2024年高三培优讲义17---立体几何中的平行，垂直通关训练

这是一份2024年高三培优讲义17---立体几何中的平行，垂直通关训练，共49页。试卷主要包含了平行,，由平行关系确定点的位置等内容，欢迎下载使用。

题型梳理
目录
题型一 平行, 垂直的相关证明 . 2
题型二 由平行关系确定点的位置 . 5
题型三 由平行关系确定动点的轨迹再求最值. . 8
题型四 由垂直关系确定动点的轨迹或位置. . 10
题型五 由垂直关系确定动点的轨迹再求最值. . 11
重点题型 ⋅ 归类精讲
题型一 平行，垂直的相关证明
【例题】线面平行证明方法讲解 (中位线法, 平行四边形法, 构造平行平面法)
母题: 如图, P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点, AB//CD,CD=2AB,E 是 PC 的中点.
方法一: 作相交平面找线
（1）证明 BE// 平面 PAD ;
（2）若 F 是 DC 的中点,证明 PA// 平面 BEF
（3）方法三：BE//平面 PAD（反向平移法：构造面面平行）
四边形法证平行
1. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E,F 分别是 AA1,CD 的中点,求证: EF// 平面 A1CD1 .
中位线法证平行
2. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD,AD//BC,∠BAD=2π3,AD=2AB=2BC=2PA=4 , M 为 PB 上靠近 B 的三等分点,求证: PD// 平面 ACM .
做平行平面法证平行
3. 如图所示的四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是一个等腰梯形, AD//BC ,且 AD=2AB=2BC=4,PO 是 △PAD 的中线,点 E 是棱 PD 的中点,证明: CE// 平面 PAB .
构造 2 个平面的交线: 线线平行 线面平行
4. 如图,三棱柱 ABC−A1B1C1 中, E,P 分别是 B1C1 和 CC1 的中点,点 F 在棱 A1B1 上,且 B1F=2A1F , 证明: A1P// 平面 EFC .
5. 如图,四棱锥 P−ABCD 的底面为正方形,且 PD⊥ 面 ABCD . 设平面 PAD 与平面 PBC 的交
线为 l . 证明: l//CB
线面垂直
6. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PA=PD,AB//CD,CD⊥AD,CD=2AB ,点 E 为 PC 的中点,且 BE⊥ 平面 PCD . 求证: CD⊥ 平面 PAD ;
异面直线垂直
7. 已知直三棱柱 ABC−A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 为正方形, AB=BC=2,E,F 分别为 AC 和 CC1 的中点, D 为棱 A1B1 上的点, BF⊥A1B1 . 证明: BF⊥DE ;
8. (杭州二模) 在三棱锥 S−ABC 中,底面 △ABC 为等腰直角三角形, ∠SAB=∠SCB=∠ABC=90∘ . 求证: AC⊥SB
面面垂直
9. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA⊥ 底面 ABCD,PA=AB=2,E 为线段 PB 的中点, F 为线段 BC 上的动点,证明: 平面 AEF⊥ 平面 PBC
题型吕 由平行关系确定点的位置
10. 四棱锥 P−ABCD 中,底面是平行四边形, E,F 分别为线段 PD,PC 上的点, PEED=32 ,若 BF// 平面
AEC ,则 PFFC= ___.
11. 如图 1 所示,在矩形 ABCD 中, AB=4,BC=62 ,点 E 为线段 AB 上一点, AE=1 ,现将 △BCE 沿 CE 折起,将点 B 折到点 B′ 位置,使得点 B′ 在平面 AECD 上的射影在线段 AD 上,得到如图 2 所示的四棱锥 B′−AECD ,在图 2 中,线段 B′C 上是否存在点 F ,使得 EF// 平面 B′AD ? 若存在,求 B′FB′C 的值, 若不存在, 请说明理由.
图1
12. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,已知底面 ABCD 是菱形,且对角线 AC 与 BD 相交于点 O ,点 E 为 BC 的中点,在棱 PC 上是否存在点 F ,使得 PB// 平面 AEF ? 请说明理由.
13. 如图所示,在四棱锥 P−ABCD 中, BC// 平面 PAD,BC=12AD,E 是 PD 的中点.
(I) 求证: BC//AD ;
(II) 求证: CE// 平面 PAB ;
(III) 若 M 是线段 CE 上一动点,则线段 AD 上是否存在点 N ,使 MN// 平面 PAB ? 说明理由.
14. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 P 为线段 D1B 上的动点, M,N 分别为棱 BC,AB 的中点, 若 DP// 平面 B1MN ,则 D1PD1B= ___.
题型三 由平行关系确定动点的轨迹再求最值
山东省枣庄市 2023 届高三二模
15. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, M 是 A1B1 的中点,点 P 是侧面 CDD1C1 上的动点, 且. MP// 平面 AB1C ,则线段 MP 长度的取值范围为 ( )
A. 62,2 B. 1,62
C. 62,32 D. 2,32
16. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点,点 P 在正方形 ABB1A1 内,若 AB=2 , A1P// 平面 AEF ,则 DP 的最小值是 ( )
A. 2
B. 655
C. 2
D. 3
17. 如图所示,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 M 是平面 A1B1C1D1 内一点,且 BM// 平面 ACD1 ,则 tan∠DMD1 的最大值为 ( )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
18. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 E、F 分别是棱 BC,CC1 的中点, P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P// 平面 AEF ,则线段 A1P 长度的取值范围是 ( )
A. 2,52 B. 324,52 C. 322,5 D. 52,22
19. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M,N 分别是棱 BC,CC1 的中点,则点 A1 到平面 AMN 的距离是___; 若动点 P 在正方形 BCC1B1 （包括边界）内运动，且 PA1// 平面 AMN ,则线段 PA1 的长度范围是___.
