中职数学苏教版（中职）第一册第5章 三角函数综合训练题

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一、解答题
1．已知函数(其中…为自然对数的底数).
（1）求证：当时，；
（2）若不等式对成立，求实数a的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用导数判断单调性，求出的最小值，再证明其大于；
（2）令，先讨论，与题意不符；
当时：先求出，，，，
分类讨论：①若， ，使得，在上单调递减，与题意不符；
②若， ，使得，在上单调递增，与题意不符；
③若，判断在上单调递减，在上单调递增，恒成立，符合题意.
【详解】
解：（1），当时，，，∴，
当时，，，∴，
故当时，，单调递增.
，而，故；
（2）令，即对成立，
若，则，与题意不符；
故只需考虑的情况：，，，，
显然当时，，∴在上单调递增，
①若，则，，故，
使得，在上单调递减，∴，与题意不符，舍；
②若，则，当时，，，故，单调递增，又，故，使得，在上单调递增，
∴，与题意不符，舍；
③若，则，当时，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，
∴恒成立.
综上，.
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（3）利用导数证明不等式.
2．已知函数，是函数的导函数.
（1）证明：在上没有零点；
（2）证明：当，.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）通过构造函数和二次求导可证得时，总有；
（2）分和两种情况证明. 当时，易证；当时，仿（1）可证得，即单调递增，进而可证得.
【详解】
证明：（1）因为，所以
，
令，则
在上显然，所以在上单调递增，
即时，总有，
故在上没有零点；
（2）当时，，
当时，由（1）可知，
在上单调递增，
，即时，总有，
所以在上单调递增，
.
综上所述，，.
【点睛】
关键点点睛：第（2）问的关键点是：分和两种情况证明.
3．已知函数，.
（1）求证：当时，；
（2）求证：当时，.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出，然后多次求导，通过研究导函数的符号得到原函数的单调性，进而得出其函数值符号，最终得出函数的单调性，从而得出的最小值，从而得证.
(2)由（1）可得，所以，，则，结合（1）的结论，讨论出函数的单调性，从而可得，再证明即可.
【详解】
证明：（1）∵，
∴，，，
∴在上单增，，
∴在上单增，
∴在上单增，，
所以当时，.
（2）由（1）的结果知：当时，
（当且仅当时取“=”），
∴（当且仅当时取“=”），
∵
，
再由（1）的结果知：当时，
.
令，得；
令，得，在上单增；
令，得，在上单减，
∴，
∴（当且仅当时取“=”），
∴，由于两个不等式取“=”条件不一致，
∴，
又，
故当时，.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数证明不等式和求函数最值，解答本题的关键是通过多次求导函数，通过研究导函数的符号得到原函数的单调性，进而得出其函数值符号，最终得出函数的单调性，由，，利用（1）中结论得出单调区间，得出，再证明，属于难题.
4．已知，.
（1）当时，求证：对任意，；
（2）若是函数的极大值点，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由题设可得，令利用导数易知上，即知的单调性，再根据的零点及其区间符号判断的符号，进而可得的单调性，即可证结论.
（2）由题设得，构造并可得，令利用导数研究其单调性且，讨论的符号，判断的区间符号，即可知的单调性，进而确定为极大值时的范围.
【详解】
（1）当时，，
∴，
当时，，令，则，
∴在上单调递增，又，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴，故对任意，，得证.
（2），
令，的正负与的单调性有关，又，
∴，
令，则，易知时，；
当时，，
时，，在单调递增，，
1、当时，即，，
，则在单调递增，又，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
在上单调递增，不合题意，故不可取；
2、当时，即，使得在恒为负，则在上成立
∴在单调递减，又，
∴时，则；时，则
时，单调递增；时，单调递减，故在处取得极大值，
，即为所求范围.
【点睛】
关键点点睛：第二问，求，通过构造中间函数并应用导数研究单调性，结合零点判断区间符号，进而确定的符号，可知的单调性，结合是的极大值点，确定参数的范围.
5．已知函数，．
（1）若函数在区间内的单调递增，求的取值范围；
（2）证明：对任意，．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
(1)对求导得，对的取值分类讨论即可.
(2)由(1)可得，即，结合，
可得，
由不等式的放缩法可得，进而得出结果.
