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人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第十三章轴对称单元过关检测01(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第十三章轴对称单元过关检测01(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是（ ）
A．5B．5或12C．22或29D．29
3．（4分）若n是任意实数，则点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（4分）在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2：5或10：1B．1：10C．5：2D．5：2或1：10
5．（4分）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
第6题 第7题 第8题
A．50°B．90°C．40°D．80°
6．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6B．8C．6D．4.8
8．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
第8题 第9题
A．13B．14C．15D．16
9．（4分）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
10．（4分）如图，直线l1∥l2，Rt△ABC的直角顶点B在直线l2上，AC，BC分别交直线l1于点D，点E．若∠C＝38°，DE＝CE，则∠1的度数是（ ）
第10题 第11题 第12题
A．14°B．16°C．18°D．24°
11．（4分）已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝18cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AB于点F，则MN的长为（ ）
A．18cmB．12cmC．6cmD．3cm
12．（4分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点N关于x轴对称的点的坐标是 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
第14题 第15题
15．（4分）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为 ，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3） 元．
16．（4分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，CE的长为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ＝40°时，求∠BAC的度数．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝α，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝6．
（1）求∠BOC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）求△AMN的周长．
19．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
20．（10分）将一根长为（12m+9n﹣3）cm的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为（2m+n）cm，腰为（m+n）cm．
（1）求剪掉部分的铁丝长度．
（2）若围成的等腰三角形的周长为20cm，求铁丝的长度．
21．（12分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF．
（1）判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论；
（2）求证：∠C＝∠EAF．
22．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A（1，3）的“2族衍生点”B的坐标为（1﹣2×3，2×1﹣3），即B（﹣5，﹣1）．
（1）点（2，0）的“3族衍生点“的坐标为 ：
（2）若点A的“5族衍生点”B的坐标是（﹣3，9），则点A的坐标为 ；
（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点”为点B，且AB＝OA，求m的值．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．
24．（14分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 ；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 ；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 ．
2022—2023学年八年级上学期第三单元过关检测（1）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
2．（4分）若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是（ ）
A．5B．5或12C．22或29D．29
【分析】因为等腰三角形的两边分别为12和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当12为底时，其它两边都为5，12、5、5不能构成三角形，
当12为腰时，其它两边为12和5，因为12+5＞12，所以能构成三角形，
所以该三角形的周长是：12+12+5＝29．
故选：D．
3．（4分）若n是任意实数，则点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标的特点解答即可．
【解答】解：∵n是任意实数，
∴n2+1＞0，
∵点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点为：（﹣1，﹣n2﹣1），
∴﹣1＜0，﹣n2﹣1＜0，
∴点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点在第三象限，
故选：C．
4．（4分）在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2：5或10：1B．1：10C．5：2D．5：2或1：10
【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况讨论求解即可．
【解答】解：如图，△ABC是锐角三角形时，
∵CA＝CB，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝∠B＝×（180°﹣∠ACD）＝75°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：75°：30°＝5：2；
如图，△ABC是钝角三角形时，
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝150°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B＝×（180°﹣∠ACD）＝15°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：15°：150°＝1：10；
故选：D．
5．（4分）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
A．50°B．90°C．40°D．80°
【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．
【解答】解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝100°，
∴∠MGE＝180°﹣100°＝80°，
故选：D．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝BD＝AB．
∵△BCE的周长是14cm，
∴BC+BE+EC＝14cm，即AC+BC＝14cm．
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+AC+BC＝22cm，
∴AB＝22﹣14＝8（cm），
∴BD＝AB＝×8＝4（cm）．
故选：B．
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6B．8C．6D．4.8
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝9.6．