20. 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, M,N 分别为 BD1,B1C1 的中点,点 P 在正方体的表面上运动,
且满足 MP// 平面 CND1 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 点 P 可以是棱 BB1 的中点 B. 线段 MP 的最大值为 32
C. 点 P 的轨迹是正方形 D. 点 P 轨迹的长度为 2+5
题型@ 由垂直关系确定动点的轨迹或位置
21. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD , M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC ,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 ( )
A.
B.
C.
D.
22. 棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中 P 为正方体表面上的一个动点,且总有 PC⊥BD1 ,则动点 P 的轨迹的长度为 ( )
A. 34π B. 4π C. 32 D. 42
23. 正四棱锥 S−ABCD 底面边长为 2,高为 1,E 是边 BC 的中点,动点 P 在四棱锥表面上运动,并且总保持 PE⊥AC ,则动点 P 的轨迹的周长为 ( )
A. 1+2 B. 2+3 C. 22 D. 23
24. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总是保持 AP 与 BD1 垂直,则动点 P 的轨迹为___.
25. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E 是 CD 的中点.
（1）求证: A1C// 平面 AD1E ;
（2）求点 D 到平面 AD1E 的距离;
（3）在对角线 A1C 上是否存在点 P ,使得 DP⊥ 平面 AD1E ? 若存在,求出 CP 的长; 若不存在,请说明理由.
题型五 由垂直关系确定动点的轨迹再求最值
26. 如图,在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 AA1⊥ 底面 ABCD,AB=3,AA1=4 ,
P 是侧面 BCC1B1 内的动点,且 AP⊥BD1 ,记 AP 与平面 BCC1B1 所成的角为 θ ,则 tanθ 的最大值为 ___.
27. 已知点 E 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 的侧面 AA1B1B 内 (含边界), F 是 AA1 的中点,若 D1E⊥CF ,则 tan∠BCE 的最小值为 ( )
A. 55 B. 2−1 C. 3−1 D. 35
28. 已知点 E 在正方体 ABCD−A1B1C1D 的侧面 AA1B1B 内 (含边界), F 是 AA1 的中点, DE⊥CF ,则 tan∠BCE 的最大值为 ___；最小值为 ___.
29. 如图,直三棱柱 ABC−A1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90∘ ,点 D 是 A1B1 的中点, F 是侧面 CC1B1B (含边界) 上的动点,要使 AB1⊥ 平面 C1DF ,则线段 C1F 的长的最大值为 ( )
A. 52 B. 2 C. 133 D. 5
30. 如图,正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,点 O 为底面 ABCD 的中心,点 P 在侧面 BB1C1C 的边界及其内部运动. 若 D1O⊥OP ,则 △D1C1P 面积的最大值为 ( )
A. 255 B. 455 C. 5 D. 25
专题 3-3 立体几何中的平行, 垂直通关训练
思维导图
题型梳理
目录
题型一 平行, 垂直的相关证明 . 2
题型二 由平行关系确定点的位置 . 12
题型三 由平行关系确定动点的轨迹再求最值 . 17
题型四 由垂直关系确定动点的轨迹或位置 2.24
题型五 由垂直关系确定动点的轨迹再求最值 . 28
重点题型 ⋅ 归类精讲
题型一 平行，垂直的相关证明
【例题】线面平行证明方法讲解 (中位线法, 平行四边形法, 构造平行平面法)
母题: 如图, P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点, AB//CD,CD=2AB,E 是 PC 的中点.
方法一: 作相交平面找线
（1）证明 BE// 平面 PAD
解析: 模型铺垫: AB// 平面 β∣AB//DE
【简析】若 BE//平面 PAD, 则必有 BE//PG, 所以所以要证明 BE//平面 PAD, 只需证明 BE//PG 即可. (中位线)
（2）若 F 是 DC 的中点,证明 PA// 平面 BEF
【简析】若 PA//平面 BEF, 则必有 PA//EM, 所以要证明 PA//平面 BEF, 只需证明 PA//EM 即
可. (中位线)
方法二: BE// 平面 PAD (正向平移法: 构造平行四边形)
【简析】将 BE 向平面 PAD 中平移,易知将线段 BE 沿 BA 平移,可得 E 点轨迹,取 PD 中点
M ,由平行四边形可得 BE//AM ,故 BE// 平面 PAD .
（3）方法三: BE//平面 PAD（反向平移法: 构造面面平行）
【简析】将 PD,AD 平移,使之与 BE 共面,可得平面 BEH ,易知 BH//AD,EH//PD ,则平
面 EHB// 平面 PAD ,故 BE// 平面 PAD .
