③所示，其中MN平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：
①求a的值；
②求图③中线段PN所在直线的解析式．
第10题图
参考答案与解析
1. 解：(1)设减速后甲车行驶的路程s与时间t的函数关系式为s＝at2＋bt，把点(2，30)，(4，56)代入得，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋2b＝30,16a＋4b＝56)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2),b＝16)) ，
∴s＝－ eq \f(1,2) t2＋16t，
设减速后甲车行驶的速度v与时间t的函数关系式为v＝mt＋16，
把点(8，8)代入得，8m＋16＝8，解得m＝－1，
∴v＝－t＋16，
当v＝9时，9＝－t＋16，解得t＝7，
把t＝7代入s＝－ eq \f(1,2) t2＋16t，
得s＝－ eq \f(1,2) ×72＋16×7＝87.5 m，
答：当甲车减速至9 m/s时，它行驶的路程是87.5 m；
(2)设t s后两车相距最近，最近距离为L，由题意得，
L＝10t＋20－(－ eq \f(1,2) t2＋16t)
＝ eq \f(1,2) t2－6t＋20
＝ eq \f(1,2) (t－6)2＋2.
∵ eq \f(1,2) ＞0，
∴当t＝6时，L有最小值2，
答：6 s时两车相距最近，最近距离为2 m.
2. 解：(1)1200，60；
【解法提示】根据图象可知，当x＝0时，两人相距1200米，∴A、B两地之间的距离为1200米；点M之后两人距离在一直减小可知点M代表甲到达B地，那么点N代表乙到达A地，此时时间为20分，故乙的速度为 eq \f(1200,20) ＝60米/分．
(2)900；800；15；
【解法提示】由题意知，两人 eq \f(60,7) 分后相遇，两人速度和为1200÷ eq \f(60,7) ＝140(米/分)，由(1)知V乙＝60(米/分)，故V甲＝80(米/分)，a代表甲到达B地的时候甲、乙两人的距离，也就是乙的路程，c代表甲到达B地所用的时间，故c＝ eq \f(1200,80) ＝15，a＝15×60＝900；点N代表乙走完全程时两人的距离，也就是甲剩下的路程，故b＝1200×2－20×80＝800(米).
(3)设线段MN的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点M(15，900)，N(20，800)代入得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(15k＋b＝900,20k＋b＝800)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－20,b＝1200)) ，
∴线段MN的函数解析式是y＝－20x＋1200(15≤x≤20)；
(4)8分钟， eq \f(64,7) 分钟．
【解法提示】①相遇前两人相距80米时，二人所走路程和为1200－80＝1120(米)，∴1120÷140＝8(分钟)；②相遇后两人相距80米时，二人所走的路程和为1200＋80＝1280(米)，∴1280÷140＝ eq \f(64,7) (分钟).
3. 解：(1)设批发了菠萝x kg ，苹果y kg，
由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝300,5x＋6y＝1700)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝100,y＝200)) ，
∴100×(6－5)＋200×(8－6)＝500，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
(2)设菠萝的进货量为m kg，，苹果的进货量为n kg，则m≥88，
由题意得5m＋6n＝1700，且m(6－5)＋n(8－6)＞500，
解得m＜100，
∴88≤m＜100，
∵m，n均为正整数，∴m可以取88，94，
当m＝88时，n＝210，
当m＝94时，n＝205，
答：该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有2种，第一种批发菠萝88 kg，苹果210 kg，第二种批发菠萝94 kg，苹果205 kg.
4. 解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
依题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝30,30x＋25y＝850)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝20,y＝10)) .
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件；
(2)设购进A款钥匙扣m件，则购进B款钥匙扣(80－m)件，
依题意得30m＋25(80－m)≤2200，
解得m≤40.
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝(45－30)m＋(37－25)(80－m)＝3m＋960.
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40＋960＝1080，此时80－m＝80－40＝40.
答：当购进A款钥匙扣40件，B款钥匙扣40件时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元；
(3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a－25)元，平均每天可售出4＋2(37－a)＝(78－2a)件，
依题意得(a－25)(78－2a)＝90，
整理得a2－64a＋1020＝0，
解得a1＝30，a2＝34.
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
5. 解：(1)描点，连线如解图所示；
第5题解图
由图象分析得y是x的一次函数．
设y＝kx＋b(k≠0)，
将x＝20，y＝30；x＝25，y＝25分别代入y＝kx＋b中，
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(20k＋b＝30,25k＋b＝25)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1,b＝50)) .
∴y关于x的函数关系式为y＝－x＋50；
(2)①由题意得w＝(x－18)y＝(x－18)(－x＋50)
＝－x2＋68x－900.