故选：A．
8．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】根据线段中点的定义可得AC＝4，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得EA＝EC，然后根据△ABE的周长为12，可得AB+BC＝12，从而求出△ABC的周长，即可解答．
【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AC＝2AD＝4，
由题意得：
ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ABE的周长为12，
∴AB+BE+AE＝12，
∴AB+BE+EC＝12，
∴AB+BC＝12，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+4＝16，
故选：D．
9．（4分）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BMN+∠BNM，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，NC＝NP，根据等腰三角形的性质得到∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，计算即可．
【解答】解：∵∠ABC＝80°，
∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°，
∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，
∴MA＝MP，NC＝NP，
∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，
∴∠MPA+∠NPC＝（∠BMN+∠BNM）＝50°，
∴∠APC＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
10．（4分）如图，直线l1∥l2，Rt△ABC的直角顶点B在直线l2上，AC，BC分别交直线l1于点D，点E．若∠C＝38°，DE＝CE，则∠1的度数是（ ）
A．14°B．16°C．18°D．24°
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠CDE＝38°，根据三角形外角的性质可得∠DEB，再根据平行线的性质可得∠2，再根据平角的定义可得∠1．
【解答】解：如图：
∵∠C＝38°，DE＝CE，
∴∠CDE＝∠C＝38°，
∴∠DEB＝∠CDE+∠C＝38°+38°＝76°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝76°，
∴∠1＝180°﹣90°﹣76°＝14°．
故选：A．
11．（4分）已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝18cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AB于点F，则MN的长为（ ）
A．18cmB．12cmC．6cmD．3cm
【分析】连接AM、AN、由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠B＝∠C＝30°，结合线段垂直平分线的性质可证明△AMN为等边三角形，即可证明BM＝MN＝CN＝BC，进而可求解．
【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝18cm，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB的垂直平分线EM，
∴AM＝BM，
∴∠MAB＝∠B＝30°，
∴∠AMN＝∠B+∠BAM＝60°，
同理∠ANM＝60°，AN＝CN，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝CN＝BC＝6cm，
故选：C．
12．（4分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD＝∠ABD＝90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD＝60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF＝ZN＝a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长．
【解答】解：连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∵∠AFE＝∠ABC＝120°，
∴∠AFD＝∠ABD＝90°，
在Rt△ABD和RtAFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°，
∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI＝∠FAD＝60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM＝60°＝∠M，
∴ED＝EM，
同理AF＝QF，
即AF＝QF＝EF＝EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF＝ZN＝a，
∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证），
∴∠GFZ＝30°，
∴GZ＝GF＝a，
同理IN＝a，
∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；
同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；
同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；
第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；
第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，
即第六个正六边形的边长是×a，
故选：A．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点N关于x轴对称的点的坐标是 ．
【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．
【解答】解：∵点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，
∴N（﹣a，b），
∴点N关于x轴对称的点的坐标是（﹣a，﹣b）．
故答案为：（﹣a，﹣b）．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的 条件分析可得答案．
【解答】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，故此时符合条件的点由2个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；这两个交点中有一个是与A重合的，应舍掉，故只有1个；
线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：2+1+1＝4（个），
故答案为：4．
15．（4分）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为 ，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3） 元．
【分析】两头的扇形正好把中间的半圆补上，整个图形是一个长方形，据此列出代数式，把a，b的值代入求值即可；分别求出摆放花草部分造价，展板部分造价即可解决问题．
【解答】解：由题意：展板的面积＝12a•b（平方米），
当a＝0.5米，b＝2米时，展板的面积＝12（平方米）．
制作整个造型的造价＝12×80+π×4×450＝3660（元）．
故答案是：12平方米；3660．
16．（4分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，CE的长为 ．
【分析】先证明△ABD≌△ACE（SAS），根据全等三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半，即得CE得长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴CE＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∴四边形ADCE的周长＝CE+DC+AD+AE＝BD+DC+2AD＝2+2AD，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，
∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝×2＝1．
