沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训03一次函数与四边形压轴题(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训03一次函数与四边形压轴题(原卷版+解析)，共80页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．
(1)求直线的解析式；
(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线的图像与y轴交于点C，与已知直线交于点D，点D的横坐标是2
（1）求直线的解析式；
（2）将直线的图像向上或向下平移，交直线于点E，设平移所得函数图像的截距为b，如果交点E始终落在线段AB上，求b的取值范围．
（3）在x轴上是否存在点P，使点P与点A、B、C构成的四边形为梯形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．
(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
4．点为平面直角坐标系中的任意一点，记（分别为点的横、纵坐标），把称为点的特征数．
(1)当点的坐标为时，求的值．
(2)若点的特征数是5，点的特征数是6，求点的坐标．
(3)如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为、、．
点的坐标为_____．
当且点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．
当点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．
5．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．
(1)如图1，已知点，．
①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是 ，最大值是 ；
②在，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是 ；
(2)如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于轴，对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，求的取值范围；
(3)已知点，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围．
6．在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作直线轴于，作直线轴于，点、分别是直线和直线上的点，且．
(1)如图，当点、分别在线段和线段上时，求的周长；
(2)如图，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若，直接写出的长．
7．在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形的“k倍距离点”．已知：点A（a，0），B（a，a）．
(1)当时，
①点C的坐标是 ；
②在三个点中， 是正方形的“3倍距离点”；
(2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围；
(3)点．当时，线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为，（4，1），以，为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B．
(1)点B的坐标为 ．
(2)求用含k的代数式表示b．
(3)当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，求k的值．
(4)直接写出一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点时k的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．
(1)求点B的坐标．
(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．
(1)①求的值；
②判断的形状，并说明理由；
(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．
(1)求直线的解析式；
(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
12．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
13．在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为．
(1)如图（1），当时，求的坐标；
(2)如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点．
①此时与是否相等，说明理由；
②求点的坐标；
(3)求面积的最大值．（直接写出答案即可）
14．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
15．如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且，．
(1)在长方形的边上找一点，使得直线将长方形的面积分成1:3两部分，则点的坐标为 ．
(2)如图，已知点在边上，且，请你在边上找一点，将沿翻折，使得点恰好落在轴上的点处．
求线段所在直线的函数表达式；
在线段上是否存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3两部分？若存在，求出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以为邻边构造，在线段延长线上取点，使，设点运动的时间为秒．
(1)当点运动到线段的中点时，求的值及点的坐标；
(2)当点在线段上时，求证：四边形为平行四边形；
(3)在线段上取点，使，过点作，截取，且点分别在第一、四象限，在运动过程中，当点中，有一点落在四边形的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
17．在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，那么把点（其中）称为点P的“位置点”．已知点．
(1)若点分别是点A，B的“位置点”，则线段 ；
(2)点M是线段上一点，点N是点M的一个“位置点”．
①当M在线段上运动时，若点M，N之间的距离的最小值为5，求k的值；
②如图，点，如果在线段上能找到至少一个点M，使点N在正方形的内部或边上，直接写出k的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将向下平移5个单位得线段．其中点的对应点为点，连接，．
(1)填空：点的坐标为 ，四边形的面积为 ．
(2)若点是轴上的动点，连接．
①如图（1），当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点．用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；
②当将四边形的面积分成两部分时，直接写出点的坐标．
19．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，
(1)求B、C两点的坐标；
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的面积；
(3)若点M在直线上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
20．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，．
(1)如图，当时，求的度数．
(2)如图，当时，求证：．
(3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；
(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；
(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．正方形的边长为4，，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
(1)如图（1），双曲线过点E，完成填空：点C的坐标是___________．点E的坐标是___________，双曲线的解析式是___________；
(2)如图（2），双曲线与，分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证；
(3)如图（3），将正方形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，于点，且点在的正半轴上，点和点分别在的负半轴和正半轴，，．
