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沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题01相似三角形(重点)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题01相似三角形(重点)(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．4cm，6cm，3cm．5cm
C．5cm，15cm，2cm．6cmD．3cm，4cm，2cm，5cm
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．边长相等的两个菱形都相似D．对角线相等的两个矩形都相似
3．如图， 中， 是 边上一点， 添加下列条件， 不能判定 的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．是非零向量，是单位向量，那么
D．
5．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．如图，在中，DE∥BC，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．若BC＝6，则EG的长为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBPB．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFPD．△PCF∽△BCP
9．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知，则＝_________
12．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．
13．若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．
14．已知点P是线段MN上的黄金分割点，且，则较长线段PM的长为______cm．
15．如图，点是的重心，如果，，那么向量用向量和表示为______．
16．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
17．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为 ___．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．
三、解答题
19．已知线段a、b、c满足且．
(1)求线段a、b、c的长；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长．
20．如图，在中，点、分别在、上，，若，，，求AD的长．
21．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E．
（1）求证：；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．
（1）若BD=20，求BG的长；
（2）求的值．
23．如图，在中，于点，于点，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
24．已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线BD于点F．
(1)求的值；
(2)设，，请用向量、表示向量．
25．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：
(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
26．已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF．
(1)求证：：
(2)如果，求证：．
27．如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若BO＝6OE，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．
28．如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B'，联结AB′，CB′，BB'，PB'，BB'与AP交于点E，PB'与AC交于点D．
(1)如图1，若AP＝PC，BC＝6，cs∠ABC＝，求CB'的长；
(2)如图2，若AB＝AC，BP＝3PC，求的值．
专题01 相似三角形（重点）
一、单选题
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．4cm，6cm，3cm．5cm
C．5cm，15cm，2cm．6cmD．3cm，4cm，2cm，5cm
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】解：A、1×4≠2×3，故选项错误，该选项不符合题意；
B、3×6≠5×4，故选项错误，该选项不符合题意；
C、2×15=5×6，故选项正确，该选项符合题意；
D、2×5≠3×4，故选项错误，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．边长相等的两个菱形都相似D．对角线相等的两个矩形都相似
【答案】A
【分析】两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形，根据相似多边形的定义逐项判断即可．
【解析】解：A.所有的正方形都相似，故选项正确，符合题意；
B.菱形的边成比例，但角不一定相等，故选项错误，不符合题意；
C.边长相等的两个菱形都不一定相似，故选项错误，不符合题意；
D.对角线相等的两个矩形边不一定成比例，所以不一定相似，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查命题、相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的概念．
3．如图， 中， 是 边上一点， 添加下列条件， 不能判定 的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形相似的判定定理逐一分析判断即可．
【解析】解：A、∵，
∴
所以选项A不符合题意；
B、∵，
∴
所以选项B不符合题意；
C、∵，
∴
所以选项C不符合题意；
D、，对应边成比例，但是不确定是否与相等，所以不能判定，所以选项D符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，牢记定理的内容是解题的重点．
4．下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．是非零向量，是单位向量，那么
D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的定义（在平面中既有大小又有方向的量称为向量）与运算法则依次进行判断即可得出选项．
【解析】解：A、，本选项正确,不符合题意；
B、如果，则，选项正确,不符合题意；
C、等号左边为向量，右边为向量模长，选项错误,符合题意；
D、，本选项正确,不符合题意．
故选：C．
【点睛】题目主要考查平面向量的定义与运算，理解平面向量的运算法则是解题关键．
5．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，
∴选项A、C、D不正确，选项B正确；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
6．如图，在中，DE∥BC，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
7．如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．若BC＝6，则EG的长为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
【答案】A
【分析】根据AD是中线，得到，由G为△ABC的重心，可以得到，有EF∥BC，可以证明△AEG∽△ABD，得到，由此求解即可.