【详解】
（1）因为，
所以．
因为，所以，则．
（ⅰ）当时，则，，
∴，即此时在上单增．
∴符合题意．
（ⅱ）当时，此时，在上单减．
∴要使在上单增，只需要对恒成立，
即只需要恒成立即可，∴，
∴．
综上可知，当时，函数在上单调递增．
（2）由（1）知，当时，，即，
所以．
令，所以，从而，
所以，
首先，当时，，所以；
其次，
因为
，
所以，
所以．
故可得到对恒成立．
【点睛】
(1)导函数中常用的转化方法：利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
(2)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的.
6．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，证明：对任意，.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）当时，求得，得到，，结合直线的点斜式，即可求解；
（2）求得，令，得到，当时，得到为增函数，得到；当时，存在，使，结合函数的单调性得出单调性，得到
.
【详解】
（1）当时，函数，
可得，则，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由函数，可得，
令，则，
当时，，所以为增函数，，
所以，为增函数，所以.
当时，，又因为，所以，
所以存在，使，即，
所以函数在上为减函数，在上为增函数，
因为，所以，而，
所以存在，使，
当时，，即；
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，所以.
综上可得，当时，对任意，都有.
【点睛】
利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
7．已知函数，，当时，
（1）若函数在处的切线与轴平行，求实数的值；
（2）求证：；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）求导数，根据题意g'(0)=0,求得a的值；（2）①当时，，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明，从而证得；②当时，，令，利用导数研究单调性，进而证明，，综上可知：；（3）利用（2）的结论放缩后得，令，利用导数研究单调性可得．得到．从而当时，在上恒成立．同样利用放缩后可得．利用导数进行研究可证得当时，在上不恒成立．
【详解】
解：（1），
函数在处的切线与轴平行，则，得．
（2）证明：①当时，，
令，则．当时，，
∴在上是增函数，∴，即．
②当时，，令，则．
当时，，∴在单调递增，∴，
∴，综上可知：；
（3）解：设
．
令，则，
令，则．
当时，，可得是上的减函数，
∴，故在单调递减，
∴．∴．
∴当时，在上恒成立．
下面证明当时，在上不恒成立．
．
令，则．
当时，，故在上是减函数，
∴．
当时，．∴存在，使得，此时，．
即在不恒成立．综上实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用导数证明不等式和解决不等式恒成立求参数范围问题，属于中高档题，难度较大.关键难点是利用第（2）的结论，对进行放缩，从正反两方面证明a≤-3.
8．已知函数，.
（1）判断函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
【答案】（1）上单调递增，上单调递减；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）由（1）知，不妨设，利用分析法只需证明，根据函数的单调性只需证明，从而可证只需证明，构造函数，利用函数的单调性证明即可.
【详解】
（1），，
由得，
当时，；当时，
∴在上单调递增，在上单调递减.
（2）∵，且，
∴由（1）知，不妨设.
要证，只需证明，
而，在上单调递减，
故只需证明.
又，∴只需证明.
令函数，
则
，
当时，，，故，
∴在上单调递增，
故在上，
∴成立，故成立.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了导数与函数单调性之间的关系、利用导数证明不等式，解题的关键点是证明，构造函数，考查了分析法证明不等式，综合性比较强.
9．设函数，.
（1）证明：当时，；
（2）判断函数在上的零点个数.
【答案】（1）证明见解析；（2）有唯一的零点.
【分析】
（1）由题设有，令，利用导数研究单调性，结合零点存在性定理确定零点的范围，进而根据区间符号确定的单调性并求其最值，即可证结论.
（2）当时，利用导数，结合零点存在性定理确定零点个数，当时直接根据解析式判断是否有零点，当时，可得，构造利用导数研究单调性确定最值，即可确定零点个数，进而确定的零点个数.
【详解】
（1）
令，，
∴在上单调递增，又，，
∴存在唯一的使，
∴当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
∵，，
∴，得证.
（2），则，
当时有，即单调递减；
∵，
∴在上有一个零点，
当时，由（1）知，
∴，即上无零点，
令，则，在上单调递减而，
∴，即，
令，则，在上，即单调递增而，
∴，即，
∴当时，，
令，若有，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
∴，
∴当时，也无零点
综上：在上有唯一的零点.
【点睛】
关键点点睛：第二问，应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性、极值或最值，结合零点存在性定理判断区间内零点的个数.
10．已知函数(其中e为自然对数的底数)．
（1）若对任意成立，求实数k的取值范围；
（2）设，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导，故令求导得在上单调递增，故分，，且三种情况讨论求解即可得答案；
（2）结合（1）令得当时，进而根据并结合基本不等式即可证明.
【详解】
解：（1），令，
所以，当恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
当时，即时，恒成立，故在上单调递增，所以，满足条件；
当时，即时，恒成立，故函数在上单调递减，所以，不满足条件；
当且时，即时，存在使得当时，时，，故函在上单调递减，在上单调递增，由于，故时，不满足条件.