(1)求点的坐标；
(2)点点出发以1个单位/秒的速度向的负半轴方向运动，同时点从点出发向轴的正方向运动，连接交直线于点.设、两点运动时间为秒，若，连接，的面积为，请用的式子表示，并直接写出的式子表示，并直接写出的取值范围；
(3)在（2）的条件下，过点作，过点作轴的平行线交于于点，连接，是否存在，使的面积等于面积的2倍，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
25．如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为．
(1)求出点的坐标；
(2)在轴上有一点，连接，若，求的面积；
(3)在正方形的边上有一点，连接，将四边形沿所在直线翻折，当点刚好落在轴上时，求此时的长度．
26．如图，点为长方形的中心，轴，轴，，．
(1)直接写出、的坐标；
(2)如图，若点从点出发以每秒个单位长度向方向匀速移动不超过点，点从点出发以每秒个单位长度向方向匀速移动不超过点，连接、，在点、移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
(3)如图，若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即连接，，点为的中点，当的面积为时，请直接写出的值及对应的点坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴；给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．
(1)已知，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是__________________；
(2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的的二次反射点是点，求线段的长；
(3)已知点，点，以线段为边在轴上方作正方形，若点关于轴和直线的二次反射点分别为，且线段与正方形的边有公共点，直接写出的取值范围．
28．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H，连接．
(1)填空：菱形的边长______；
(2)求直线的解析式；
(3)动点P从点A出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，
①当时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当，请直接写出t的值．
29．如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
(1)求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
(2)动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
(3)几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？
30．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的解析式．
(2)试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标．
(3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
特训03 一次函数与四边形 压轴题
含存在性问题、最值问题、动态问题
一、解答题
1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．
(1)求直线的解析式；
(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点N的坐标为或或
【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答；
（3）根据题意进行分类讨论：①为矩形的边时；②为矩形的对角线时．
【解析】（1）解：把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，
∴，
∵绕点O顺时针旋转得，
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的函数解析式为．
（2）∵，
∴，
∵点E在线段上，
∴设，
∵轴，轴，
∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为，
把代入得：；
把代入得：，解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
∴．
（3）①当为矩形的边时，
过点M作，交直线于点，过点O作，交直线于点N，过点N作交于点P，过点作交于点，
根据作图可得：四边形和四边形都是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵绕点O顺时针旋转得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点M为线段的中点，，
∴，，即点N为中点，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式为：
，解得：，
∴，
②当为矩形的对角线时，
过点M作轴于点P，过点M作轴于点N，
∵，，
∴轴，
过一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点C和点N重合，
∴，
综上：点N的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线的图像与y轴交于点C，与已知直线交于点D，点D的横坐标是2
（1）求直线的解析式；
（2）将直线的图像向上或向下平移，交直线于点E，设平移所得函数图像的截距为b，如果交点E始终落在线段AB上，求b的取值范围．
（3）在x轴上是否存在点P，使点P与点A、B、C构成的四边形为梯形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x-1；（2）-4≤b≤2；（3）存在，（-2，0）或（-8，0）
【分析】（1）因为直线的图象与已知直线交于点，的横坐标是2，直接将的坐标代入到已知直线中，求出的纵坐标，再将代入到直线中，即可求解；
（2）由题意可得平移后的直线为，由于交点始终落在线段上，找到两个临界位置，即直线经过点和点，求出对应的的值，根据图象，得到的取值范围；
（3）根据题意，画出草图，即当和，当时，由直线的解析式，得到直线的比例系数，再由点坐标，写出直线的解析式，令，求出直线与轴交点坐标，同理可求当AC∥PB时的点坐标．
【解析】解：（1）直线的图象与已知直线交于点，的横坐标是2，
当时，，
的坐标为，
将的坐标代入到直线得，，
直线的解析式为；
（2）令，则，
令，则，
，
直线分别与轴、轴交于点、，
的坐标为，的坐标为，
设直线经过平移后的解析式为，如图1，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
由图可得，当交点始终落在线段上时，；
（3）直线的图象与轴交于点，
时，，
的坐标为，
①如图2，当时，四边形为梯形，
直线的解析式为，
令，则，
，
②如图3，当时，四边形为梯形，
设直线的解析式为，代入点得，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
所以存在这样的点，使点与点、、构成的四边形为梯形，坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了梯形的存在性问题，特别要注意数形结合思想的应用．
3．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．
(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的面积的最大值为
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）由可证()可得，由可证，可得，，可得点与点重合，点，点，点三点共线，在中，勾股定理，可求的长，由三角形中位线定理可求解；
（3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，连接，当轴于点时，则，此时面积最大，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）解：∵四边形．点，)，
，，，
矩形是由矩形旋转得到，
，
在中，，
;
故答案为：．
（2）如图，过点作于，过点作于，连接，
，，
四边形是矩形，
，
，，，
()，
，
又，
()，
，，
又，
点与点重合，
，，
，
点，点，点三点共线，
，
，
，
设
在中，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：依题意，，