四边形法证平行
1. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E,F 分别是 AA1,CD 的中点,求证: EF// 平面 A1CD1 .
【分析】取 CD1 中点 G ,连接 FG,GA1 ,证四边形 FGA1E 是平行四边形,结合线面平行的判定即可推理作答. 【解答】在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,取 CD1 中点 G ,连接 FG,GA1 ,如图 ( T 点是第二问的不用管),
而 F 是 CD 的中点,则 FG//DD1,FG=12DD1 ,又 E 是 AA1 的中点,则 A1EI//DD1,A1E=12DD1 ,
因此, A1E//FG,A1E=FG ,四边形 FGA1E 是平行四边形,有 EF//GA1 ,而 EF⊄ 平面 A1CD1,GA1⊂ 平面 A1CD1,EF// 平面 A1CD1 .
中位线法证平行
2. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD,AD//BC,∠BAD=2π3,AD=2AB=2BC=2PA=4 , M 为 PB 上靠近 B 的三等分点,求证: PD// 平面 ACM .
证明: 如图,连接 BD ,交 AC 于点 N ,连接 MN .
因为 AD//BC,AD=2BC ,所以 BNND=BCAD=12 ,又 M 为 PB 靠近 B 的三等分点,所以 BMMP=12 ,所以 BNND=BMMP , 所以 MN//PD ,又 MN⊂ 平面 AMC,PD⊄ 平面 AMC ,所以 PD// 平面 AMC .
做平行平面法证平行
3. 如图所示的四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是一个等腰梯形, AD//BC ,且 AD=2AB=2BC=4,PO 是 △PAD 的中线,点 E 是棱 PD 的中点,证明: CE// 平面 PAB .
【分析】连接 OC、OE ,平行四边形的性质、线面平行的判定可得 OE// 平面 PAB、CO// 平面 PAB ,再根据面面平行的判定可得平面 OCE// 平面 PAB ,利用面面平行的性质可证结论
构造 2 个平面的交线: 线线平行 线面平行
4. 如图,三棱柱 ABC−A1B1C1 中, E,P 分别是 B1C1 和 CC1 的中点,点 F 在棱 A1B1 上,且 B1F=2A1F , 证明: A1P// 平面 EFC .
【答案】证明: 连结 PB1 ,交 CE 于点 D ,连结 DF,EP,CB1 ,
因为 E,P 分别为 B1C1,CC1 的中点,故 EP//12CB1 且 EP=12CB1 ,
故 PDDB1=12 ,又 B1 F=2 , A1 B1=3 ,故 A1FFB1=12 ,
所以 FD//A1P ,又 FD⊂ 平面 EFC,A1P⊄ 平面 EFC ,
故 A1P//平面 EFC.
5. 如图,四棱锥 P−ABCD 的底面为正方形,且 PD⊥ 面 ABC D. 设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l . 证明: l//CB
【证明】证明: 因为 ABCD 为正方形, ∴BC//AD ,
∴BC// 平面 PAD
又 ∵BC← 平面 PCB ,平面 PAD∩ 平面 PCB=1 ,
∴1//CD .
线面垂直
6. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PA=PD,AB//CD,CD⊥AD,CD=2AB ,点 E 为 PC 的中点,且 BE⊥ 平面 PCD . 求证: CD⊥ 平面 PAD ;
【解答】解: 证明: 取 PD 的中点 F ,连接 AF,EF ,
则 EF//CD,EF=12CD . 又 AB//CD,AB=12CD ,所以 EF//AB,EF=AB ,则四边形 ABEF 为平行四边形,所以 AF//BE .
又 BE⊥ 平面 PCD,CD⊂ 平面 PCD ,所以 BE⊥CD ,所以 AF⊥CD .
又 CD⊥AD,AF⋂AD=A,AF,AD⊂ 平面 PAD ,所以 CD⊥ 平面 PAD
异面直线垂直
7. 已知直三棱柱 ABC−A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 为正方形, AB=BC=2,E,F 分别为 AC 和 CC1 的中点, D 为棱 A1B1 上的点, BF⊥A1B1 . 证明: BF⊥DE ;
【解答】证明: 连接 AF ,
∵E,F 分别为直三棱柱 ABC−A1B1C1 的棱 AC 和 CC1 的中点,且 AB=BC=2 ,
∴CF=1, BF=5 ,
∵BF⊥A1B1,AB//A1B1 ,
∴BF⊥AB
∴AF=AB2+BF2=22+52=3, AC=AF2−CF2=32−12=22 ,
∴AC2=AB2+BC2 ,即 BA⊥BC,△ABC 为等腰直角三角形.