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时， 在恒成立，当且仅当等号成立；
令，当时，
所以当时，，，
所以
又因为，
所以.
所以命题成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，证明不等式，考查运算求解能力，分类讨论思想，是难题.本题第一问解题的关键在于令，研究其单调性和函数值的分布，进而分分，，且三种情况讨论求解；第二问解题的关键在于利用第一问得当时，进而求解.
11．已知定义在上的函数．（其中常数是自然对数的底数，）
（1）当时，求的极值；
（2）（i）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（ii）当时，证明：．
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）（i）；（ii）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；
（2）（i）利用参变量分离法可得出对任意的恒成立，求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围；
（ii）证明得出：当时，，依次可得出，，，，利用不等式的基本性质可证得所证不等式成立.
【详解】
（1）当时，，该函数的定义域为，
则，，所以，函数在上为增函数，
且，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的极小值为，无极大值；
（2）（i），则，
在上单调递增，则对任意的恒成立，
可得，下面证明：，其中，
即证，即证，其中，
由（1）可知，对任意的，，
又当时，，
，故实数的取值范围是；
（ii）由（1）可知，当时，在上单调递增，
当时，，即，
当时，，则，
，
当时，，
所以，，所以，，
，，，
将上述不等式全部相加得.
故原不等式得证.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
12．已知函数.
（1）求实数a的值使；
（2）若，证明：当时，.
【答案】(1) (2)证明见解析.
【分析】
（1）由题意为的最小值，则，求出的值，再检验.
（2）先讨论出函数的单调性，则，由，故只需证明即可,求出的导数得出其单调性，从而可证.
【详解】
（1），由题意恒成立，则为的最小值.
由为上的可导函数且图像连续不断. 所以为的一个极小值点，
所以，解得
当时，
当时，，由，则，且
所以当时，，则在上单调递减.
当时，,由，，则
所以在上单调递增，则
所以在上单调递增.
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，成立
（2）当时，由
，则在上恒成立
所以在上单调递增.
所以
设，则
所以在上单调递增，则
所以，则在上单调递增.
所以
由，所以
设
则，又
所以在上单调递增，则
所以在上单调递增，则
所以
所以若，当时,成立.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数的单调性、极值和利用导数证明不等式，解答本题的关键是先分析出函数的单调性，从而可得，由，故只需证明，属于难题.
13．已知函数，.
（1）当时，求证：当时，；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用二次求导判断函数单调性，求出，只须即可证明；
（2）构造函数，利用二次求导，对分情况讨论，判断函数单调性，将恒成立问题转化为最值问题即可求解.
【详解】
解：（1）证明：当时，，
，在上恒成立，
故在上单调递增，
，
在上单调递增，
，从而得证原不等式.
（2），
令，，，
，，故，
在上单调递增，
，
①当，即时，，故在上单调递增，
故，满足题意；
②当，即时，因，又时，，
所以，使得，
当时，，
在上单调递减，此时，不符合题意.
综上，.
【点睛】
关键点点睛：（2）问中根据二次求导得在上单调递增，所以
，此时对分和两种情况讨论是解题的关键.
14．已知.
（1）当有两个零点时，求的取值范围；
（2）当，时，设，求证：.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由于，而当时，，所以由题意得有一个非零实根，令，利用导数求出其单调区，并判断出，时，；时，，从而可求出的取值范围；
（2），等价于，令，则，然后利用导数求出其最小值即可，或要证成立，设，再利用导数求出其最小值即可
【详解】
解：(1)由题知，有两个零点，时，
故当有一个非零实根
设，得
在上单调递减，在上单调递增.
又，时，；时，.
所以，的取值范围是或.
(2)由题，
法一：，
令
令
在上单调递减，在上单调递增.
法二：要证成立
故设
，()
令，则，在上单调递增.
又
使，
在上单调递减，在上单调递增.
=0
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是要证成立，只要构造函数，再利用导数求出其最小值大于零即可，考查计算能力，属于中档题
15．函数，
（1），求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）令函数，求证：.
【答案】（1）单调减区间为，；单调增区间为，.（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）对函数求导，判断与，即可得单调区间；（2）将不等式转化为恒成立，然后构造新函数，根据不等式恒成立列不等式组求解，代入构造新函数，然后分类讨论证明；（3）利用（2）的结论，可得，令，，，，2，…，8，代入，即可证明不等式.