，，
，
当边上的高最大时，面积最大，
如图，当轴于点时，则，此时面积最大，
连接，
，
的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
4．点为平面直角坐标系中的任意一点，记（分别为点的横、纵坐标），把称为点的特征数．
(1)当点的坐标为时，求的值．
(2)若点的特征数是5，点的特征数是6，求点的坐标．
(3)如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为、、．
点的坐标为_____．
当且点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．
当点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)2
(2)点的坐标为
(3)；；
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据题意可得，解方程组即可得到点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质，对角线的性质，利用中点公式求解即可；由题意可知，再分别求出直线与直线的交点，两交点之间的部分即为的取值范围；由题意可得，再分别求出直线经过点和点时的值，即可求出的取值范围．
【解析】（1）解：点坐标为，
，
；
（2）解：点的特征数是5，点的特征数是6，
，
解得，
点的坐标为；
（3）解：，，
的中点为，
设，
，
解得：，
，
故答案为：；
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
直线与直线的交点为，
同理可求得直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
直线与直线的交点为，
在内部（不包含边界）时，的取值范围为；
，
，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
当，点在内部（不包含边界）．
【点睛】本题考查一次函数的性质和图象，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，直线交点的求法是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．
(1)如图1，已知点，．
①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是 ，最大值是 ；
②在，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是 ；
(2)如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于轴，对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，求的取值范围；
(3)已知点，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①3，；②
(2)
(3)
【分析】（1）①观察图象的最小值是长，最大值是长，由勾股定理即可得出结果；
②过作于，可得出，根据平衡点的定义，即可得出点与点是线段的一对平衡点；
（2）如图2，可得，，由平衡点的定义可求出的范围；
（3）如图2，正方形边长为2，，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，根据平衡点的定义，可得，，即可求出的范围．
【解析】（1）解：①由题意知：，，则的最小值是3，最大值是；
②如图1，过作于，
，
根据平衡点的定义，点与点是线段的一对平衡点；
故答案为：3，，；
（2）如图2中，，，
且，均在正方形上，符合平衡点的定义，
；
（3）如图2，正方形边长为2，
，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，
则，，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了点与点是图形的一对平衡点、正方形性质、点与点的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
6．在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作直线轴于，作直线轴于，点、分别是直线和直线上的点，且．
(1)如图，当点、分别在线段和线段上时，求的周长；
(2)如图，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若，直接写出的长．
【答案】(1)8
(2)，证明见解析
(3)或
【分析】（1）在线段的延长线上取一点D，使，连接．由题意知四边形是边长为4的正方形，先证，再证，通过等量代换可得；
（2）在线段上取一点E，使，连接．同（1）可证，，通过等量代换可得；
（3）分点在线段上和在线段的延长线上两种情况，利用（1）（2）结论，通过勾股定理解即可．
【解析】（1）解：如图，在线段的延长线上取一点D，使，连接．
点的坐标是，直线轴于，直线轴于，
，，
四边形是边长为4的正方形，
，
在和中，
，
，
，．
，，
，
，
在和中，
，
，
．
，
即的周长是8；
（2）解：，理由如下：
如图，在线段上取一点E，使，连接．
在和中，
，
，
，．
，，
，
，
在和中，
，
，
．
；
（3）解：当点在线段上时，如图：
，
，
由（1）知的周长是8，
，
在中，，
，
解得，
；
当点在线段的延长线上时，如图：
同（2）可证，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
综上，的长为或．
【点睛】本题考查坐标与图形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．
7．在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形的“k倍距离点”．已知：点A（a，0），B（a，a）．
(1)当时，
①点C的坐标是 ；
②在三个点中， 是正方形的“3倍距离点”；
(2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围；
(3)点．当时，线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)①（0，4）；②，
(2)或
(3)或
【分析】（1）①当时，可得点A（4，0），B（4，4）．根据四边形是正方形，可得，所以点C的坐标是（0，4）；
②根据点关于y轴的对称点坐标为（1，1），而点（1，1）到正方形的边所在直线的最大距离是，到的最小距离为1，可得点是正方形的“3倍距离点”，同理即可解决问题；
（2）当时，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），结合（1）即可解决问题；
（3）根据点关于y轴的对称点坐标为，得直线的解析式为，设线段上一点P（m，m），则，分两种情况讨论：当P在正方形内时，当P在正方形外时，进而可以解决问题．
【解析】（1）解：①当时，如图1，点A（4，0），B（4，4）．
∵四边形是正方形，
∴，
点C的坐标是（0，4），
故答案为：（0，4）；
②∵点关于y轴的对称点坐标为（1，1），
而点（1，1）到正方形的边所在直线的最大距离是，到的最小距离为1，
∴点是正方形的“3倍距离点”；
同理可得点是正方形的“1倍距离点”；
同理可得点是正方形OABC的“3倍距离点”；
∴是正方形的“3倍距离点”，
故答案为：；
（2）当时，如图2，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），
∵点关于y轴的对称点坐标为（2，n），，
当时，到的距离倍的到的距离，
当时，到的距离倍的到的距离，
当时，到的距离倍的到的距离，
当时，到的距离倍的到的距离，
∴，
∴，
综上所述：点（其中）是正方形的“2倍距离点”时，n的取值范围是或；
（3）解：∵点关于y轴的对称点坐标为，设直线的解析式为，
代入得，
，解得：，
∴直线的解析式为，
设线段上一点P（m，m），
则，
当P在正方形内时，
①，
∴，
∴（舍去）；
②，
∴，
∴；
当P在正方形外时，
，
∴，
∴；
此时不存在的情况，
∴线段上存在正方形的“2倍距离点”，a的取值范围是或．
【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“k倍距离点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为，（4，1），以，为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B．
(1)点B的坐标为 ．
(2)求用含k的代数式表示b．
(3)当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，求k的值．