【解析】解：∵AD是中线，
∴，
∵G为△ABC的重心，
∴，
∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，
∴，
∴，
故选A.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，重心的性质，三角形的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBPB．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFPD．△PCF∽△BCP
【答案】A
【分析】根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可证明△APG∽△BFP，由此即可求解．
【解析】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C
∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP
故B、D选项不符合题意，
∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，
对于A选项不能得到两个三角形相似，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【解析】解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：∵EF是点B、D的对称轴，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，
∵=，
∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形，
∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，
∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，
∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，
∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，
∴△BDC∽△DEF，
∴，
∴DF=，
∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，
∴=．
故选B．
二、填空题
11．已知，则＝_________
【答案】####
【分析】依据比例的性质，即可得到y＝x，再代入分式计算化简即可．
【解析】解：∵，
∴y＝x，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．掌握比例的性质是解题关键．
12．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．
【答案】
【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解析】解：设这条道路的实际长度为，则：
，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
13．若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．
【答案】6
【分析】由四条线段a，x，x，b成比例，根据成比例线段的定义解答即可．
【解析】解：设线段a，b的比例中项为c,c>0,
根据比例中项原则：c2＝ab，
∴c2＝4×9，
∴c＝6
故答案：6．
【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
14．已知点P是线段MN上的黄金分割点，且，则较长线段PM的长为______cm．
【答案】##
【分析】根据黄金分割比为，根据PM为较长线段则，
【解析】解：∵点P是线段MN上的黄金分割点，且，
∴长线段PM的长为.
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割比，牢记黄金分割比为是解题的关键．
15．如图，点是的重心，如果，，那么向量用向量和表示为______．
【答案】##
【分析】由是的重心，推出，，求出，可得结论．
【解析】解：∵G是的重心，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是掌握重心的性质，学会利用三角形法则解决问题．
16．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确；不正确，采用反证法，假设，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断④正确
【解析】解：在△AEF和△ABC中
∵，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C，
∴①正确；
不正确，理由是：假设，
∵△AEF≌△ABC
∴∠AFD=∠C，AF=AC，
∴△ACF≌△AFD，
∴∠DAF=∠FAC，
原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，
∴②错误；
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，
∴③正确；
∵△AEF≌△ABC，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠CAF，
∵△ADE∽△FBD，
∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，
∴④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF≌△ABC是解题关键．
17．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为 ___．
【答案】4 cm
【分析】设正方形的边长为x cm，然后根据相似三角形的性质列出比例式即可求出答案．
【解析】解：设正方形的边长为xcm，
∴AP＝AD﹣PD＝6﹣x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∴＝，
解得：x＝4，
故答案为：4cm
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，设正方形的边长，列出方程．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．
【答案】
【分析】根据题意作图如下，过作的垂线，交于，由勾股定理求得，根据翻折的性质，可得：，
若△BCE是等腰三角形，则，勾股定理求出，在证明，求出，根据，即可求出．
【解析】解：在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，根据题意作图如下，过作的垂线，交于，
在中，
，
根据翻折的性质，可得：，
当点D在边AC之间上动时，且BE交直线AC于点F，
故，
若△BCE是等腰三角形，
则，
根据等腰三角形的三线合一的性质知，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长．
三、解答题
19．已知线段a、b、c满足且．
(1)求线段a、b、c的长；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）设，则，，，再代入解方程求出的值，由此即可得；
（2）根据比例中项的定义可得一个关于的方程，解方程即可得．
（1）
解：设，则，，，
，
，
解得，
则，，．
（2）
解：线段是线段、的比例中项，且，，
，
解得或（舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
即线段的长为．
【点睛】本题考查了比例的性质、比例中项、解分式方程的应用，熟练掌握比例的性质是解题关键．
20．如图，在中，点、分别在、上，，若，，，求AD的长．
【答案】AD=4
【分析】设AD=x，则，根据平行线分线段成比例定理可得关于x的方程，解方程即可求出答案．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴，
设AD=x，则，
∴，
解得：x=4或﹣4（舍去），
即AD=4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和简单的一元二次方程的解法，熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
21．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E．
（1）求证：；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先证出∠DCE＝∠ACB，∠CDE＝∠ACD ，再利用CD是斜边AB中线，可得CD=AD，证得∠A=∠ACD，从而∠CDE＝∠CAD，进而可以证明；
（2）先利用勾股定理求得AB＝10，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得CD＝5，再利用相似三角形的对应边成比例得AB∶DE＝AC∶CD，即可求得答案．
【解析】解（1）由题意：
∵CE⊥CD，
∴，
又∵，
∴∠CDE＝∠ACD，
∵在中，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴∠CDE＝∠CAD，
∴．
（2）∵AC＝8，BC＝6，
∴利用勾股定理得：
∵在中，CD是AB边上的中线，
∴CD＝5，
∵
∴AB∶DE＝AC∶CD，即10∶DE＝8∶5，
∴DE＝．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线特征，找准对应边和对应角是解题的关键．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．
（1）若BD=20，求BG的长；
（2）求的值．
【答案】(1)8;(2)
【分析】（1）由GF∥BC，可证，结合，整理可求出的值；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∥CD，AB=CD，从而，整理可求出，根据比例的性质可求出的值.
