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山东省滨州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
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这是一份山东省滨州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共10页。试卷主要包含了713．14．12，5．等内容，欢迎下载使用。
2024.7
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分．共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知平面和直线m，n，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
2．如图所示，是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图．其中，，则四边形OABC的面积是（ ）
A．B．20C．D．10
3．已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．数据3，1，2，4，2的上四分位数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只．设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则是（ ）
A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
7．为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．甲店月营业额的平均值在内
B．乙店月营业额总体呈上升趋势
C．7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少
D．乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差
8．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．设z为复数（i为虚数单位），下列结论正确的是（ ）
A．对任意复数，，有
B．对任意复数，，若，则
C．设，若，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D．设，在复平面内z对应的点为Z，满足条件的点Z的集合所构成区域的面积为
10．在棱长为2的正方体中，M，N，Q分别是，，的中点，P为四边形（含边界）内一动点，且．则下列结论正确的是（ ）
A．直线AM与直线是异面直线B．三棱锥的体积为
C．点P的轨迹长度为D．直线平面
11．已知中，，，M是AC的中点，动点P在以AC为直径的半圆弧上．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．最大值为
C．在上的投影向量为
D．若，且B，M，P三点共线时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若事件A与B互斥，且，，则__________．
13．已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为__________．
14．如图，MN是底部N不可到达的一座塔，M为塔的最高点，某同学为测量塔的高度，在塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为，在点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A、塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得塔顶部M的仰角为，则塔MN的高度约为__________m．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，…，，整理得到频率分布直方图如图所示．
（1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差．
16．（15分）
如图，在三棱锥中，，底面ABC．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若，M是PB的中点，求直线AM与平面PBC所成角的正切值．
17．（15分）
5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5．25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．为此学校将举行心理健康知识竞赛，甲、乙两同学组成“爱我队”参赛，比赛共有两轮，每轮比赛由甲、乙各回答一个问题，已知第一轮甲答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，第二轮甲、乙都答对的概率为，并且甲连续两轮都答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）分别求第二轮甲、乙两同学答对的概率；
（2）求“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率．
18．（17分）
已知锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且．
（1）求A；
（2）若的面积，且，求的周长；
（3）求的最小值．
19．（17分）
唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆．
（1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积．
（2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率．
（3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值．
高一数学试题参考答案
2024.7
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．D2．B3．C4．C5．B6．A7．D8．C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．AC10．BC11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．0.713．14．12
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
解：（1）在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，
由于，．因此中位数落在之间．
设中位数为x则有，解得，
所以样本中学生分数的中位数约为72.5．
（2）由频率分布直方图知，
分数在的频率为，
样本中分数在的人数为（人），
样本中分数在的人数为95人，
所以估计总体中分数在的人数为（人），
总体中分数小于40的人数为人；
（3）总样本的均值为，
所以总样本的方差为．
16．（15分）
（1）证明：因为底面ABC，所以．
因为，所以．
因为，所以平面PAC，
因为平面PBC，所以平面平面PBC．
（2）解：取PC的中点D，连接AD，DM，AM，
因为，所以，
由（1）知平面平面PBC，平面平面，
所以平面PBC，所以，
则就是AM与平面PBC所成角．
设，则，，
所以在直角三角形ADM中，，
所以直线AM与平面PBC所成角的正切值是．
17．（15分）
解：设、分别表示甲第一轮、第二轮答对的事件，、分别表示乙第一轮、第二轮答对的事件．
则，
（1）根据独立性假定，得，所以．
又，得，
所以第二轮甲、乙两同学答对的概率分别为和．
（2）设“甲同学两轮答对1题”，“甲同学两轮答对2题”，
“乙同学两轮答对1题”，“乙同学两轮答对2题”．
由于在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
又，所以．
所以，，且与，与互斥，
与，与分别相互独立．
，
，
，
，
设““爱我队”在两轮比赛中答对3题”，则，
且与互斥，与，与分别相互独立，
所以
，
所以“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率为．
18．（17分）
解：（1）因为，所以．
由正弦定理，得，
代入①得：，
整理得：．因为，所以．
因为，所以．
（2）由三角形面积公式，得．
由余弦定理，得，
因为，所以，
两边平方得，
所以，解得，所以．
又，解得．
所以的周长为．
（3）因为，所以，
由正弦定理和余弦定理得．
又因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
19．（17分）
解：（1）设被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意，
当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，
此时设四棱锥的高为h，则．
所以，
正八面体每个面的面积是．
由得：．解得．所以．
在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，
该试验的样本空间
共20个样本点，所以．
每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型．
设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片
，
所以，从而．
设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片，
任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形，
所以，从而．
记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件M，
，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，
得．
因此甲乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为．