取 BC 中点 G ,因为 EG//AB ,所以 BF⊥EG ,
又 ∵△BFC≅△B1GB ,故 B1G⊥BF
∴BF⊥ 平面 EGB1D
∵DE⊂ 平面 EGB1D
∴BF⊥DE
8. (杭州二模) 在三棱锥 S−ABC 中,底面 △ABC 为等腰直角三角形, ∠SAB=∠SCB=∠ABC=90∘ . 求证: AC⊥SB
【详解】
法一: 利用全等
证明: 取 AC 的中点为 E ,连结 SE,BE ,
∵AB=BC,∴BE⊥AC ,
在 △SCB 和 △SAB 中, ∠SAB=∠SCB=90∘,AB=BC,SB=SB
∴△SCB≅△SAB,∴SA=SC ,
∵AC 的中点为 E,∴SE⊥AC ,
∵SE∩BE=E , ∴AC⊥ 面 SBE ,
∵SB⊂ 面 SBE,∴AC⊥SB
法二: 构造等腰直角三角形,取 SB 中点 M ,易知 AM=CM ,故 EM⊥AC
面面垂直
9. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA⊥ 底面 ABCD,PA=AB=2,E 为线段 PB 的中点, F 为线段 BC 上的动点,证明: 平面 AEF⊥ 平面 PBC
【详解】(1) 方法一:
因为 PA⊥ 底面 ABCD,BC⊂ 平面 ABCD ,
所以 PA⊥BC .
因为 ABCD 为正方形,所以 AB⊥BC ,
又因为 PA∩AB=A,PA⊂ 平面 PAB,AB⊂ 平面 PAB ,
所以 BC⊥ 平面 PAB.
因为 AE⊂ 平面 PAB ,所以 AE⊥BC .
因为 PA=AB,E 为线段 PB 的中点,
所以 AE⊥PB ,
又因为 PB∩BC=B,PB⊂ 平面 PBC,BC⊂ 平面 PBC ,
所以 AE⊥ 平面 PBC .
又因为 AE⊂ 平面 AEF ,
所以平面 AEF⊥ 平面 PBC .
方法二:
因为 PA⊥ 底面 ABCD,PA⊂ 平面 PAB ,
所以平面 PAB⊥ 底面 ABCD
又平面 PAB∩ 底面 ABCD=AB,BC⊥AB,BC⊂ 平面 ABCD ,
所以 BC⊥ 平面 PAB.
因为 AE⊂ 平面 PAB ,所以 AE⊥BC .
因为 PA=AB , E 为线段 PB 的中点,所以 AE⊥PB .
因为 PB∩BC=B,PB⊂ 平面 PBC,BC⊂ 平面 PBC ,
所以 AE⊥ 平面 PBC ,
又因为 AE⊂ 平面 AEF ,
所以平面 AEF⊥ 平面 PBC
解法三: 建系 (费时间, 但是可以为第二问铺路)
因为 PA⊥ 底面 ABCD,AB⊥AD ,
以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AP 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,
则 A0,0,0,B2,0,0,C2,2,0,D0,2,0,P0,0,2,E1,0,1 ,
设 BF=tt∈0,2 ,则 F2,t,0 ,
所以 AE=1,0,1,AF=2,t,0,PB=2,0,−2,BC=0,2,0 ,
设 n=x1,y1,z1 为平面 AEF 的法向量,
则 n⋅AE=0,n⋅AF=0, 所以 x1+z1=0,2x1+ty1=0, 取 y1=2 ,则 x1=−t,z1=t ,
则 n=−t,2,t ,
设 m=x2,y2,z2 为平面 PBC 的法向量,
则 m⋅PB=0,m⋅BC=0, 所以 2x2−2z2=0,2y2=0, 取 x2=1 ,则 y2=0,z2=1 ,
则 m=1,0,1
因为 n⋅m=−t+0+t=0 ,所以 n⊥m ,
所以平面 AEF⊥ 平面 PBC
题型吕 由平行关系确定点的位置
10. 四棱锥 P−ABCD 中,底面是平行四边形, E,F 分别为线段 PD,PC 上的点, PEED=32 ,若 BF// 平面 AEC ,则 PFFC= ___.
【答案】 12
【分析】根据线面平行的性质定理, 平行线分线段成比例等知识求得正确答案.
【详解】设 AC∩BD=O ,连接 DF 交 CE 于 G ,连接 OG,BF ,
由于 BF// 平面 AEC,BF⊂ 平面 BDF ,平面 BDF∩ 平面 AEC=OG ,
则 BF//OG ,由于 O 是 BD 的中点,所以 OBOD=GFGD=1 ,
过 F 作 FH//CE ,交 PD 于 H ,
则 EDEH=1 ,由于 PEED=32 ,所以 PHHE=12 ,
所以 PFFC=PHHE=12 .
故答案为: 12
11. 如图 1 所示,在矩形 ABCD 中, AB=4,BC=62 ,点 E 为线段 AB 上一点, AE=1 ,现将 △BCE 沿 CE 折起,将点 B 折到点 B′ 位置,使得点 B′ 在平面 AECD 上的射影在线段 AD 上,得到如图 2 所示的四棱锥 B′−AECD ,在图 2 中,线段 B′C 上是否存在点 F ,使得 EF// 平面 B′AD ? 若存在,求 B′FB′C 的值, 若不存在, 请说明理由.
图1
【答案】(1) 存在, 14
【分析】(1) 在边 B′C 上取点 F ,使得 B′FB′C=14 ,过 F 作 CD 的平行线交 B′D 于 M 点,连接 EF,AM ,证
明四边形 AEFM 为平行四边形,得出 EF//AM ,再利用线面平行的判定定理证出即可.
【详解】解: (1) 在边 B′C 上取点 F ,使得 B′FB′C=14 ,
过 F 作 CD 的平行线交 B′D 于 M 点,连接 EF,AM .