【解析】(1) ∵GF∥BC，
∴，
∵BD=20，，
∴ ；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
23．如图，在中，于点，于点，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）得到，由可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可，则有，根据勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，于是可求出的长．
【解析】解：（1）证明：点于点，于点，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
,
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
24．已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线BD于点F．
(1)求的值；
(2)设，，请用向量、表示向量．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得，由，得，从而解决问题；
（2）求出与的关系，以及与的关系，通过即可求解．
(1)
解：，
，
，
，
，
设，则，，
，
(2)
解：，，，
，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平面向量的加减运算法则，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
25．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：
(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；
（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．
（1）
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF；
（2）
证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
26．已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF．
(1)求证：：
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先通过两组平行线等角对等边，证明；再通过两组对边平行证明四边形AFCD是平行四边形，最后通过平行四边形的性质挖掘条件，即可证明全等
（2）利用平行四边形对边平行，得到，再将题目条件转化为，利用边角边证明，最后利用相似对应角相等，即可得到结论
（1）
∵，∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴四边形AFCD是平行四边形
∴
∴
∴
（2）
∵
∴
在中，
∴
∴
∵，
在与中
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等，相似；注意第一小问平行四边形的判定和性质是重点，第二小问相似三角形的判定和性质是重点
27．如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若BO＝6OE，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】（1）只需要证明△BAE≌△ACD即可得到 答案 ；
（2）证明△CAD∽△OAE得到，然后求出OE和AD的长即可；
（3）过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，先求出∴，，，从而得到三角形ABC的边长为6，再证明△OGE∽△BAE，得到，，，，最后证明△PQC∽△OPG，，由此求解即可．
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE；
（2）由（1）得△BAE≌△ACD，
∴∠ABO=∠CAD，AD=BE
∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°，
又∵∠CAD=∠OAE，
∴△CAD∽△OAE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵CD=AE，
∴，
∴CD=2；
（3）如图所示，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，
∵∠FAG=60°，∠AEF=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OG∥AB，
∴△OGE∽△BAE，∠OGE=∠BAC=60°
∴，
∴，，
∴，
∵∠AOE=60°，
∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE，
∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°，
∴∠OPE=∠CQP，
∴△PQC∽△OPG，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
28．如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B'，联结AB′，CB′，BB'，PB'，BB'与AP交于点E，PB'与AC交于点D．
(1)如图1，若AP＝PC，BC＝6，cs∠ABC＝，求CB'的长；
(2)如图2，若AB＝AC，BP＝3PC，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由AP＝PC证明点P是BC的中点，然后借助cs∠ABC的值和BC＝6求得PB＝PA＝PC＝3，AB＝2，再借助折叠的性质求得PB'＝PB、∠APB'＝∠APB，进而利用勾股定理求得PE的长度，过点P作PH⊥B'C于点H，构造△CPH≌△PBE，最后利用等腰三角形的性质得到B'C的长度；
（2）先设AB＝AC＝4a，进而利用勾股定理和BP＝3CP得到BC、PC、PB的长，然后利用折叠得到∠PB'A＝∠PCD，PB＝PB'，然后得证△DCP∽△DB'A，再设CD＝n，PD＝m，再利用相似三角形的性质得到m与n的值，进而得到B'D和AD的长，最后得到结果．
(1)
解：（1）∵AP＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACP＝90°﹣∠PBA，∠PAC＝90°﹣∠PAB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB＝PC，