∴CE＝1．
故答案为：1．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ＝40°时，求∠BAC的度数．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理求出∠B+∠C，再根据等边对等角的性质可得∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后代入数据进行计算即可得解；
（2）根据垂直平分线的性质可得∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C，再利用三角形内角和可得∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∵∠BAC＝78°，
∴∠B+∠C＝180°﹣78°＝102°，
∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝102°﹣78°＝24°；
（2）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C，
∵∠BAP+∠CAQ＝∠BAC+∠PAQ，∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C＝∠BAC+40°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝70°．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝α，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝6．
（1）求∠BOC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）求△AMN的周长．
【分析】（1）根据三角形的内角和为180°及角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+α；
（2）解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴MO＝BM，
同理可得，NO＝NC，
∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，
∵AB＝5，AC＝6，
∴AB+AC＝11，
∴△AMN的周长为11．
19．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
20．（10分）将一根长为（12m+9n﹣3）cm的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为（2m+n）cm，腰为（m+n）cm．
（1）求剪掉部分的铁丝长度．
（2）若围成的等腰三角形的周长为20cm，求铁丝的长度．
【分析】（1）（12m+9n﹣3）﹣2（m+n）﹣（2m+n），再进一步计算即可；
（2）根据已知得出2（m+n）+（2m+n）＝20，整理得4m+3n＝20，代入计算即可．
【解答】解：（1）（12m+9n﹣3）﹣2（m+n）﹣（2m+n）
＝12m+9n﹣3﹣2m﹣2n﹣2m﹣n
＝12m+9n﹣3，
答：剪掉部分的铁丝长度为12m+9n﹣3；
（2）当2（m+n）+（2m+n）＝20时，
∴2m+2n+2m+n＝20，
∴4m+3n＝20，
∴12m+9n﹣3＝3（4m+3n）﹣3＝3×20﹣3＝57，
答：铁丝的长度为57．
21．（12分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF．
（1）判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论；
（2）求证：∠C＝∠EAF．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD，结合线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠EDA，进而可证得DE∥AC；
（2）利用SSS证明△AEF≌△DEF可得∠EAF＝∠EDF，结合平行线的性质可证明结论．
【解答】（1）解：DE∥AC，
理由：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）证明：∵EF垂直平分AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠EAF＝∠EDF，
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠EDF，
∴∠C＝∠EAF．
22．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A（1，3）的“2族衍生点”B的坐标为（1﹣2×3，2×1﹣3），即B（﹣5，﹣1）．
（1）点（2，0）的“3族衍生点“的坐标为 ：
（2）若点A的“5族衍生点”B的坐标是（﹣3，9），则点A的坐标为 ；
（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点”为点B，且AB＝OA，求m的值．
【分析】（1）利用“m族衍生点”的定义可求解．
（2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；
（3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解．
【解答】解：（1）点（2，0）的“3族衍生点”的坐标为（2﹣3×0，3×2﹣0），即（2，6），
故答案为：（2，6）；
（2）设点A坐标为（x，y），
由题意可得：，
∴，
∴点A坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）；
（3）∵点A（x，0），
∴点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），
∴AB＝|mx|，
∵AB＝OA，
∴|x|＝|mx|，
∴m＝±1，
故m的值为：±1．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）要使△PBQ是等边三角形，即可得：PB＝BQ，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．
∴AB＝24cm，
可得：PB＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
即24﹣2t＝t，
解得：t＝8，
故答案为：8；
（2）当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，
∴AB＝2BC＝12×2＝24（cm），
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发，
∴BP＝AB﹣AP＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
∵△PBQ是直角三角形，
∴BP＝2BQ或BQ＝2BP，
当BP＝2BQ时，
24﹣2t＝2t，
解得t＝6；
当BQ＝2BP时，
t＝2（24﹣2t），
解得t＝．
所以，当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形．
24．（14分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 ；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 ；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 ．
【分析】（1）①先证∠CAE＝∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出结论；
②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）①如图2，根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出结论；
②根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，
故答案为：α+β＝180°；
②由①知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，AD＝AE，
∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，
当AD⊥BC时，AD最短，
即四边形ADCE周长的值最小，
∵点A到直线BC的距离是3，
∴AD＝AE＝3，
∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，
故答案为：8；
（2）①成立，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，
即α+β＝180°；
②∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
故答案为：CE＝BC+CD．
1．（4分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是（ ）
A．5B．5或12C．22或29D．29
3．（4分）若n是任意实数，则点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（4分）在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2：5或10：1B．1：10C．5：2D．5：2或1：10
5．（4分）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
第6题 第7题 第8题
A．50°B．90°C．40°D．80°
6．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6B．8C．6D．4.8
8．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
第8题 第9题
A．13B．14C．15D．16
9．（4分）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
10．（4分）如图，直线l1∥l2，Rt△ABC的直角顶点B在直线l2上，AC，BC分别交直线l1于点D，点E．若∠C＝38°，DE＝CE，则∠1的度数是（ ）
第10题 第11题 第12题
A．14°B．16°C．18°D．24°
11．（4分）已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝18cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AB于点F，则MN的长为（ ）
A．18cmB．12cmC．6cmD．3cm
12．（4分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点N关于x轴对称的点的坐标是 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
第14题 第15题
15．（4分）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为 ，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3） 元．
16．（4分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，CE的长为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ＝40°时，求∠BAC的度数．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝α，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝6．
（1）求∠BOC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）求△AMN的周长．
19．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
20．（10分）将一根长为（12m+9n﹣3）cm的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为（2m+n）cm，腰为（m+n）cm．
（1）求剪掉部分的铁丝长度．
（2）若围成的等腰三角形的周长为20cm，求铁丝的长度．
21．（12分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF．
（1）判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论；
（2）求证：∠C＝∠EAF．
22．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A（1，3）的“2族衍生点”B的坐标为（1﹣2×3，2×1﹣3），即B（﹣5，﹣1）．
（1）点（2，0）的“3族衍生点“的坐标为 ：
（2）若点A的“5族衍生点”B的坐标是（﹣3，9），则点A的坐标为 ；
（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点”为点B，且AB＝OA，求m的值．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．
24．（14分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 ；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 ；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 ．
2022—2023学年八年级上学期第三单元过关检测（1）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
2．（4分）若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是（ ）
A．5B．5或12C．22或29D．29
【分析】因为等腰三角形的两边分别为12和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当12为底时，其它两边都为5，12、5、5不能构成三角形，
当12为腰时，其它两边为12和5，因为12+5＞12，所以能构成三角形，
所以该三角形的周长是：12+12+5＝29．
故选：D．
3．（4分）若n是任意实数，则点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标的特点解答即可．
【解答】解：∵n是任意实数，
∴n2+1＞0，
∵点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点为：（﹣1，﹣n2﹣1），
∴﹣1＜0，﹣n2﹣1＜0，
∴点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点在第三象限，
故选：C．
4．（4分）在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2：5或10：1B．1：10C．5：2D．5：2或1：10
【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况讨论求解即可．
【解答】解：如图，△ABC是锐角三角形时，
∵CA＝CB，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝∠B＝×（180°﹣∠ACD）＝75°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：75°：30°＝5：2；
如图，△ABC是钝角三角形时，
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝150°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B＝×（180°﹣∠ACD）＝15°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：15°：150°＝1：10；
故选：D．
5．（4分）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
A．50°B．90°C．40°D．80°
【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．
【解答】解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝100°，
∴∠MGE＝180°﹣100°＝80°，
故选：D．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝BD＝AB．
∵△BCE的周长是14cm，
∴BC+BE+EC＝14cm，即AC+BC＝14cm．
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+AC+BC＝22cm，
∴AB＝22﹣14＝8（cm），
∴BD＝AB＝×8＝4（cm）．
故选：B．
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6B．8C．6D．4.8
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝9.6．
故选：A．
8．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】根据线段中点的定义可得AC＝4，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得EA＝EC，然后根据△ABE的周长为12，可得AB+BC＝12，从而求出△ABC的周长，即可解答．