∵MF//CD 且 MFCD=B′FB′C=14 ,
又 AE//CD 且 AECD=14 ,
∴AE//MF 且 AE=MF ,
故四边形 AEFM 为平行四边形,
∴EF//AM ,
又 EF⊄ 平面 B′AD,AM⊂ 平面 B′AD ,
∴EF// 平面 B′AD
12. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,已知底面 ABCD 是菱形,且对角线 AC 与 BD 相交于点 O ,点 E 为 BC 的中点,在棱 PC 上是否存在点 F ,使得 PB// 平面 AEF ? 请说明理由.
【解答】解: 棱 PC 上存在点 F ,使得 PB// 平面 AEF ,
证明如下:
取 PC 的中点 F ,连接 AF,EF .
因为 E 是 BC 的中点,
所以 EF//PB ,
因为 PB⊄ 平面 AEF ,
所以 PB// 平面 AEF .
13. 如图所示,在四棱锥 P−ABCD 中, BC// 平面 PAD,BC=12AD,E 是 PD 的中点.
( I ) 求证: BC//AD ;
(II) 求证: CE// 平面 PAB ;
(III) 若 M 是线段 CE 上一动点,则线段 AD 上是否存在点 N ,使 MN// 平面 PAB ? 说明理由.
【解答】证明: (I) 在四棱锥 P−ABCD 中, BC// 平面 PAD,BC⊂ 平面 ABCD ,
平面 ABCD∩ 平面 PAD=AD ,
∴BC//AD ,
(II) 取 PA 的中点 F ,连接 EF,BF ,
∵E 是 PD 的中点,
∴EF//AD,EF=12AD ,
又由 ( I ) 可得 BC//AD,BC=12AD ,
∴BC//EF,BC=EF ,
∴ 四边形 BCEF 是平行四边形,
∴CE//BF ,
∵CE⊄ 平面 PAB,BF⊂ 平面 PAB ,
∴CE// 平面 PAB .
(III) 取 AD 中点 N ,连接 CN,EN ,
∵E,N 分别为 PD,AD 的中点,
∴EN//PA ,
∵EN⊄ 平面 PAB,PA⊂ 平面 PAB ,
∴EN// 平面 PAB ,
又由 (II) 可得 CE// 平面 PAB,CE⋂EN=E ,
∴ 平面 CEN// 平面 PAB ,
∵M 是 CE 上的动点, MN⊂ 平面 CEN ,
∴MN// 平面 PAB ,
∴ 线段 AD 存在点 N ,使得 MN// 平面 PAB .
14. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 P 为线段 D1B 上的动点, M,N 分别为棱 BC,AB 的中点, 若 DP// 平面 B1MN ,则 D1PD1B=
【解答】解: 如图所示,取 A1D1,D1C1 的中点 E,F ,则有平面 DEF// 平面 B1MN ,则平面 DEF 与 D1 B 的交线即为点 P ,取 EF 中点 M ,则 DM 交 D1B 于 P ,易知 △D1MP∽△BDP ,故 D1PBP=D1MDB=14 ,故 D1PD1B=15
题型三 由平行关系确定动点的轨迹再求最值
山东省枣庄市 2023 届高三二模
15. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, M 是 A1B1 的中点,点 P 是侧面 CDD1C1 上的动点,
且. MP// 平面 AB1C ,则线段 MP 长度的取值范围为 ( )
A. 62,2 B. 1,62
C. 62,32 D. 2,32
【答案】A
【分析】根据已知条件及三角形的中位线, 利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理, 结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.
【详解】取 CC1 的中点为 R ,取 CD 的中点为 N ,取 B1C1 的中点为 H ,如图所示
因为 M 是 A1B1 的中点, H 是 B1C1 的中点,
所以 B1C//HR ,
因为 HR⊄ 平面 AB1C,B1C⊂ 平面 AB1C ,
所以 HR// 平面 AB1C ,
同理可得, MH// 平面 AB1C ,
又 HR∩MH=H,HR,MH⊂ 平面 MNRH ,
所以平面 MNRH// 平面 AB1C .
又 MP⊂ 平面 MNRH ,线段 MP 扫过的图形是 △MNR ,
由 AB=1 ,得 MN=12+12=2,NR=122+122=22 ,
MC1=122+12=52,MR=122+522=62,
所以 MN2=NR2+MR2 ,即 ∠MRN 为直角,
所以线段 MP 长度的取值范围是: 62,2 .
16. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点,点 P 在正方形 ABB1A1 内,若 AB=2 , A1P// 平面 AEF ,则 DP 的最小值是 ( )
A. 2 B. 655 C. 2 D. 3
【答案】 B
【分析】先根据题中的关系确定点 P 在平面 ABB1A1 中的位置,在求 DP 的最小值.
【详解】如图,分别取棱 B1C1,BB1 的中点 M,N ,连接 A1M,A1N,MN .
因为正方体中 A1M//AE,MN//EF ,
所以平面 A1MN 内两相交直线 A1M,MN 与平面 AEF 平行
所以 A1MN// 平面 AEF ,则点 P 在线段 A1N 上.