∴点P是BC的中点，
∵BC＝6，cs∠ABC＝ ，
∴PC＝PB＝PA＝3，AB＝BC×cs∠ABC＝6× ＝2，
由折叠得，PB'＝PB＝PC，AP⊥B'B，∠APB＝∠APB'，
设AE＝x，则PE＝PA﹣AE＝3﹣x，
在Rt△PBE中，BE2＝PB2﹣PE2，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2，
∴AB2﹣AE2＝PB2﹣PE2，即22﹣x2＝32﹣（3﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴PE＝ ，
过点P作PH⊥B'C于点H，则∠PHC＝∠BEP＝90°，
∵PB'＝PC，
∴点H是B'C的中点，∠CPH＝∠B'PH，
∵∠APB＝∠APB'，∠APB+∠APB'+∠CPH+∠B'PH＝180°，
∴∠CPH+∠APB＝90°，
∵∠APB+∠PBE＝90°，
∴∠CPH＝∠PBE，
又∵BP＝PC，∠PHC＝∠BEP，
∴△CPH≌△PBE（AAS），
∴CH＝PE＝ ，
∴B'H＝ ，
∴B'C＝CH+B'H＝ ＝ ．
(2)
设AB＝AC＝4a，则BC＝，
∵BP＝3CP，
∴CP＝ ，BP＝，
由折叠得，∠AB'P＝∠ABP＝45°，PB'＝PB＝，AB'＝AB＝4a，
∴∠AB'D＝∠PCD，
∵∠B'DA＝∠CDP，
∴△B'DA∽△CDP，
∴ ，
设CD＝n，PD＝m，则AD＝4a﹣n，B'D＝，
∴ ，
解得：m＝，n＝ ，
∴B'D＝，AD＝，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质得到相关的线段和角相等．
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．4cm，6cm，3cm．5cm
C．5cm，15cm，2cm．6cmD．3cm，4cm，2cm，5cm
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．边长相等的两个菱形都相似D．对角线相等的两个矩形都相似
3．如图， 中， 是 边上一点， 添加下列条件， 不能判定 的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．是非零向量，是单位向量，那么
D．
5．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．如图，在中，DE∥BC，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．若BC＝6，则EG的长为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBPB．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFPD．△PCF∽△BCP
9．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知，则＝_________
12．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．
13．若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．
14．已知点P是线段MN上的黄金分割点，且，则较长线段PM的长为______cm．
15．如图，点是的重心，如果，，那么向量用向量和表示为______．
16．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
17．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为 ___．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．
三、解答题
19．已知线段a、b、c满足且．
(1)求线段a、b、c的长；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长．
20．如图，在中，点、分别在、上，，若，，，求AD的长．
21．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E．
（1）求证：；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．
（1）若BD=20，求BG的长；
（2）求的值．
23．如图，在中，于点，于点，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
24．已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线BD于点F．
(1)求的值；
(2)设，，请用向量、表示向量．
25．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：
(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
26．已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF．
(1)求证：：
(2)如果，求证：．
27．如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若BO＝6OE，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．
28．如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B'，联结AB′，CB′，BB'，PB'，BB'与AP交于点E，PB'与AC交于点D．
(1)如图1，若AP＝PC，BC＝6，cs∠ABC＝，求CB'的长；
(2)如图2，若AB＝AC，BP＝3PC，求的值．
专题01 相似三角形（重点）
一、单选题
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．4cm，6cm，3cm．5cm
C．5cm，15cm，2cm．6cmD．3cm，4cm，2cm，5cm
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】解：A、1×4≠2×3，故选项错误，该选项不符合题意；
B、3×6≠5×4，故选项错误，该选项不符合题意；
C、2×15=5×6，故选项正确，该选项符合题意；
D、2×5≠3×4，故选项错误，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．边长相等的两个菱形都相似D．对角线相等的两个矩形都相似
【答案】A