∵－1＜0，x顶点＝－ eq \f(68,2×（－1）) ＝34，18≤x≤50，
∵当x＝34时，w最大．
答：当销售单价为34元/千克时，每天销售这种商品获得最大利润；
②把w＝240代入，得－x2＋68x－900＝240.
∴x2－68x＋1140＝0，
∴(x－30)(x－38)＝0.
∴x1＝30，x2＝38.
∵超市要尽量让顾客享受实惠，
∴w＝240(元)时的销售单价为30元/千克．
6. 解：(1)48000，37；
【解法提示】[(50－10)×50＋3000]×10－200×10＝48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：[(50－x)×50＋3000]x－200x＝3500x－1850，解得x＝37或x＝－1(舍)，∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等．
(2)设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[(50－x)×50＋3000]x－200x＝－50x2＋5300x，
y乙＝3500x－1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y甲－y乙＝－50x2＋5300x－(3500x－1850)＝－50x2＋1800x＋1850，
当x＝－ eq \f(1800,－50×2) ＝18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y乙－y甲＝3500x－1850－(－50x2＋5300x)＝50x2－1800x－1850，
∵对称轴为直线x＝－ eq \f(－1800,50×2) ＝18，
∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，
当x＝50时，利润差最大，且为33150元；
综上所述，两公司月利润差的最大值为33150元；
(3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为y＝－50x2＋1800x＋1850－ax＝－50x2＋(1800－a)x＋1850，
对称轴为直线x＝ eq \f(1800－a,100) ，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴16.5＜ eq \f(1800－a,100) ＜17.5，
解得50＜a＜150.
7. 解：(1)由题意可设函数表达式为y＝ax2＋8，由题意可知OC＝6，CD＝2，
∴点D坐标为(6，2)，代入可得2＝36a＋8，解得a＝－ eq \f(1,6) ，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－ eq \f(1,6) x2＋8(－6≤x≤6)；
(2)①∵点P1的横坐标为m，
∴P1(m，0)，P2(m，－ eq \f(1,6) m2＋8)，P3(－m，－ eq \f(1,6) m2＋8)，P4(－m，0)，
∴MN＝P1P2＝P3P4＝－ eq \f(1,6) m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3(－ eq \f(1,6) m2＋8)＋2m＝－ eq \f(1,2) m2＋2m＋24＝－ eq \f(1,2) (m－2)2＋26 ，
∵－ eq \f(1,2) ＜0，
∴当m＝2时，l有最大值，最大值为26；
②设点P1的横坐标为m，选择方案一，
设P1P2＝a，则P1P4＝18－3a，
S＝a(18－3a)＝－3a2＋18a＝－3(a－3)2＋27.
∵－3＜0，
∴当a＝3时，S有最大值27，
令y＝3 ，代入y＝－ eq \f(1,6) x2＋8中，
解得x1＝ eq \r(30) ，x2＝－ eq \r(30) .
∵P1P4＝18－3×3＝9，且P1在P4右侧，
∴－ eq \r(30) ＋9≤m≤ eq \r(30) ，
∴方案一下的矩形P1P2P3P4面积最大值为27，点P1的横坐标的取值范围为－ eq \r(30) ＋9≤m≤ eq \r(30) .
选择方案二，
设P2P3＝a，则P1P2＝ eq \f(18－2a,2) ＝9－a，
此时S＝a(9－a)＝－a2＋9a＝－(a－ eq \f(9,2) )2＋ eq \f(81,4) ，
∵－1＜0，
∴当a＝ eq \f(9,2) 时，S有最大值 eq \f(81,4) ，
令y＝ eq \f(9,2) ，代入y＝－ eq \f(1,6) x2＋8中，
解得x1＝ eq \r(21) ，x2＝－ eq \r(21) .
∵P1P4＝ eq \f(9,2) ，且P1在P4右侧，
∴－ eq \r(21) ＋ eq \f(9,2) ≤m≤ eq \r(21) ，
∴方案二下的P1P2P3P4面积最大值为 eq \f(81,4) ，点P1的横坐标的取值范围为－ eq \r(21) ＋ eq \f(9,2) ≤m≤ eq \r(21) .
8. 解：(1)①如解图①，由题意得A(2，2)是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a(x－2)2＋2.
∵抛物线经过点(0，1.5)，
∴1.5＝4a＋2，∴a＝－ eq \f(1,8) ，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝－ eq \f(1,8) (x－2)2＋2.
