福建省厦门市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

这是一份福建省厦门市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，函数的图象大致是，已知直线与圆等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号，姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列中，，，则（ ）
A.B.C.1D.4
2.用1，2，3，4，5可以排成数字不重复的三位数的个数为（ ）
A.B.C.D.
3.若，，则（ ）
A.B.C.D.
4.函数的图象大致是（ ）
A.B.C.D.
5.等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A.2B.C.4D.
6.在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
7.展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数是（ ）
A.B.C.60D.240
8.在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线与圆：有公共点，则可以是（ ）
A.1B.2C.3D.4
10.对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，，2，3，…，10，且，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近.利用最小二乘法求得经验回归方程：，分析发现样本数据对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则（ ）
A.变量与变量具有正相关关系
B.剔除后，变量与变量的样本相关系数变小
C.新的经验回归直线经过点
D.若新的经验回归直线经过点，则其方程为
11.已知函数，，则（ ）
A.在上单调递增
B.当时，有且只有一个极值点
C.若有两个极值点，则
D.若有两个极值点，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为______.
13.把5张座位编号为1，2，3，4，5的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有______种.（用数字作答）
14.某一地区某种疾病的患病率为，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.1.该地区现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中恰有1人患该疾病的概率是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
设为正项等比数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，，求的前项和.
16.（15分）
为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某班级兴趣小组调查了全班50位同学，得到如下数据：
（1）完成上述列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢篮球运动与性别有关联？
（2）该班级要从甲、乙两人中选派1人参加篮球挑战赛.比赛设置5个挑战项目，参赛人员随机抽取3个项目进行挑战.已知甲只能挑战成功其中3个项目，乙每个项目挑战成功的概率均为，甲、乙两人挑战每个项目成功与否均互不影响.请根据挑战成功次数的期望和方差，分析派谁去参加挑战赛更合适.
附：，其中.
17.（15分）
已知函数在处的切线方程为.
（1）求b，k；
（2）若的极大值为0，求的取值范围.
18.（17分）
已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过原点的直线交于A，B两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点P，Q.设直线，的斜率分别为，.
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）求四边形面积的最大值.
19.（17分）
设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.
在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义
为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值.
（1）若随机变量的分布列为
其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值.
（2）某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值.
（3）随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为.
性别
篮球运动
合计
喜欢
不喜欢
男生
25
女生
10
合计
20
50
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
1
2
3
厦门市2023—2024学年第二学期高二年级质量检测
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.A 8.D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.CD 10.AD 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.6 13.96 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：因为是正项等比数列，所以，公比.
因为，所以，即，
则，得（舍）或
又因为，所以，所以的通项公式为.
（2）依题意得，
当时，，即.
因为，所以，
当时，符合上式，所以的通项公式为.
因为，
所以.
16.解：（1）列联表如下：
零假设为：喜欢篮球运动与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到：
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，
即认为篮球运动与性别无关联.
（2）设甲挑战成功项，可能取值为1，2，3
；；.
所以的分布列为：
，
.
设乙挑战成功项，则，
所以，，所以，，
即甲和乙的水平相当，但甲发挥更稳定，所以派甲去参加挑战赛更合适.
17.解：（1），切点为，
所以，所以，.
（2）由（1）得，定义域为，
.
①当时，，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；所以有极小值，无极大值，不符合題意；
②当时，，令，得或.
ⅰ）若，则，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以有极小值，极大值为，不符合题意；
ⅱ）若，则，所以在上单调递减，
所以无极值，不符合题意；
ⅲ）若，则，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以有极小值，极大值为，满足题意.
综上所述，.
18.解：解法一：（1）设，由题意得：，即.
化简得：.所以的方程为.
（2）设，，则.
（ⅰ）因为T，A在椭圆上，所以，，
即，，
所以
所以为定值.
（ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0.
因为，所以，因为，所以.
由（ⅰ）得，所以，所以：.
令，得，所以，令，得，所以，
所以四边形的面积为.
因为，所以，
当且仅当，时，等号成立.
所以，所以四边形的面积的最大值为.
解法二：（1）同解法一
（2）（ⅰ）同解法一
（ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0，设：
联立，得，所以.
因为，所以.
由（ⅰ）得，所以，所以：，即.
令，得，所以，
令，得，所以，所以四边形的面积为
，当且仅当，即时，等号成立.
所以四边形的面积的最大值为.
19.解：（1）依题意得：，
所以.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以时，取得最大值，所以的极大似然估计值为.
（2）依题意得：，所以.
令，得，令，得，
又，所以…
所以或200时，取得最大值，所以的极大似然估计值为或200.
（3）依题意得：
所以
令，，
则，令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取到最大值.
即时，取得最大值，即取得最大值.
所以参数的极大似然估计值为.性别
篮球运动
合计
喜欢
不喜欢
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
1
2
3