【分析】两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形，根据相似多边形的定义逐项判断即可．
【解析】解：A.所有的正方形都相似，故选项正确，符合题意；
B.菱形的边成比例，但角不一定相等，故选项错误，不符合题意；
C.边长相等的两个菱形都不一定相似，故选项错误，不符合题意；
D.对角线相等的两个矩形边不一定成比例，所以不一定相似，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查命题、相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的概念．
3．如图， 中， 是 边上一点， 添加下列条件， 不能判定 的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形相似的判定定理逐一分析判断即可．
【解析】解：A、∵，
∴
所以选项A不符合题意；
B、∵，
∴
所以选项B不符合题意；
C、∵，
∴
所以选项C不符合题意；
D、，对应边成比例，但是不确定是否与相等，所以不能判定，所以选项D符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，牢记定理的内容是解题的重点．
4．下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．是非零向量，是单位向量，那么
D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的定义（在平面中既有大小又有方向的量称为向量）与运算法则依次进行判断即可得出选项．
【解析】解：A、，本选项正确,不符合题意；
B、如果，则，选项正确,不符合题意；
C、等号左边为向量，右边为向量模长，选项错误,符合题意；
D、，本选项正确,不符合题意．
故选：C．
【点睛】题目主要考查平面向量的定义与运算，理解平面向量的运算法则是解题关键．
5．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，
∴选项A、C、D不正确，选项B正确；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
6．如图，在中，DE∥BC，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
7．如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．若BC＝6，则EG的长为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
【答案】A
【分析】根据AD是中线，得到，由G为△ABC的重心，可以得到，有EF∥BC，可以证明△AEG∽△ABD，得到，由此求解即可.
【解析】解：∵AD是中线，
∴，
∵G为△ABC的重心，
∴，
∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，
∴，
∴，
故选A.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，重心的性质，三角形的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBPB．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFPD．△PCF∽△BCP
【答案】A
【分析】根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可证明△APG∽△BFP，由此即可求解．
【解析】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C
∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP
故B、D选项不符合题意，
∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，
对于A选项不能得到两个三角形相似，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【解析】解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：∵EF是点B、D的对称轴，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，
∵=，
∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形，
∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，
∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，
∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，
∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，
∴△BDC∽△DEF，
∴，
∴DF=，
∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，
∴=．
故选B．
二、填空题
11．已知，则＝_________
【答案】####
【分析】依据比例的性质，即可得到y＝x，再代入分式计算化简即可．
【解析】解：∵，
∴y＝x，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．掌握比例的性质是解题关键．
12．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．
【答案】
【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解析】解：设这条道路的实际长度为，则：
，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
13．若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．
【答案】6
【分析】由四条线段a，x，x，b成比例，根据成比例线段的定义解答即可．
【解析】解：设线段a，b的比例中项为c,c>0,
根据比例中项原则：c2＝ab，
∴c2＝4×9，
∴c＝6
故答案：6．
【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
14．已知点P是线段MN上的黄金分割点，且，则较长线段PM的长为______cm．
【答案】##
【分析】根据黄金分割比为，根据PM为较长线段则，
【解析】解：∵点P是线段MN上的黄金分割点，且，
∴长线段PM的长为.