(4)直接写出一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点时k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）利用平行四边形的性质，和平移思想，求出点坐标即可；
（2）将点坐标代入解析式，进行求解即可；
（3）根据一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分，得到一次函数过原点，进行求解即可；
（4）求出一次函数图象经过点的值，和一次函数经过点的值，再根据一次函数的性质，求出k的取值范围即可．
【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴可由平移得到，
∵点，点，，
∴，
即，
故答案为：；
（2）解：将代入，得：，
∴；
（3）解：一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B，
∴当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，图象必过点，
由（2）知：，
∴，
∴；
（4）当直线经过点时，得，
解得：，
当直线经过点时，得，
解得：，
∵一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点，
∴或．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，利用数形结合的思想进行解题．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．
(1)求点B的坐标．
(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；或
【分析】（1）先求出直线CD的解析式即可解决问题；
（2）用M表示PF的长，利用三角形的面积公式计算即可；
（3）由题意可知：，整理得：，解得或（舍去），则，根据，，，可证，则，，则，根据直线解析式为：，结合，可知直线的解析式为：，则，当点再点上方时，设，则，根据，则，进而可知，故，根据对称性可知，也满足条件，由此可得到结果．
【解析】（1）解：由题意知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线，
当时，，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，
∵，F（m，4），
∴，
∴；
（3）解：如图2所示：
由题意可知：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵直线解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
∴，
当点再点上方时，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据对称性可知，也满足条件，
∴或．
【点睛】本题考查一次函数综合题，矩形的性质，平行线分段成比例定理，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决本题的关键．
10．已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．
(1)①求的值；
②判断的形状，并说明理由；
(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①②等边三角形，理由见解析
(2)
(3)在轴上存在一点，使得是等腰三角形，点坐标为或或或
【分析】（1）求出与y轴的交点即可求出b的值，由轴对称的性质求出点D的坐标，由勾股定理求出，的长即可判断的形状；
（2）设点关于直线的对称点为，求出点的坐标，连接，则与直线的交点为点，则当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，与联立求出点P的坐标，进而可求出点F的坐标；
（3）分3种情况求解即可．
【解析】（1）解：①令，则，
，
直线经过点，
；
②是等边三角形，理由如下：
令，则，
解得，
，
点关于轴的对称点是点，
，
，，，
是等边三角形；
（2）解：，
直线，
令，则，
，
设点关于直线的对称点为，
，
，
，
，
，
连接，则与直线的交点为点，
，
的周长，
当、、三点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得，
，
轴，
，
，
四边形是正方形，
；
（3）解：在轴上存在一点，使得是等腰三角形，理由如下：
设，
，，，
当时，，
解得或，
或；
当时，，
解得，
；
当时，，
解得或舍，
；
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，正方形的性质，轴对称的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键．
11．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．
(1)求直线的解析式；
(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)，，，
【分析】（1）根据直线的解析式可以求得点的坐标，再结合点的坐标，用待定系数法可以求出直线的解析式；
（2）根据可以求出的面积，设点是轴上一点，且满足，过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，进而求出点的坐标，求的最小值，关键是对进行转化，利用垂线段最短可求出此时点的坐标；
（3）先根据题意，找到点的坐标，根据菱形的性质，可求出点的坐标．
【解析】（1）解：在中，令，得，
，
令，得，
，
，
，
设直线的解析式为，将，代入得，
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：由可得，
，
，
设点是轴上一点，且满足，
，
，
过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，
记直线的解析式为，将代入可得，
直线的解析式为，
联立，解得，
则，显然点为的中点，
如图，作点关于轴的对称点，则，作直线，则直线的解析式为：，
过点作于点，交轴于点，点即为所求，
易得直线的解析式为：，则；
（3）Ⅰ.如图，当为菱形的一条边时，
时，如图所示，过点作轴于点，
根据题意可得，，则，
则，
易得，则，
由，可得，
在Rt中，，，
，
，
同理可得，；
时，如图所示，
根据题意可得，，轴，
；
Ⅱ.如图，当为菱形的一条对角线时，
根据题意可得，，轴，
又，
可得；
综上，当以点为顶点的四边形为菱形时，的坐标分别为：，，，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查平移变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决直线的交点问题．
12．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在．，，
【分析】（1）用因式分解法求出方程的两个根即可求解；
（2）根据求出点P的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（3）分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可．
【解析】（1），
，
，．
∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∴点P的坐标为．
设过点P的反比例函数解析式为．将点代入，得．
∴过点P的反比例函数解析式为．
（3）存在．
如图1，当为正方形的对角线时，
过点M作交的延长线于点E，过点C作交直线于点F．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
，
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∴．
∵把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得，
∴把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得；
如图2，当为正方形的边时，
过点N作于点H，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图3，当为正方形的边时，
由图2可知，，
∵把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得，
∴把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得；
综上可知，点N的坐标为：，，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键．
13．在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为．
(1)如图（1），当时，求的坐标；