过点 A 作 AH⊥A1N ,垂足为 H ,连接 DH ,
则 DP≥DH ,当且仅当 P 与 H 重合时, DP=DH=DA2+AH2=655 .
17. 如图所示,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 M 是平面 A1B1C1D1 内一点,且 BM// 平面 ACD1 ,则 tan∠DMD1 的最大值为 ( )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
【解答】解: 如图所示,
正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,连接 A1C1,B1D1 ,交于点 M ,则点 M 满足条件;
证明如下,连接 BD ,交 AC 于点 O ,连接 BM,OD1 ,
则 A1A//C1C ,且 A1A=C1C ,
∴ 四边形 ACC1A1 是平行四边形,
∴AC//A1C1 ,
又 AC⊂ 平面 ACD1 ,且 A1C1⊄ 平面 ACD1 ,
∴A1C1// 平面 ACD1 ;
同理 BM//D1O,BM// 平面 ACD1 ,
∴ 当 M 在直线 A1C1 上时,都满足 BM//ACD1 ;
∴tan∠DMD1=DD1MD1=122=2 是最大值.
18. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 E、F 分别是棱 BC,CC1 的中点, P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P// 平面 AEF ,则线段 A1P 长度的取值范围是 ( )
A. 2,52 B. 324,52 C. 322,5 D. 52,22
【解答】解: 如下图所示,分别取棱 BB1,B1C1 的中点 M、N ,连 MN,BC1 ,
∵M,N,E,F 分别为所在棱的中点,则 MN//BC1,EF//BC1 ,
∴MN//EF ,又 MN⊄ 平面 AEF , EF⊂ 平面 AEF ,
∴MN// 平面 AEF .
∵AA1//NE,AA1=NE ,
∴ 四边形 AENA1 为平行四边形,
∴A1N//AE ,
又 A1N⊄ 平面 AEF,AE⊂ 平面 AEF ,
∴A1N// 平面 AEF ,
又 A1N∩MN=N ,
∴ 平面 A1MN// 平面 AEF .
∵P 是侧面 BCC1B1 内一点,且 A1P// 平面 AEF ,
∴ 点 P 必在线段 MN 上.
在 Rt△A1B1M 中, A1M=A1B12+B1M2=22+1=5 .
同理,在 Rt△A1B1N 中,可得 A1N=5 ,
∴△A1MN 为等腰三角形.
当点 P 为 MN 中点 O 时, A1P⊥MN ,此时 A1P 最短; 点 P 位于 M、N 处时, A1P 最长.
∵A1O=A1M2−OM2=52−222=322, A1M=A1N=5.
∴ 线段 A1P 长度的取值范围是 322,5 . 故选: C .
19. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M,N 分别是棱 BC,CC1 的中点,则点 A1 到平面 AMN 的距离是___; 若动点 P 在正方形 BCC1B1 （包括边界）内运动，且 PA1// 平面 AMN ,则线段 PA1 的长度范围是___.
【解答】解: 取 B1C1 的中点 E,BB1 的中点 F ,连接 A1E,A1F,EF,FM , 则 A1E//AM,EF//MN ,
∴ 平面 A1EF// 平面 AMN ,
∴A1 到平面 AMN 的距离等于 F 到平面 AMN 的距离,
∵ 正方体棱长为 2,∴AM=5,MN=2,AN=3 ,
∴cs∠MAN=5+9−22×5×3=25,sin∠MAN=15 ,
∴S△AMN=12×5×3×15=32 ,设 F 到平面 AMN 的距离为 h ,则 VF−AMN=13×32×h=h2 ,
又 VF−AMN=VA−MNF=13×12×2×1×2=23 ,
∴h2=23 ,即 h=43 .
∴A1 到平面 AMN 的距离为 43 .
∵A1P// 平面 AMN,∴P 的轨迹为线段 EF .
∵A1E=A1F=5, EF=2,
∴ 当 A1P⊥EF 时, A1P 取得最小值 5−222=322 ,
当 P 与 E (或 F ) 重合时, A1P 取得最大值 5 .
∴322≤A1P≤5 .
故答案为: 43,322,5 .
20. 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, M,N 分别为 BD1,B1C1 的中点,点 P 在正方体的表面上运动, 且满足 MP// 平面 CND1 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 点 P 可以是棱 BB1 的中点 B. 线段 MP 的最大值为 32
C. 点 P 的轨迹是正方形 D. 点 P 轨迹的长度为 2+5
【答案】 B
【分析】如图,取棱 BC 的中点 E ,连接 DE,B1E,ME ,进而证明平面 B1EM// 平面 CND1 ,再结合题意可知直线 B1M 必过 D 点,进而取 A1D1 中点 F ,连接 B1F,FD,DE ,证明 F∈ 平面 B1EM 即可得四边形 B1EDF 为点 P 的轨迹, 再根据几何关系依次判断各选项即可.