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割比，牢记黄金分割比为是解题的关键．
15．如图，点是的重心，如果，，那么向量用向量和表示为______．
【答案】##
【分析】由是的重心，推出，，求出，可得结论．
【解析】解：∵G是的重心，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是掌握重心的性质，学会利用三角形法则解决问题．
16．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确；不正确，采用反证法，假设，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断④正确
【解析】解：在△AEF和△ABC中
∵，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C，
∴①正确；
不正确，理由是：假设，
∵△AEF≌△ABC
∴∠AFD=∠C，AF=AC，
∴△ACF≌△AFD，
∴∠DAF=∠FAC，
原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，
∴②错误；
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，
∴③正确；
∵△AEF≌△ABC，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠CAF，
∵△ADE∽△FBD，
∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，
∴④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF≌△ABC是解题关键．
17．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为 ___．
【答案】4 cm
【分析】设正方形的边长为x cm，然后根据相似三角形的性质列出比例式即可求出答案．
【解析】解：设正方形的边长为xcm，
∴AP＝AD﹣PD＝6﹣x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∴＝，
解得：x＝4，
故答案为：4cm
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，设正方形的边长，列出方程．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．
【答案】
【分析】根据题意作图如下，过作的垂线，交于，由勾股定理求得，根据翻折的性质，可得：，
若△BCE是等腰三角形，则，勾股定理求出，在证明，求出，根据，即可求出．
【解析】解：在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，根据题意作图如下，过作的垂线，交于，
在中，
，
根据翻折的性质，可得：，
当点D在边AC之间上动时，且BE交直线AC于点F，
故，
若△BCE是等腰三角形，
则，
根据等腰三角形的三线合一的性质知，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长．
三、解答题
19．已知线段a、b、c满足且．
(1)求线段a、b、c的长；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）设，则，，，再代入解方程求出的值，由此即可得；
（2）根据比例中项的定义可得一个关于的方程，解方程即可得．
（1）
解：设，则，，，
，
，
解得，
则，，．
（2）
解：线段是线段、的比例中项，且，，
，
解得或（舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
即线段的长为．
【点睛】本题考查了比例的性质、比例中项、解分式方程的应用，熟练掌握比例的性质是解题关键．
20．如图，在中，点、分别在、上，，若，，，求AD的长．
【答案】AD=4
【分析】设AD=x，则，根据平行线分线段成比例定理可得关于x的方程，解方程即可求出答案．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴，
设AD=x，则，
∴，
解得：x=4或﹣4（舍去），
即AD=4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和简单的一元二次方程的解法，熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
21．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E．
（1）求证：；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先证出∠DCE＝∠ACB，∠CDE＝∠ACD ，再利用CD是斜边AB中线，可得CD=AD，证得∠A=∠ACD，从而∠CDE＝∠CAD，进而可以证明；
（2）先利用勾股定理求得AB＝10，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得CD＝5，再利用相似三角形的对应边成比例得AB∶DE＝AC∶CD，即可求得答案．
【解析】解（1）由题意：
∵CE⊥CD，
∴，
又∵，
∴∠CDE＝∠ACD，
∵在中，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴∠CDE＝∠CAD，
∴．
（2）∵AC＝8，BC＝6，
∴利用勾股定理得：
∵在中，CD是AB边上的中线，
∴CD＝5，
∵
∴AB∶DE＝AC∶CD，即10∶DE＝8∶5，
∴DE＝．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线特征，找准对应边和对应角是解题的关键．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．
（1）若BD=20，求BG的长；
（2）求的值．
【答案】(1)8;(2)
【分析】（1）由GF∥BC，可证，结合，整理可求出的值；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∥CD，AB=CD，从而，整理可求出，根据比例的性质可求出的值.