(2)如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点．
①此时与是否相等，说明理由；
②求点的坐标；
(3)求面积的最大值．（直接写出答案即可）
【答案】(1)
(2)①；②
(3)14
【分析】（1）如图①中，过点作于点．解直角三角形求出，，可得结论；
（2）①此时与相等，证明即可；
②设，再利用勾股定理构建方程求出即可；
（3）如图③中，当点值的延长线上时，的面积最大．
【解析】（1）如图①中，过点作于点．
四边形是矩形，，
，，
在中，，，
，，
，
∴；
（2）①结论：．
理由：，，
，
，
，
，
；
②，，
，
设，
在中，，
，
，
，
．
（3）如图③中，当点值的延长线上时，此时点到的距离最大，即的面积最大．
的面积的最大值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
14．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为；
（3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，，
由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．
【解析】（1）解：过点作轴于，如图所示：
∵点，点，
∴，，
∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
∴，，，
在Rt中，，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
（3）连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
15．如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且，．
(1)在长方形的边上找一点，使得直线将长方形的面积分成1:3两部分，则点的坐标为 ．
(2)如图，已知点在边上，且，请你在边上找一点，将沿翻折，使得点恰好落在轴上的点处．
求线段所在直线的函数表达式；
在线段上是否存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3两部分？若存在，求出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；存在，或
【分析】（1）设，分别求出，，再由题意得到或，求出的值即可求点的坐标；
（2）过点作轴交于点，由折叠可知，则，在Rt 中，，求出，可知点与点重合，再用待定系数法求函数的解析式即可；
设，分别求出，，，，根据题意可得或，求出的值即可求点坐标．
【解析】（1）解：，
，
，
点在上，
设，
，
直线将长方形的面积分成1:3两部分，
或，
解得或（舍），
，
故答案为：；
（2）解：，
，
过点作轴交于点，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
在Rt 中，，
解得，
点与点重合，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3，理由如下：
设 ，
，
，
，
，
，
或，
解得或，
或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以为邻边构造，在线段延长线上取点，使，设点运动的时间为秒．
(1)当点运动到线段的中点时，求的值及点的坐标；
(2)当点在线段上时，求证：四边形为平行四边形；
(3)在线段上取点，使，过点作，截取，且点分别在第一、四象限，在运动过程中，当点中，有一点落在四边形的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）由是的中点求出时间，然后确定，即可求出点的坐标；
（2）连接，根据平行四边形的性质可得：，，在由线段的数量关系可得：，依据平行四边形的判定定理即可证明；
（3）的坐标是，的坐标是，则的坐标是，的坐标是，的坐标是，设的解析式是，将点坐标代入即可确定函数解析式，同理可得的解析式，然后分两种情况讨论：当在上时，的坐标是；当在上时，的坐标是；将、两点坐标分别代入求解即可．
【解析】（1）解：，
则 ， ，
则，
则的坐标是；
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即：
∴四边形是平行四边形；
（3）解：的坐标是，的坐标是，则的坐标是，的坐标是，的坐标是．
设的解析式是，
则，
解得：，
则的解析式是，
同理的解析式是，
当在上时，的坐标是，,
则 ，
解得：；
当在上时，的坐标是，
则 ，
解得：，
综合可得： ，．
【点睛】题目主要考查平行四边形与动点问题，包括平行四边形的判定和性质，一次函数解析式的确定，一元二次方程的求解等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
17．在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，那么把点（其中）称为点P的“位置点”．已知点．
(1)若点分别是点A，B的“位置点”，则线段 ；
(2)点M是线段上一点，点N是点M的一个“位置点”．
①当M在线段上运动时，若点M，N之间的距离的最小值为5，求k的值；
②如图，点，如果在线段上能找到至少一个点M，使点N在正方形的内部或边上，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)8
(2)①3.5；②
【分析】（1）求出的坐标，可得结论；
（2）①当点M，N之间的距离的最小时，点M，N在y轴上，此时，由此即可解答；②如图，当点M与A重合时，连接，延长交于点N，交于点．求出两种特殊位置k的值即可论．
【解析】（1）解：由题意，
∴
故答案为：8
（2）解：①点M，N之间的距离的最小时，点M，N在y轴上，此时，
∴；
②如图，当点M与A重合时，连接，延长交于点N，交于点．
观察图像 可知，
当N是M的K位置时，，
当是M的K位置时，，
观察图像 可知．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要正方形的性质点P的“位置点”的新定义、画图像等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将向下平移5个单位得线段．其中点的对应点为点，连接，．
(1)填空：点的坐标为 ，四边形的面积为 ．
(2)若点是轴上的动点，连接．
①如图（1），当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点．用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；
②当将四边形的面积分成两部分时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，20
(2)①，理由见解析；②点坐标为或理由见解析
【分析】（1）由平移的性质得出C点坐标，，再求，即可得出结论．
（2）①先求出，再利用三角形的面积公式得出，，即可得出结论；②分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论．
【解析】（1）点，将向下平移5个单位得线段，
，
即，
由平移得，，四边形是矩形，
，，
，
．
故答案为：，20；
（2）①，理由如下：
如图1，过点作于，
由平移知，轴，
，
，
由平移知，，
，，
，
即；
②如图2，当交线段于，且将四边形分成面积为两部分时，
连接，延长交轴于点，则，
，
连接，则，
将四边形的面积分成两部分，
，
由①知，，
，
，
，
，
．
（Ⅱ）如图3，当交于点，将四边形分成面积为两部分时，
连接，延长交轴于点，则，
．
连接，则，
将四边形的面积分成两部分，
，
，
．
过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：点坐标为或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了坐标与图形变化—平移，矩形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．
19．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，
(1)求B、C两点的坐标；
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的面积；
(3)若点M在直线上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，；
(2)
(3)，，
【分析】（1）含角直角三角形的性质及勾股定理得、的长度，则可得、的坐标；
（2）由折叠性质得，，可证明，则，由矩形可知，四边形是平行四边形；设，则，在中，由勾股定理建立方程可求得的值，从而可求得结果；
（3）分三种情况考虑：以为边；为边，为对角线；若为边，为对角线；分别利用菱形的性质及相关知识即可求得点的坐标．
【解析】（1），，
由勾股定理得：
∴，；
（2）由折叠的性质得：，
四边形是矩形
四边形是平行四边形
设，则
∵在中，
∴
