浙江省湖州市普通高中2023-2024学年高一下学期6月学情调查数学试卷（Word版附解析）

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本卷满分为150分，考试时间为120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，，，则（ ）
A. 3B. 1C. D.
2. 用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ）
A B. 2C. 4D.
3. “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A. 7.5B. 8C. 8.5D. 9
4. 已知向量，若∥，则的值等于（ ）
A. B. C. 1D.
5. 某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆AB的仰角分别为、，在水平面上测得，且C，D的距离为12米，则旗杆的高度为（ ）

A. 9米B. 12米C. 米D. 15米
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，已知，，，、边上两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若是异面直线，，则.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A. 则为等边三角形；
B. 已知，则；
C. 已知，，，则最小内角的度数为；
D. 在，，，解三角形有两解．
11. 如图，圆台O2O2中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（ ）
A. 圆台的母线长为10
B. 圆台的侧面积为
C. 由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是
D. 在圆台内放置一个可以任意转动正方体，则正方体棱长的最大值是4
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的方差为__________.
13. 已知，则______.
14. 如图，在正方体中，E.分别为棱中点.则过点的截面分正方体上下两部分的体积之比为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．
（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；
（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；
（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
16. 如图，在四棱锥中，侧面正三角形，底面为直角梯形，，，，平面平面.

（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
17. 在锐角中，记的内角的对边分别为，点为的所在平面内一点，且满足.
（1）若，求的值；
（2）在（1）条件下，求的最小值；
18. 如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.
19. 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.
（1）若为纯虚数，求；
（2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.