2024中考数学复习 重难题型分类练 函数图象与性质探究题 (含答案)

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类型一 新函数性质探究
1. 小华同学学习函数知识后，对函数y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x2（－1＜x≤0）,－\f(4,x)（x≤－1或x>0）)) 通过列表、描点、连线，画出了如图①所示的图象．
请根据图象解答：
(1)【观察发现】①写出函数的两条性质：______________________________________________________；
②若函数图象上的两点(x1，y1)，(x2，y2)满足x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0一定成立吗？________；(填“一定”或“不一定”)
(2)【延伸探究】如图②，将过A(－1，4)，B(4，－1)两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数y＝－ eq \f(4,x) (x≤－1)的图象交于点P，连接PA，PB.
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n· 的代数式表示△PAB的面积．
第1题图
2.函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝－ eq \f(8x,x2＋4) 的图象，并探究其性质．
列表如下：
(1)直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
第2题图
(2)观察函数y＝－ eq \f(8x,x2＋4) 的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当－2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为－2；
③－10)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图①，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
(1)求k的值；
(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图②，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式；
②补画x0)，则BC＝________时，AC＋BC最大；
推理证明
(5)对(4)中的猜想进行证明．
问题1，在图①中完善(2)的描点过程，并依次连线；
问题2，补全观察思考中的两个猜想：(3)______；(4)________；
问题3，证明上述(5)中的猜想；
问题4，图②中折线B－E－F－G－A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A、B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米，∠E＝∠F＝∠G＝90°，平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
参考答案与解析
1. 解：(1)①当x＞0或x≤－1时，y随x的增大而增大，当－1＜x≤0时，y随x的增大而减小(答案不唯一，符合题意即可)；
②不一定；
(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(－1，4)，B(4，－1)代入，
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－k＋b＝4,4k＋b＝－1)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1,b＝3)) .
∴直线AB的解析式为y＝－x＋3.
①当n＝3时，如解图，设AB交y轴于点E，连接OA，OB，直线l的解析式为y＝－x＋3－3＝－x，直线l过原点O，
∵l∥AB，
∴S△PAB＝S△ABO＝S△AEO＋S△BEO＝ eq \f(1,2) ×3×1＋ eq \f(1,2) ×3×4＝ eq \f(15,2) ；
第1题解图
②S△PAB＝ eq \f(5,2) n.
【解法提示】∵AB＝ eq \r(（－1－4）2＋（4＋1）2) ＝5 eq \r(2) ，P到AB的距离h＝ eq \f(\r(2),2) n，∴S△PAB＝ eq \f(1,2) ×5 eq \r(2) × eq \f(\r(2),2) n＝ eq \f(5,2) n.
2. (1)a＝2，b＝－ eq \f(8,5) ，画出函数图象如解图①；
第2题解图①
【解法提示】把x＝－2，y＝a代入y＝－ eq \f(8x,x2＋4) 中，得a＝－ eq \f(－16,4＋4) ＝2；把x＝1，y＝b代入y＝－ eq \f(8x,x2＋4) 中，得b＝－ eq \f(8,1＋4) ＝－ eq \f(8,5) .
(2)②③；
【解法提示】①由函数图象可知，当－2≤x≤2时，函数图象关于原点对称，不关于直线y＝x对称，此命题错误；②由函数图象可知，当x＝2时，函数有最小值，最小值为－2，此命题正确；③由函数图象可知，当－1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，此命题正确．
(3)x＜－2或0＜x＜2.
【解法提示】如解图②，当x＜－2或0＜x＜2时，函数y＝ eq \f(8x,x2＋4) 的图象在直线y＝x的上方，∴不等式 eq \f(8x,x2＋4) ＞x的解集是x＜－2或0＜x＜2.
第2题解图②
3. 解：(1)3.20；
(2)如解图①，即为所求作的图象；
第3题解图①
(3)不断减小；
(4)1.67(1.50＜AM＜1.80均可).
【解法提示】如解图②，作函数y＝2x的图象与原函数图象交点的横坐标即为所求．
第3题解图②
4. 解：(1)由题意得，AB＝AD＝1，∴点A的坐标是(4，1)，
∴k＝4×1＝4；
(2)①设点A坐标为(x， eq \f(4,x) )，
∴点D的横坐标为z＝x－ eq \f(4,x) .
∴这个“Z函数”表达式为z＝x－ eq \f(4,x) ；
②画出的图象如解图：
第4题解图
性质如下(答案不唯一)：
(a)函数的图象是由两个分支组成的曲线．
(b)函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．
(c)当x>0时，函数值z随自变量x的增大而增大；当x0，a>0，∴y≤2 eq \r(2) a，
当y＝2 eq \r(2) a时，
2x2－4 eq \r(2) ax＋4a2＝0，
解得x1＝x2＝ eq \r(2) a，
∴当BC＝ eq \r(2) a时，AC＋BC有最大值．
问题4：
如解图②，延长AM交EF的延长线于点C，过点A作AH⊥EF于点H，过点B作BK⊥GF于点K，BK交AH于点Q.
第6题解图②
在△BNE中，∠BNE＝60°，∠E＝90°，BE＝1 cm，
∴tan ∠BNE＝ eq \f(BE,NE) ，即 eq \r(3) ＝ eq \f(1,NE) ，
∴NE＝ eq \f(\r(3),3) cm，
∵AM∥BN，
∴∠C＝∠BNE＝60°，
又∵∠GFE＝90°，
∴∠CMF＝30°，
∴∠AMG＝30°，
∵∠G＝90°，AG＝1 cm，∠AMG＝30°，
∴在Rt△AGM中，tan ∠AMG＝ eq \f(AG,GM) ，即 eq \f(\r(3),3) ＝ eq \f(1,GM) ，
∴GM＝ eq \r(3) cm，
∵∠G＝∠GFH＝90°，∠AHF＝90°，
∴四边形AGFH为矩形，
∴AH＝FG，
∵∠GFH＝∠E＝90°，∠BKF＝90°，
∴四边形BKFE为矩形，
∴BK＝FE.
∴FN＋FM＝EF＋FG－EN－GM＝BK＋AH－ eq \f(\r(3),3) － eq \r(3) ＝BQ＋AQ＋QH＋QK－ eq \f(4\r(3),3) ＝BQ＋AQ＋2－ eq \f(4\r(3),3) ，
在Rt△ABQ中，AB＝4 cm，
由问题3可知，当BQ＝AQ＝2 eq \r(2) cm时，AQ＋BQ的值最大，
此时EF＝(1＋2 eq \r(2) )cm.
∴当BQ＝AQ＝2 eq \r(2) 时，FM＋FN最大值为(4 eq \r(2) ＋2－ eq \f(4\r(3),3) )cm，
即当EF＝(1＋2 eq \r(2) )cm时，感光区域长度之和FM＋FN最大，最大值为(4 eq \r(2) ＋2－ eq \f(4\r(3),3) )cm.
x
…
－4
－3
－2
－1
－ eq \f(3,4)
－ eq \f(1,2)
－ eq \f(1,4)
0
1
2
3
4
y
…
1
eq \f(4,3)
2
4
eq \f(9,4)
1
eq \f(1,4)
0
－4
－2
－ eq \f(4,3)
－1
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
eq \f(8,5)
eq \f(24,13)
a
eq \f(8,5)
0
b
－2
－ eq \f(24,13)
－ eq \f(8,5)
…
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2.0
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
AC＋BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4.0
3.9
3.2