（3）证明：过点P做交AB（或其延长线）于点M，
过点P做交AD（或其延长线）于点N．
则，，为二面角的平面角．
在中，；①
在中，．②
由①②得，
从而，
所以，即．
所以为定值．
2024.7
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分．共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知平面和直线m，n，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
2．如图所示，是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图．其中，，则四边形OABC的面积是（ ）
A．B．20C．D．10
3．已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．数据3，1，2，4，2的上四分位数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只．设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则是（ ）
A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
7．为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．甲店月营业额的平均值在内
B．乙店月营业额总体呈上升趋势
C．7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少
D．乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差
8．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．设z为复数（i为虚数单位），下列结论正确的是（ ）
A．对任意复数，，有
B．对任意复数，，若，则
C．设，若，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D．设，在复平面内z对应的点为Z，满足条件的点Z的集合所构成区域的面积为
10．在棱长为2的正方体中，M，N，Q分别是，，的中点，P为四边形（含边界）内一动点，且．则下列结论正确的是（ ）
A．直线AM与直线是异面直线B．三棱锥的体积为
C．点P的轨迹长度为D．直线平面
11．已知中，，，M是AC的中点，动点P在以AC为直径的半圆弧上．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．最大值为
C．在上的投影向量为
D．若，且B，M，P三点共线时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若事件A与B互斥，且，，则__________．
13．已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为__________．
14．如图，MN是底部N不可到达的一座塔，M为塔的最高点，某同学为测量塔的高度，在塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为，在点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A、塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得塔顶部M的仰角为，则塔MN的高度约为__________m．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，…，，整理得到频率分布直方图如图所示．
（1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差．
16．（15分）
如图，在三棱锥中，，底面ABC．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若，M是PB的中点，求直线AM与平面PBC所成角的正切值．
17．（15分）
5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5．25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．为此学校将举行心理健康知识竞赛，甲、乙两同学组成“爱我队”参赛，比赛共有两轮，每轮比赛由甲、乙各回答一个问题，已知第一轮甲答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，第二轮甲、乙都答对的概率为，并且甲连续两轮都答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）分别求第二轮甲、乙两同学答对的概率；
（2）求“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率．
18．（17分）
已知锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且．
（1）求A；
（2）若的面积，且，求的周长；
（3）求的最小值．
19．（17分）
唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆．
（1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积．
（2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率．
（3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值．
高一数学试题参考答案
2024.7
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．D2．B3．C4．C5．B6．A7．D8．C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．AC10．BC11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．0.713．14．12
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
解：（1）在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，
由于，．因此中位数落在之间．
设中位数为x则有，解得，
所以样本中学生分数的中位数约为72.5．
（2）由频率分布直方图知，
分数在的频率为，
样本中分数在的人数为（人），
样本中分数在的人数为95人，
所以估计总体中分数在的人数为（人），
总体中分数小于40的人数为人；
（3）总样本的均值为，
所以总样本的方差为．
16．（15分）
（1）证明：因为底面ABC，所以．
因为，所以．
因为，所以平面PAC，
因为平面PBC，所以平面平面PBC．
（2）解：取PC的中点D，连接AD，DM，AM，
因为，所以，
由（1）知平面平面PBC，平面平面，
所以平面PBC，所以，
则就是AM与平面PBC所成角．
设，则，，
所以在直角三角形ADM中，，
所以直线AM与平面PBC所成角的正切值是．
17．（15分）
解：设、分别表示甲第一轮、第二轮答对的事件，、分别表示乙第一轮、第二轮答对的事件．
则，
（1）根据独立性假定，得，所以．
又，得，
所以第二轮甲、乙两同学答对的概率分别为和．
（2）设“甲同学两轮答对1题”，“甲同学两轮答对2题”，
“乙同学两轮答对1题”，“乙同学两轮答对2题”．
由于在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
又，所以．
所以，，且与，与互斥，
与，与分别相互独立．
，
，
，
，
设““爱我队”在两轮比赛中答对3题”，则，
且与互斥，与，与分别相互独立，
所以
，
所以“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率为．
18．（17分）
解：（1）因为，所以．
由正弦定理，得，
代入①得：，
整理得：．因为，所以．
因为，所以．
（2）由三角形面积公式，得．
由余弦定理，得，
因为，所以，
两边平方得，
所以，解得，所以．
又，解得．
所以的周长为．
（3）因为，所以，
由正弦定理和余弦定理得．
又因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
19．（17分）
解：（1）设被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意，
当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，
此时设四棱锥的高为h，则．
所以，
正八面体每个面的面积是．
由得：．解得．所以．
在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，
该试验的样本空间
共20个样本点，所以．
每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型．
设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片
，
所以，从而．
设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片，
任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形，
所以，从而．
记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件M，
，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，
得．
因此甲乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为．
（3）证明：过点P做交AB（或其延长线）于点M，
过点P做交AD（或其延长线）于点N．
则，，为二面角的平面角．
在中，；①
在中，．②
由①②得，
从而，
所以，即．
所以为定值．
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