当y＝0时，－ eq \f(1,8) (x－2)2＋2＝0，
∴x1＝6，x2＝－2(舍去)，
∴喷出水的最大射程OC为6 m；
第8题解图①
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点(0，1.5)的对称点的坐标为(4，1.5)，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的，
即点B是由点C向左平移4 m得到，则点B的坐标为(2，0)；
③如解图②，先看上边缘抛物线，
∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5.
当抛物线恰好经过点F时，
即－ eq \f(1,8) (x－2)2＋2＝0.5，
解得x＝2±2 eq \r(3) ，
∵x>0，
∴x＝2＋2 eq \r(3) .
∵当x>2时，y随着x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2＋2 eq \r(3) .
∵当0≤x0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2＋2 eq \r(3) .
∵DE＝3，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为(2＋2 eq \r(3) )－3＝2 eq \r(3) －1.
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2.
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2 eq \r(3) －1；
第8题解图②
(2)h的最小值为 eq \f(65,32) .
【解法提示】当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，∵由(1)知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到，∴设y上＝－ eq \f(1,8) (x－2)2＋h＋0.5，则y下＝－ eq \f(1,8) (x＋2)2＋h＋0.5，故设点D(m，－ eq \f(1,8) (m＋2)2＋h＋0.5)，F(m＋3，－ eq \f(1,8) (m＋3－2)2＋h＋0.5)，则有－ eq \f(1,8) (m＋3－2)2＋h＋0.5－[－ eq \f(1,8) (m＋2)2＋h＋0.5]＝1，解得m＝2.5，代入得点D的纵坐标为h－ eq \f(65,32) ，得h－ eq \f(65,32) ＝0，∴h的最小值为 eq \f(65,32) .
9. 解：(1)由题意知，EF＝AB－2x＝20－2x，EH＝AD－2x＝30－2x，
当x＝5时，EF＝20－10＝10，EH＝30－10＝20.
S等腰梯形AEHD＝ eq \f(1,2) x(EH＋AD)＝ eq \f(1,2) ×5×(20＋30)＝125，
S等腰梯形ABFE＝ eq \f(1,2) x(EF＋AB)＝ eq \f(1,2) ×5×(10＋20)＝75，
S矩形EFGH＝EF·EH＝10×20＝200.
∴y＝125×2×20＋75×2×60＋200×40＝22000(元)；
(2)y＝20×2× eq \f(1,2) x(EH＋AD)＋60×2× eq \f(1,2) x(EF＋AB)＋40EH·EF＝20x(30－2x＋30)＋60x(20－2x＋20)＋40(30－2x)(20－2x)＝－400x＋24000.
由题意得20－2x＞0，解得x＜10，
∴0＜x＜10；
(3)S甲＝－2x2＋60x，S乙＝－2x2＋40x.
∴－2x2＋60x－(－2x2＋40x)≤120，
解得x≤6，∴0＜x≤6.
∵y＝－400x＋24000，－400＜0，
∴y随x的增大而减小．
∴当x＝6时，y的值最小，最小值为y＝－400×6＋24000＝21600(元).
∴三种花卉的最低种植总成本为21600元．
10. 解：(1)由题图知，正方形ABCD的边长AB＝10，
∴容器甲的容积为102×6＝600立方米．
如解图，连接FH，
第10题解图
∵∠FEH＝90°，
∴FH为⊙O的直径．
在Rt△EFH中，EF＝2EH，FH＝10，
根据勾股定理，得EF＝4 eq \r(5) ，EH＝2 eq \r(5) ，
∴容器乙的容积为2 eq \r(5) ×4 eq \r(5) ×6＝240立方米；
(2)①当t＝4时，h＝ eq \f(4×25,40) － eq \f(4×25,100) ＝2.5－1＝1.5.
∵MN平行于横轴，
∴M(4，1.5)，N(6，1.5).
由上述结果，得6小时后高度差仍为1.5米，
∴ eq \f(25×6,40) － eq \f(25×6＋2a,100) ＝1.5，
解得a＝37.5；
②设注水b小时后，h乙－h甲＝0，
则有 eq \f(25b,40) － eq \f(25b＋（b－4）×37.5＋（b－6）×50,100) ＝0，
解得b＝9，即P(9，0).
设线段PN所在直线的解析式为h＝kt＋m(k≠0)，
∵N(6，1.5)，P(9，0)在直线PN上，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1.5＝6k＋m,0＝9k＋m)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2),m＝\f(9,2))) .
∴线段PN所在直线的解析式为h＝－ eq \f(1,2) t＋ eq \f(9,2) (6≤t≤9).
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格(元/kg)
4
5
6
40
零售价格(元/kg)
5
6
8
50
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价(元/件)
30
25
销售价(元/件)
45
37
销售单价x(元/千克)
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y(千克)
…
30
27.5
25
12.5
10
…