【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AC＝2AD＝4，
由题意得：
ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ABE的周长为12，
∴AB+BE+AE＝12，
∴AB+BE+EC＝12，
∴AB+BC＝12，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+4＝16，
故选：D．
9．（4分）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BMN+∠BNM，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，NC＝NP，根据等腰三角形的性质得到∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，计算即可．
【解答】解：∵∠ABC＝80°，
∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°，
∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，
∴MA＝MP，NC＝NP，
∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，
∴∠MPA+∠NPC＝（∠BMN+∠BNM）＝50°，
∴∠APC＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
10．（4分）如图，直线l1∥l2，Rt△ABC的直角顶点B在直线l2上，AC，BC分别交直线l1于点D，点E．若∠C＝38°，DE＝CE，则∠1的度数是（ ）
A．14°B．16°C．18°D．24°
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠CDE＝38°，根据三角形外角的性质可得∠DEB，再根据平行线的性质可得∠2，再根据平角的定义可得∠1．
【解答】解：如图：
∵∠C＝38°，DE＝CE，
∴∠CDE＝∠C＝38°，
∴∠DEB＝∠CDE+∠C＝38°+38°＝76°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝76°，
∴∠1＝180°﹣90°﹣76°＝14°．
故选：A．
11．（4分）已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝18cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AB于点F，则MN的长为（ ）
A．18cmB．12cmC．6cmD．3cm
【分析】连接AM、AN、由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠B＝∠C＝30°，结合线段垂直平分线的性质可证明△AMN为等边三角形，即可证明BM＝MN＝CN＝BC，进而可求解．
【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝18cm，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB的垂直平分线EM，
∴AM＝BM，
∴∠MAB＝∠B＝30°，
∴∠AMN＝∠B+∠BAM＝60°，
同理∠ANM＝60°，AN＝CN，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝CN＝BC＝6cm，
故选：C．
12．（4分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD＝∠ABD＝90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD＝60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF＝ZN＝a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长．
【解答】解：连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∵∠AFE＝∠ABC＝120°，
∴∠AFD＝∠ABD＝90°，
在Rt△ABD和RtAFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°，
∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI＝∠FAD＝60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM＝60°＝∠M，
∴ED＝EM，
同理AF＝QF，
即AF＝QF＝EF＝EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF＝ZN＝a，
∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证），
∴∠GFZ＝30°，
∴GZ＝GF＝a，
同理IN＝a，
∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；
同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；
同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；
第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；
第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，
即第六个正六边形的边长是×a，
故选：A．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点N关于x轴对称的点的坐标是 ．
【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．
【解答】解：∵点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，
∴N（﹣a，b），
∴点N关于x轴对称的点的坐标是（﹣a，﹣b）．
故答案为：（﹣a，﹣b）．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的 条件分析可得答案．
【解答】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，故此时符合条件的点由2个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；这两个交点中有一个是与A重合的，应舍掉，故只有1个；
线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：2+1+1＝4（个），
故答案为：4．
15．（4分）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为 ，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3） 元．
【分析】两头的扇形正好把中间的半圆补上，整个图形是一个长方形，据此列出代数式，把a，b的值代入求值即可；分别求出摆放花草部分造价，展板部分造价即可解决问题．
【解答】解：由题意：展板的面积＝12a•b（平方米），
当a＝0.5米，b＝2米时，展板的面积＝12（平方米）．
制作整个造型的造价＝12×80+π×4×450＝3660（元）．
故答案是：12平方米；3660．
16．（4分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，CE的长为 ．
【分析】先证明△ABD≌△ACE（SAS），根据全等三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半，即得CE得长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴CE＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∴四边形ADCE的周长＝CE+DC+AD+AE＝BD+DC+2AD＝2+2AD，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，
∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝×2＝1．
∴CE＝1．