【详解】解: 如图,取棱 BC 的中点 E ,连接 DE,B1E,ME ,
因为 M,N 分别为 BD1,B1C1 的中点,
所以,在 △BCD1 中, ME//CD1 ,由于 ME⊄ 平面 CND1,CD1⊂ 平面 CND1 ,
所以 ME// 平面 CND1 ,
因为 B1N//CE,B1N=CE ,所以,四边形 CNB1E 为平行四边形,
所以 CN//B1E ,因为 CN⊂ 平面 CND1,B1E⊄ 平面 CND1 ,
所以, B1E// 平面 CND1 ,
因为 B1E∩ME=E,B1E,ME⊂ 平面 B1EM ,
所以,平面 B1EM// 平面 CND1 ,
由于 M 为体对角线 BD1 的中点,
所以,连接 B1M 并延长,直线 B1M 必过 D 点,
故取 A1D1 中点 F ,连接 B1F,FD,DE ,
所以,由正方体的性质易知 FD1//CE,FD1=CE ,
所以,四边形 CD1FE 是平行四边形, EF//CD1,EF=CD1 ,
因为, ME//CD1,ME=12CD1 ,
所以, E,F,M 共线,即 F∈ 平面 B1EM ,
所以,四边形 B1EDF 为点 P 的轨迹,故 A 选项错误;
由正方体的棱长为 1,所以,四边形 B1EDF 的棱长均为 52 ,且对角线为 EF=2,B1D=3, ,
所以,四边形 B1EDF 为菱形,周长为 25 ,故 CD 选项错误,
由菱形的性质知,线段 MP 的最大值为 12B1D=32 ,故 B 选项正确.
题型@ 由垂直关系确定动点的轨迹或位置
21. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD , M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC ,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解答】解: 根据题意可知 PD=DC ,则点 D 符合 “ M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC , 设 AB 的中点为 N ,根据题目条件可知 △PAN≅△CBN
∴PN=CN ,点 N 也符合 “ M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC ”
故动点 M 的轨迹肯定过点 D 和点 N
而到点 P 与到点 C 的距离相等的点为线段 PC 的垂直平分
线段 PC 的垂直平分面与平面 AC 的交线是一直线
22. 棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中 P 为正方体表面上的一个动点,且总有 PC⊥BD1 ,则动点 P 的轨迹的长度为 ( )
A. 34π B. 4π C. 32 D. 42
【解答】解: P 点的轨迹为过点 C 与直线 BD1 垂直的截面与正方体的交线,就是图形中点三角形 ACB1 ,它的周长为: 32 .
23. 正四棱锥 S−ABCD 底面边长为 2,高为 1,E 是边 BC 的中点,动点 P 在四棱锥表面上运动,并且总保持 PE⊥AC ,则动点 P 的轨迹的周长为 ( )
A. 1+2 B. 2+3 C. 22 D. 23
【解答】解: ∵ 动点 P 在四棱锥表面上运动,并且总保持 PE⊥AC ,
∴AC 垂直于 PE 所在的平面,点 P 的轨迹为如图所示的三角形 EFG ,其中 G、F 为中点,
∴EF=12BD=2 ,
GE=GF=12SB=32,
∴ 轨迹的周长为 2+3 .
故选: B .
24. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总是保持 AP 与 BD1 垂直,则动点 P 的轨迹为___.
【解答】解: 如图,先找到一个平面总是保持与 BD1 垂直,
连接 AC,AB1,B1C ,
在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,
易得 BD1⊥CB1,BD1⊥AC ;
则 BD1⊥ 面 ACB1 ,
又点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,
根据平面的基本性质得:
点 P 的轨迹为面 ACB1 与面 BCC1B1 的交线段 CB1 .
故答案为线段 CB1 .
25. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E 是 CD 的中点.
（1）求证: A1C// 平面 AD1E ;
（2）求点 D 到平面 AD1E 的距离;
（3）在对角线 A1C 上是否存在点 P ,使得 DP⊥ 平面 AD1E ? 若存在,求出 CP 的长; 若不存在,请说明理由.
【解答】(本小题满分 12 分)
解: (1) 证明: 连结 A1D ,交 AD1 于点 F ,连结 EF .
因为四边形 ADD1A1 是正方形,所以 F 是 A1D 的中点,又 E 是 CD 的中点,
所以 EF//A1C .
因为 EF⊂ 平面 AD1E,A1C⊄ 平面 AD1E ,
所以 A1C// 平面 AD1E.⋯ (4 分)
（2）利用等体积可得 VD−AD1E=VD1−ADE ,可解出点 D 到平面 AD1E 的距离为 66.⋯ (8 分)
（3）在对角线 A1C 上存在点 P ,且 CP=33 ,使得 DP⊥ 平面 AD1E .
证明如下: 因为四边形 ADD1A1 是正方形,所以 AD1⊥A1D .
因为 CD⊥ 平面 ADD1A1,AD1⊂ 平面 ADD1A1 ,所以 CD⊥AD1 .
因为 A1D⋂CD=D ,所以 AD1⊥ 平面 A1CD .
因为 AD1⊂ 平面 AD1E ,所以平面 AD1E⊥ 平面 A1CD .
作 DP⊥A1C 于 P ,因为 EF//A1C ,所以 DP⊥EF .
因为 DP⊂ 平面 A1CD ,平面 A1CD∩ 平面 AD1E=EF ,所以 DP⊥ 平面 AD1E .
由 Rt△A1CD∽Rt△DCP ,得 CP=CD2A1C=13=33 .