解得：
（3）若以为边，如图
∵F是中点
由（1）知，
∴
设直线的解析式为
把点与点的坐标分别代入得：
解得：
∴直线解析式
∵四边形是菱形
∴
∴的解析式
设
∴
解得：
∴
若为边，为对角线，如图
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴是的垂直平分线
∵四边形是菱形
∴是的垂直平分线
∴M与D重合，即
设
∵与互相平分
∴
∴，
∴
若为边，为对角线
如图
∵直线解析式
∴直线与y轴的交点为
∵，
∴
∵四边形是菱形，
∴
∴M是直线与y轴的交点
∵四边形是菱形，
∴，且
∴
综上所述，，
【点睛】本题考查了一次函数，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，涉及分类讨论思想，灵活运用这些知识是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，．
(1)如图，当时，求的度数．
(2)如图，当时，求证：．
(3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)；；
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，推出，求出即可解决问题；
（2）如图，作于，交于，设，，在和中，利用勾股定理构建方程，求出x，y的值，再利用勾股定理的逆定理得出结论；
（3）如图3，在的延长线上截取，连接，，，，通过证明求解的长，进而可得的长，当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接），证明，可得，求出，可得，进而可得答案．
【解析】（1）解：如图，连接，
由翻折的性质可知：，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
∴；
（2）证明：如图，作于，交于，
由翻折的性质可知：，，
设，．
，
四边形是矩形，
，，，
在中，由勾股定理得，即，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
，
，，
，
，即；
（3）解：如图3，在的延长线上截取，连接，，，，
∵，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接），
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；
(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，，
【分析】（1）先将代入直线的解析式，求出A点坐标，再利用待定系数法求直线的函数解析式；
（2）先利用两点间距离公式求出，推出．再利用折叠的性质得出，等量代换可得，根据内错角相等即可证明；
（3）过点作，，过点作，，连接，，，与交于，可得四边形是正方形，则，，均为等腰直角三角形．分别求出，，的坐标即可．
【解析】（1）解：直线与直线相交于点，
，
解得，
，
将，代入，得：
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：，，
，，
，
．
沿直线翻折得到，
，
，
；
（3）解：如图，过C作于M，
，，
，
．
由折叠的性质可知，
，
，
．
过点作，，过点作，，连接，，，与交于，
则四边形是正方形，
，，均为等腰直角三角形．
作轴于N，
，
，，
，
又，，
，
，，
，
；
四边形是正方形，
是的中点，也是的中点，
，，
的横坐标为，纵坐标为，
，
，
的横坐标为，纵坐标为，
，
综上，点P的坐标为：，，．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，解题的关键是通过作图找出符合条件的P点的位置．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；
(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)或或
【分析】（1）先求得点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可；
（2）作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，分别交x轴于E，交于F，求出点的坐标和点，进而求得的最小值为的长；
（3）求出点M和点N旋转后的对应点的坐标，从而求出的解析式，进而求得点P的坐标，然后分三种情况，结合根据平行四边形的性质，求得点Q的坐标．
【解析】（1）解：把点代入，得：
，
∴，
∴，
设直线的解析式为∶，
把，代入得：
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解∶如图，
设点D的坐标为，
∵轴，
∴点，
∵，
∴，解得：，
∴，，
作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，交x轴于E，交于F，则，，的周长最小，最小值为∶ ，
∵直线由直线沿y轴向上平移1个单位得到的，且直线为第一三象限的角平分线，
∴直线与坐标的夹角都为，
∴，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴的周长最小值为∶；
（3）如图，
∵点，
∴点M和点N旋转后的对应点，
∴直线的解析式为∶，
当时，，
∴，
当时，
∵，
∴，
当时，
∵，
∴，
当时，
∵，，
∴，
综上所述∶点或或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的分类，勾股定理等知识，解决问题的关键是作对称，确定点E，F的位置．
23．正方形的边长为4，，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
(1)如图（1），双曲线过点E，完成填空：点C的坐标是___________．点E的坐标是___________，双曲线的解析式是___________；
(2)如图（2），双曲线与，分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证；
(3)如图（3），将正方形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)2或
【分析】（1）根据正方形的边长可确定C点的坐标，再利用正方形的性质得出E点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
（2）设出M点和N点的坐标，根据坐标的性质得出，推出即可得出；
（3）根据E点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出m的值即可．
【解析】（1）解：∵正方形的边长为4，，交于点E，
∴，
将E点坐标代入双曲线，
得，
解得，
∴双曲线的解析式为，
故答案为：，；
（2）∵双曲线与，分别交于点M，N，
∴设，
∴，
∴，
∴，
由正方形可知，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形边长为4，
由（1）知，
∴，
∵AE为腰，分两种情况：
①当 时，
∵，，点P、E在反比例数图象上，
，
∴，
②当时，点P与点B重合，
∵，点P、E在反比例数图象上，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的m的值为2或．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，正方形的性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，于点，且点在的正半轴上，点和点分别在的负半轴和正半轴，，．
(1)求点的坐标；
(2)点点出发以1个单位/秒的速度向的负半轴方向运动，同时点从点出发向轴的正方向运动，连接交直线于点.设、两点运动时间为秒，若，连接，的面积为，请用的式子表示，并直接写出的式子表示，并直接写出的取值范围；
(3)在（2）的条件下，过点作，过点作轴的平行线交于于点，连接，是否存在，使的面积等于面积的2倍，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可求得的长度，即可求出C点坐标；
（2）先证明是斜边的中线，过点D作轴交直线于点H，再证明，根据全等三角形对应边相等可知，根据,分情况讨论即可；
（3）先判断为等腰直角三角形，利用面积公式表示出和的面积，根据的面积等于面积的2倍建立方程，解出即可．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵点C在y的正半轴上，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即是斜边的中线，
过点D作轴交直线于点H，
∵轴，，．
∴，, ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴D，G两点速度相同，
当时，如图1，
∵，
∴，
∴，
当时，D点与O点重合，此时，
如图2，当时，
∵，
∴；
故 .