【详解】
（1），，
当，时，，
当，时，，
所以，的单调递增区间是，.
的单调递减区间是，.
（2）不等式恒成立等价于在上恒成立，
令，则由可得，
∵可以看作是关于的一次函数，单调递增，
∴令，
对于，，恒成立.
只需证明即可.
①当，，
则，在上单调递减，又，
所以此时恒成立.
②当时，恒成立，所以在上单调递增，又，所以此时恒成立.
③当时，单调递增，
，，所以在上存在唯一的，使得，
当时，，当时，，
所以在时单调递减，在时单调递增.
∴，，
∴恒成立，故恒成立，
∴.
（3）由（2）可知
令，，，，2，…，8，
可得到，
从而，
即得证.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
16．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求实数的值，并证明：对，恒成立．
（2）设函数，试判断函数在上零点的个数，并说明理由．
【答案】（1）；证明见解析；（2）只有一个零点；答案见解析．
【分析】
（1）利用切线方程求出；把原不等式转化为只需证明，构造函数，利用导数求最小值，即可证明；
（2）先设出，，根据函数和的图象的交点，研究出函数在上无零点，在上只有一个零点，即证.
【详解】
解：（1）根据题意，
曲线在点处的切线方程为
此时若要证明，对，恒成立，需证明
故需证明，则令，
；；
函数在上单调递减；在上单调递增；
故有当，，即对，恒成立
恒成立．
（2）根据题意可得，
在同一个直角坐标系中作出函数和的图象如下：
假设当时，函数和的相交，
时，单调递增；时，单调递减；
即得
又
综上可得，函数在上无零点，在上只有一个零点
即函数在上只有一个零点．
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数证明不等式；
（5）利用导数研究零点问题等
其本质是利用导数研究原函数的单调性，求极值或最值.
17．已知函数与(是自然对数的底数，)
（1）讨论关于的方程根的个数；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）方程根的个数是2；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先根据的正负去掉绝对值，接着分两种情况进行分类讨论函数的单调性，最后根据零点存在定理判断函数的零点情况；
（2）分两次进行证明：首先时，，再证明当时，，分别构造函数，求导判断函数的单调性，从而根据最值进行证明.
【详解】
（1）令，，
①当时，，则，
所以，因为，，，
所以，所以在上单调递增.
因为，，
根据零点存在性定理，知在上存在唯一零点.
②当时，，则，
所以，因为，
所以单调递增，则，
因此在上单调递减.
因为，，
根据零点存在性定理，知在上存在唯一零点.
显然不是的根，
综上所述，关于的方程根的个数是2.
（2）①要证时，，
只需证明.
记，
则，
当时，，
因此在上是增函数，
故，
所以，.
②
，
设，
∴，
所以当时，，于是在上是减函数，
从而当时，，故在上是减函数，
于是，
故，
综合以上可得：当时，.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
18．已知函数
（1）当，求的最大值与最小值；
（2）对于，若，证明：.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求得函数的导数，得出函数的单调区间和极值，即可求解；
（2）设函数，求得，根据（1）知，在递减，得到，即可求解.
【详解】
（1）由题意，，
可得
可得：
所以当时，函数取得最小值；
当时，函数取得最大值.
所以的最大值为，最小值为.
（2）设函数，可得，
由（1）知，在递减，又由，所以在恒成立，
所以在恒成立，所以在递减，
因为，所以，
即，所以.
【点睛】
利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19．已知函数，.
（1）（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明：.
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）通过研究导函数和的正负情况判断和的单调性，进而得到最值，即证结论；
（2）先代入化简为时，恒成立，构造函数，通过两次求导判断其导函数的的单调性，再对a进行分类讨论，结合（1）中结论判断能否成立，即得结果.
【详解】
解：（1）（ⅰ）证明：由可知．
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数有最小值，又，故；
（ⅱ）证明：由可知，．
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数有最小值，又，故．
（2）当时，恒成立，而，
故不等式等价于当时，恒成立．
设函数．
则，设，
则．
当时，，，，
结合（1）（ⅰ）问结论知，，
故函数在上单调递增．
若，则当时，，，函数在在上单调递增，又，故，满足题意；
若，因为，，
结合（1）（ⅱ）问结论可知，，
又，函数在上单调递增，故存在，使得，当时，，，函数在上单调递减，此时，又，即当时，，不符题意．
故实数的取值范围是．
【点睛】
关键点点睛：
第一问中证明不等式的关键在于利用函数导数研究最值，第二问的解题关键在于分类讨论后巧妙利用（1）中结论进行判断，突破难点.
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