故答案为：1．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ＝40°时，求∠BAC的度数．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理求出∠B+∠C，再根据等边对等角的性质可得∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后代入数据进行计算即可得解；
（2）根据垂直平分线的性质可得∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C，再利用三角形内角和可得∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∵∠BAC＝78°，
∴∠B+∠C＝180°﹣78°＝102°，
∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝102°﹣78°＝24°；
（2）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C，
∵∠BAP+∠CAQ＝∠BAC+∠PAQ，∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C＝∠BAC+40°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝70°．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝α，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝6．
（1）求∠BOC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）求△AMN的周长．
【分析】（1）根据三角形的内角和为180°及角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+α；
（2）解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴MO＝BM，
同理可得，NO＝NC，
∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，
∵AB＝5，AC＝6，
∴AB+AC＝11，
∴△AMN的周长为11．
19．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
20．（10分）将一根长为（12m+9n﹣3）cm的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为（2m+n）cm，腰为（m+n）cm．
（1）求剪掉部分的铁丝长度．
（2）若围成的等腰三角形的周长为20cm，求铁丝的长度．
【分析】（1）（12m+9n﹣3）﹣2（m+n）﹣（2m+n），再进一步计算即可；
（2）根据已知得出2（m+n）+（2m+n）＝20，整理得4m+3n＝20，代入计算即可．
【解答】解：（1）（12m+9n﹣3）﹣2（m+n）﹣（2m+n）
＝12m+9n﹣3﹣2m﹣2n﹣2m﹣n
＝12m+9n﹣3，
答：剪掉部分的铁丝长度为12m+9n﹣3；
（2）当2（m+n）+（2m+n）＝20时，
∴2m+2n+2m+n＝20，
∴4m+3n＝20，
∴12m+9n﹣3＝3（4m+3n）﹣3＝3×20﹣3＝57，
答：铁丝的长度为57．
21．（12分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF．
（1）判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论；
（2）求证：∠C＝∠EAF．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD，结合线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠EDA，进而可证得DE∥AC；
（2）利用SSS证明△AEF≌△DEF可得∠EAF＝∠EDF，结合平行线的性质可证明结论．
【解答】（1）解：DE∥AC，
理由：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）证明：∵EF垂直平分AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠EAF＝∠EDF，
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠EDF，
∴∠C＝∠EAF．
22．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A（1，3）的“2族衍生点”B的坐标为（1﹣2×3，2×1﹣3），即B（﹣5，﹣1）．
（1）点（2，0）的“3族衍生点“的坐标为 ：
（2）若点A的“5族衍生点”B的坐标是（﹣3，9），则点A的坐标为 ；
（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点”为点B，且AB＝OA，求m的值．
【分析】（1）利用“m族衍生点”的定义可求解．
（2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；
（3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解．
【解答】解：（1）点（2，0）的“3族衍生点”的坐标为（2﹣3×0，3×2﹣0），即（2，6），
故答案为：（2，6）；
（2）设点A坐标为（x，y），
由题意可得：，
∴，
∴点A坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）；
（3）∵点A（x，0），
∴点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），
∴AB＝|mx|，
∵AB＝OA，
∴|x|＝|mx|，
∴m＝±1，
故m的值为：±1．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）要使△PBQ是等边三角形，即可得：PB＝BQ，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．
∴AB＝24cm，
可得：PB＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
即24﹣2t＝t，
解得：t＝8，
故答案为：8；
（2）当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，
∴AB＝2BC＝12×2＝24（cm），
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发，
∴BP＝AB﹣AP＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
∵△PBQ是直角三角形，
∴BP＝2BQ或BQ＝2BP，
当BP＝2BQ时，
24﹣2t＝2t，
解得t＝6；
当BQ＝2BP时，
t＝2（24﹣2t），
解得t＝．
所以，当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形．
24．（14分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 ；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 ；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 ．
【分析】（1）①先证∠CAE＝∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出结论；
②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）①如图2，根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出结论；
②根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，
故答案为：α+β＝180°；
②由①知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，AD＝AE，
∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，
当AD⊥BC时，AD最短，
即四边形ADCE周长的值最小，
∵点A到直线BC的距离是3，
∴AD＝AE＝3，
∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，
故答案为：8；
（2）①成立，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，
即α+β＝180°；
②∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
故答案为：CE＝BC+CD．
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