（3）解：如图3，
连接、、，过点F作于点E，过点P作交x轴于点I，
∴为等腰直角三角形，且，
∴点，．
过点F作交于点M，
则四边形为正方形，
由（2）可得，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴
当时，，

∴，
解得，
当时，，
∴，
解得．
∴存在t，使的面积等于面积的2倍，或．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定．（1）能根据题意得出为等腰直角三角形是解题关键；（2）中能作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质得出D，G两点速度相同是解题关键；（3）中能作辅助线求出P点的坐标是解题关键．
25．如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为．
(1)求出点的坐标；
(2)在轴上有一点，连接，若，求的面积；
(3)在正方形的边上有一点，连接，将四边形沿所在直线翻折，当点刚好落在轴上时，求此时的长度．
【答案】(1)点坐标为，点坐标为
(2)的面积为
(3)的长为
【分析】（1）作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，由轴，得，再通过证明，即可得到点的坐标；
（2）设点的坐标为，由得，，即可求出点的坐标，作轴交轴于点，轴交轴于点，则，从而即可求得答案；
（3）要使四边形沿所在直线翻折，当点刚好落在轴上，则轴，画出图如图所示，设，再结合勾股定理和三角形的等面积法即可求出的长．
【解析】（1）解：作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，
轴，
，
，
在和中，
，
，
，
点坐标为，
，
点坐标为，
同理可得，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
点坐标为，
点坐标为，点坐标为；
（2）解：设点的坐标为，
由（1）得，点坐标为，点坐标为，
，
，
解得，
点的坐标为，
作轴交轴于点，轴交轴于点，
点坐标为，点坐标为，点的坐标为，
则，
，
的面积为；
（3）解：要使四边形沿所在直线翻折，当点刚好落在轴上，则轴，画出图如图所示，
与轴的交点为点，与轴的交点为点，
，，
，
在和中，
，
（AAS），
，
设，则，
，
，
解得，
为的长，
，
的长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的等面积法的运用，勾股定理解三角形，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定与性质，作出适当的辅助线是解题的关键．
26．如图，点为长方形的中心，轴，轴，，．
(1)直接写出、的坐标；
(2)如图，若点从点出发以每秒个单位长度向方向匀速移动不超过点，点从点出发以每秒个单位长度向方向匀速移动不超过点，连接、，在点、移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
(3)如图，若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即连接，，点为的中点，当的面积为时，请直接写出的值及对应的点坐标．
【答案】(1)，
(2)四边形的面积不发生变化，详见解析
(3)点坐标为或
【分析】（1）根据矩形的性质直接求解即可；
（2）分别求出，，再求即可；
（3）当时，在轴的左侧，当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得；当时，在轴的右侧，当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得；求出后再分别求出、点坐标，即可求点坐标．
【解析】（1）解：，，
，；
（2）四边形的面积不发生变化，理由如下：
由题可知，，，
，
，
，
，
，
四边形的面积不发生变化；
（3），△的面积为12，
点到的距离是6，
，
，，
当时，在轴的左侧，
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得；
，，，，
是的中点，
，；
当时，在轴的右侧，
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得；
，，，，
是的中点，
，；
综上所述：点坐标为，或，．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，根据点的运动情况分类讨论是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴；给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．
(1)已知，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是__________________；
(2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的的二次反射点是点，求线段的长；
(3)已知点，点，以线段为边在轴上方作正方形，若点关于轴和直线的二次反射点分别为，且线段与正方形的边有公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)、、；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案；
（3）)根据二次反射点的定义得出，，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案
【解析】（1）解：∵
∴点关于轴对称点的坐标为，
∵关于直线对称的点
∴关于轴和直线的二次反射点的坐标
∵
∴点关于轴对称点的坐标为，
∵关于直线对称的点
∴关于轴和直线的二次反射点的坐标
∵
∴点关于轴对称点的坐标为，
∵关于直线对称的点
∴关于轴和直线的二次反射点的坐标
故答案为：、、
（2）∵点的坐标是，
∴点关于轴对称点的坐标为，
∴关于直线对称的点，
∴；