【解析】(1) ∵GF∥BC，
∴，
∵BD=20，，
∴ ；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
23．如图，在中，于点，于点，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）得到，由可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可，则有，根据勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，于是可求出的长．
【解析】解：（1）证明：点于点，于点，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
,
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
24．已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线BD于点F．
(1)求的值；
(2)设，，请用向量、表示向量．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得，由，得，从而解决问题；
（2）求出与的关系，以及与的关系，通过即可求解．
(1)
解：，
，
，
，
，
设，则，，
，
(2)
解：，，，
，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平面向量的加减运算法则，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
25．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：
(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；
（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．
（1）
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF；
（2）
证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
26．已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF．
(1)求证：：
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先通过两组平行线等角对等边，证明；再通过两组对边平行证明四边形AFCD是平行四边形，最后通过平行四边形的性质挖掘条件，即可证明全等
（2）利用平行四边形对边平行，得到，再将题目条件转化为，利用边角边证明，最后利用相似对应角相等，即可得到结论
（1）
∵，∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴四边形AFCD是平行四边形
∴
∴
∴
（2）
∵
∴
在中，
∴
∴
∵，
在与中
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等，相似；注意第一小问平行四边形的判定和性质是重点，第二小问相似三角形的判定和性质是重点
27．如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若BO＝6OE，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】（1）只需要证明△BAE≌△ACD即可得到 答案 ；
（2）证明△CAD∽△OAE得到，然后求出OE和AD的长即可；
（3）过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，先求出∴，，，从而得到三角形ABC的边长为6，再证明△OGE∽△BAE，得到，，，，最后证明△PQC∽△OPG，，由此求解即可．
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE；
（2）由（1）得△BAE≌△ACD，
∴∠ABO=∠CAD，AD=BE
∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°，
又∵∠CAD=∠OAE，
∴△CAD∽△OAE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵CD=AE，
∴，
∴CD=2；
（3）如图所示，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，
∵∠FAG=60°，∠AEF=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OG∥AB，
∴△OGE∽△BAE，∠OGE=∠BAC=60°
∴，
∴，，
∴，
∵∠AOE=60°，
∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE，
∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°，
∴∠OPE=∠CQP，
∴△PQC∽△OPG，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
28．如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B'，联结AB′，CB′，BB'，PB'，BB'与AP交于点E，PB'与AC交于点D．
(1)如图1，若AP＝PC，BC＝6，cs∠ABC＝，求CB'的长；
(2)如图2，若AB＝AC，BP＝3PC，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由AP＝PC证明点P是BC的中点，然后借助cs∠ABC的值和BC＝6求得PB＝PA＝PC＝3，AB＝2，再借助折叠的性质求得PB'＝PB、∠APB'＝∠APB，进而利用勾股定理求得PE的长度，过点P作PH⊥B'C于点H，构造△CPH≌△PBE，最后利用等腰三角形的性质得到B'C的长度；
（2）先设AB＝AC＝4a，进而利用勾股定理和BP＝3CP得到BC、PC、PB的长，然后利用折叠得到∠PB'A＝∠PCD，PB＝PB'，然后得证△DCP∽△DB'A，再设CD＝n，PD＝m，再利用相似三角形的性质得到m与n的值，进而得到B'D和AD的长，最后得到结果．
(1)
解：（1）∵AP＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACP＝90°﹣∠PBA，∠PAC＝90°﹣∠PAB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB＝PC，
∴点P是BC的中点，
∵BC＝6，cs∠ABC＝ ，
∴PC＝PB＝PA＝3，AB＝BC×cs∠ABC＝6× ＝2，
由折叠得，PB'＝PB＝PC，AP⊥B'B，∠APB＝∠APB'，
设AE＝x，则PE＝PA﹣AE＝3﹣x，
在Rt△PBE中，BE2＝PB2﹣PE2，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2，
∴AB2﹣AE2＝PB2﹣PE2，即22﹣x2＝32﹣（3﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴PE＝ ，
过点P作PH⊥B'C于点H，则∠PHC＝∠BEP＝90°，
∵PB'＝PC，
∴点H是B'C的中点，∠CPH＝∠B'PH，
∵∠APB＝∠APB'，∠APB+∠APB'+∠CPH+∠B'PH＝180°，
∴∠CPH+∠APB＝90°，
∵∠APB+∠PBE＝90°，
∴∠CPH＝∠PBE，
又∵BP＝PC，∠PHC＝∠BEP，
∴△CPH≌△PBE（AAS），
∴CH＝PE＝ ，
∴B'H＝ ，
∴B'C＝CH+B'H＝ ＝ ．
(2)
设AB＝AC＝4a，则BC＝，
∵BP＝3CP，
∴CP＝ ，BP＝，
由折叠得，∠AB'P＝∠ABP＝45°，PB'＝PB＝，AB'＝AB＝4a，
∴∠AB'D＝∠PCD，
∵∠B'DA＝∠CDP，
∴△B'DA∽△CDP，
∴ ，
设CD＝n，PD＝m，则AD＝4a﹣n，B'D＝，
∴ ，
解得：m＝，n＝ ，
∴B'D＝，AD＝，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质得到相关的线段和角相等．
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