所以当 CP=33 时, DP⊥ 平面 AD1E.⋯ (12 分)
题型五 由垂直关系确定动点的轨迹再求最值
26. 如图,在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 AA1⊥ 底面 ABCD,AB=3,AA1=4 , P 是侧面 BCC1B1 内的动点,且 AP⊥BD1 ,记 AP 与平面 BCC1B1 所成的角为 θ ,则 tanθ 的最大值为 ___.
【解答】
第一步: 先找出过 P 点且垂直 BD1 的平面,该平面与侧面 BCC1B1 的交线即为 P 点轨迹.
具体操作: 三垂线法
如图,将 BD1 向 A 点所在的三个侧面作投影,然过 A 点分别在侧面上作各投影的垂线,得到 AC 与 AH
(注: 观察可以发现第三个图不好作垂线, 并且只需要 2 条线即可确定平面, 所以这里就不作第三个图的垂线了).
显然 AC⊥BD1AH⊥BD1 ,所以平面 AHC⊥BD1 ,故 P 点轨迹为 HC
tanθ=tan∠APB=ABBP ,所以 BP⊥HC 时, tanθ 取到最大值,不难求出此时 BP=95 ,故 tanθ≤53 .
27. 已知点 E 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 的侧面 AA1B1B 内 (含边界), F 是 AA1 的中点,若 D1E⊥CF ,则 tan∠BCE 的最小值为 ( )
A. 55 B. 2−1 C. 3−1 D. 35
【解答】解: 在 Rt △BEC 中, tan∠BCE=EBBC ,所以当 EB 取最小值时, tan∠BCE 最小.
【法一】点 D1 所在的三个面上都能作出垂线
延长 CD 至 Q ,且 CD=2DQ,tan∠BCE=BEBC≥55
【法二】设 AA1=2 ,以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 C2,2,0,F0,0,1,D10,2,2 ,设 Ex,0,z .
所以 CF=−2,−2,1,D1E=x,−2,z−2 ,由条件有 CF⋅D1E=−2x+z+2=0 ,即 2x−z−2=0 .
取 AB 中点 M ,则 E 点的轨迹为线段 B1M .
当 BE⊥B1M 时, BE 最小,此时 BE=25 ,所以 tan∠BCE=EBBC=55 .
故选: A .
28. 已知点 E 在正方体 ABCD−A1B1C1D 的侧面 AA1B1B 内 (含边界), F 是 AA1 的中点, DE⊥CF ,则 tan∠BCE 的最大值为 ；最小值为 .
【解答】把 CF 向点 D 所在的三个面上作投影,再过点 D 作他们的垂线,其中侧面 A1ADD1 的垂线不太好好作, 要解题其实也只需作出 2 条垂线就行,
得到 CF⊥ 面 DPQ ,则平面 DPQ 与平面 AA1B1B 的交线即 E 点轨迹
tan∠BCE=BEBC ,则 55≤tan∠BCE≤1
29. 如图,直三棱柱 ABC−A1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90∘ ,点 D 是 A1B1 的中点, F 是侧面 CC1B1B (含边界) 上的动点,要使 AB1⊥ 平面 C1DF ,则线段 C1F 的长的最大值为 ( )
A. 52 B. 2 C. 133 D. 5
【解答】解: 直三棱柱 ABC−A1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90∘ ,
点 D 是 A1B1 的中点, F 是侧面 AA1B1B (含边界) 上的动点,
【法一】如图,在线段 BB1 上取一点 H ,使 B1H=12 ,则有 DH⊥AB1 ,又 CD⊥AB1
故 F 点轨迹为 C1H ,则 C1F 的最大值为 52 .
【法二】以 C1 为原点, C1A1 为 x 轴, C1B1 为 y 轴, C1C 为 z 轴,建立空间直角坐标系,
设 F0,a,b,0≤a≤1,0≤b≤2 ,
由题意得 A1,0,2,B10,1,0,C10,0,0,D12,12,0 ,
AB1=−1,1,−2,C1D=12,12,0,C1F=0,a,b,
∵AB1⊥ 平面 C1DF ,
∴AB1⋅C1D=−12+12+0=0AB1⋅C1F=0+a−2b=0 ,解得 a=2b,∴F0,2b,b ,
∵0≤a≤1, 0≤b≤2, a=2b, ∴0≤b≤12,
∴ 线段 C1F 的长的最大值为: C1F=4b2+b2=5×14=52 .
30. 如图,正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,点 O 为底面 ABCD 的中心,点 P 在侧面 BB1C1C 的边界及其内部运动. 若 D1O⊥OP ,则 △D1C1P 面积的最大值为 ( )
A. 255 B. 455 C. 5 D. 25
【解答】解: 如图,
由正方体性质知,当 P 位于 C 点时, D1O⊥OC ,
当 P 位于 BB1 的中点 P1 时,由已知得, DD1=2,DO=BO=2 ,
BP1=B1P1=1, B1D1=22,
求得 OD1=4+2=6,OP1=2+1=3,D1P1=8+1=3 .
∴OD12+OP12=D1P12 ,得 OD1⊥OP1 .
又 OP1∩OC=O,∴D1O⊥ 平面 OP1C ,得到 P 的轨迹在线段 P1C 上.
由 C1P1=CP1=5 ,可知 ∠C1CP1 为锐角,而 CC1=2