（3）∵点
∴点关于轴和直线的二次反射点分别为，
当与有公共点时，
，
解得
当与有公共点时，
解得
综上：或
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．
28．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H，连接．
(1)填空：菱形的边长______；
(2)求直线的解析式；
(3)动点P从点A出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，
①当时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当，请直接写出t的值．
【答案】(1)5
(2)直线的解析式为
(3)①；②或
【分析】（1）根据点A的坐标，结合勾股定理可计算菱形边长的长度；
（2）先求出C点坐标，设直线的解析式，将点坐标代入得到二元一次方程组，然后解方程组即可得到的值；
（3）①当时，根据题意得到，，然后利用三角形面积公式，即可表示出S与t之间的函数关系；②设M到直线的距离为h，根据等面积方法列方程，求出h，可得到当时，S与t之间的函数关系，将分别代入两个解析式中，分别解方程即可得解．
【解析】（1）解：∵点A的坐标为，
∴
在中，，
故答案为：5；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，即．
设直线的解析式，函数图象过点，
则，
解得，
∴直线的解析式为：；
（3）解：由，令，，则，则，
①当时，如图所示，
，，
∴，
∴，
②设M到直线的距离为h，
∴
则，
解得，
当时，如图所示，
，，
，
当时，代入，
解得，
代入，
解得，
综上所述或．
【点睛】本题考查了菱形的性质、动点问题、求一次函数解析式、勾股定理等知识，采用数形结合并分情况分析是解题关键．
29．如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
(1)求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
(2)动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
(3)几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？
【答案】(1)=10，，此时点P在CB边上
(2)（）
(3)（，）、（，）
【分析】（1）题目给出了、点的坐标，CB＝4，可求出的坐标，根据PD将梯形COAB的周长平分，其中一半为，等于梯形周长的一半建立等式求解即可，算出，再判断；
（2）可根据四边形的面积是梯形面积，列出方程并解出方程即可；
（3）要根据的位置在不同边的具体情况利用相关的知识写出函数关系式及取值范围．
(1)
解：点坐标为，，
，
梯形的周长为：，
根据PD将梯形COAB的周长平分，
由，
得．
此时点在上；
(2)
解：作于，于，于，
则．
，
，
，
，
，．
；
(3)
解：点只能在或上，
（ⅰ）当点在上时，设点的坐标为．
由，
得，得，
此时．
由，得．
即在7秒时有点（，）；
（ⅱ）当点在上时，设点的坐标为．
由，
得，得，
此时．
即在秒时，有点（，）．
故在7秒时有点（，），在秒时有点（，），使将梯形的面积分成的两部分．
【点睛】本题考查了直角梯形及一次函数的综合运用；做题时要认真理解题意，找出等量关系，解题的关键是利用分类讨论思想进行求解．
30．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的解析式．
(2)试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标．
(3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，，，，
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标，根据点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM的函数解析式；
（2）利用平行线间的距离处处相等，过O作直线，为与AM交点，由点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，求出的表达式，与直线AM的表达式联立求出交点即，再利用平移求出另一个点的坐标；
（3）分情况讨论，作出不同的辅助线，求出对应点H的坐标即可．
（1）
解：∵交x轴于A，
∴，解得，
∴，
∵交y轴于B，
∴当x=0时，
∴，
∵M为OB中点，
∴，
设过，，
得到，解得，
∴直线AM的解析式是．
（2）
解：过O作直线，为与AM交点，如图1，
∴ 点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离
∴此时，
设直线，
∵，
∴
∴，
∵直线AM的解析式是
∴，解得，
此时
∴，
由是直线AB:向下平移8个单位得到的，
把直线AB:向上平移8个单位得到
交直线AM于，此时，
∴由，得，
∴．
综上所述，点P的坐标为，
（3）
解：①过点B作BHAM，过点A作AH⊥BH于点H，如图2，
如图，则，
设直线BH的表达式为：
∵
∴
∵直线BH经过点
∴
∴直线BH的表达式为，
设直线AH的表达式为，
∵，
∴，得到，
又∵直线AH过点
∴，解得
∴直线AH的表达式为，
由 解得
∴此时点H的坐标为；
②过点A作，作BH⊥AH，垂足为点H，则，如图3，
∵，，
∴此时点H的坐标为，
③过点M作AB的平行线，分别过点A、B向AB的平行线作垂线，垂足分别为H1、H2，如图4，此时，
设直线MH1的表达式为
∵
∴
∵直线MH1经过点
∴
∴直线MH1的表达式为，
设直线AH1的表达式为
∵，
则，，
∵过点
∴
解得
∴直线AH1的表达式为
由 解得
∴，
当时，
∵为矩形，
把点经过向左平移4个单位，向上平移8个单位即可得到点H2
∴点H的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像交点坐标、三角形的面积相等、直角梯形等相关知识，关键在于正确画出图形，进行正确的解答．