9+1 2024届 数学模拟卷03

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考生注意：
本试卷满分150分，考试时间120分钟；
答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上；
答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效；
非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹签字笔或钢笔描黑。
【未经“9+1”高中联盟授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式（包括网络）转载，本卷复印无效】
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M＝，N＝，则M∩N＝（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ▲ ）
A． B． C． D．4
3．在现代科学技术前沿的文献中经常出现双曲正弦和双曲余弦这两个函数，双曲正弦即，双曲余弦即为，（其中为自然对数的底），小明同学试着用电脑上描绘这两个函数的商的图象，它的图象大致是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．已知平面凸四边形ABCD中，AB＝1，CD＝2，DA＝3，，则BC＝（ ▲ ）
A．3 B．3. 5 C． EQ \r( ,14) D．4
5．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点都在该球的一个大圆上，则该三棱锥的体积是（ ▲ ）
A． B． C． D．
6．已知中，，则的面积的最大值为（ ▲ ）
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3) C．eq \f(3\r(3),2) D．2eq \r(3)
7．已知椭圆C的焦点为，，过点F1的直线交C于A，B两点，若，，则的方程为（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若为偶函数，为奇函数，则的值为（ ▲ ）
A． B． C． D．2
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为常数，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中，正确的是（ ▲ ）
A．异面直线AE、BF所成角为定值 B．AC⊥BE
C．三棱锥E－ABF的体积为定值 D．EF∥平面ABCD
10．以下有关三角函数问题的结论，正确的是（ ▲ ）
A．已知，，其中是小于1的给定正数，则符合要求的值有2个
B．函数的最小正周期为，值域为
C．函数的零点有8个
D．已知为第一象限角，且，则
11．若圆C1：与圆C2：的公共弦长，则下列结论正确的是（ ▲ ）
A． B．直线AB的方程为
C．AB中点的轨迹方程为 D．圆C1与圆C2的公共部分面积为
12．已知，定义域均为R，其中是的导函数，若， 都是奇函数，曲线在处的切线方程为，则（ ▲ ）
A ． B． C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在的二项式展开式中，的系数为 ▲ ．
14．已知，，且，则的最小值为 ▲ ．
15．点到抛物线上任一点的最短距离为 ▲ ．
16．若过点存在两条直线与函数相切，则实数a的取值范围是 ▲ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若， ．
（1）求B的值；
（2）求 EQ \F(ac,b2)的最大值．
18．（12分）如图，在四棱锥中，，，且，且，，
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，试求实参数的值．
19．（12分）若正整数数列满足，且，
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列，试证明不等式：，其中是自然对数的底数．
20．（12分）摸球模型是研究概率论问题的一种基本模型方法，现在甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）试求数列 的通项以及Xn的数学期望，（用表示）．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，分别是的左、右顶点，分别是的上、下顶点，四边形的面积为，是的左焦点，点 ，直线经过点，与相交于两点，直线与相交于点，直线与相交于点，设直线的斜率为，直线PQ的斜率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，证明：T为定点．
22．（12分）已知，（其中为实参数，e为自然对数的底）；
（1）研究函数的单调性；
（2）已知时，有不等式恒成立，试求的取值范围．