中考数学一轮大单元复习7.2图形的平移、轴对称和旋转重难点题型讲练(3大题型)(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮大单元复习7.2图形的平移、轴对称和旋转重难点题型讲练(3大题型)(讲练)(原卷版+解析)，共139页。试卷主要包含了在下列说法中等内容，欢迎下载使用。
题型1：平移
类型1-利用平移的性质求解
（2023·全国·九年级专题练习）如图，直角三角形的边长，将三角形平移得到三角形，边分别交，于点，当点为中点时，此时，则图中阴影部分的面积为 ___．
类型2-利用平移的性质解决实际问题
（2023春·重庆渝北·七年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）动手操作：
(1)如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接，．
①线段平移的距离是________；
②四边形的面积是________；
(2)如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到．
③画出平移后的；
④连接，，多边形的面积是________
(3)拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．
类型3-平移中的图形坐标
（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图所示的平面直角坐标系中，三角形 的顶点分别是 ，，．
(1)如果将三角形 向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度，得到三角形 ，则点的坐标为_____；点的坐标为_______；
(2)在平移过程中，线段扫过的面积是_____．
类型4-与平移有关的综合问题
（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．
(1)如图1，求点，的坐标及四边形的面积；
(2)如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
(3)如图2，点为与轴交点，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由；
综合训练
1．（2023春·八年级单元测试）如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（ ）
A．4B．6C．8D．9
2．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）要用一根铁丝弯成如图所示的铁框，其中，且．若，则这根铁丝至少长（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·河北衡水·七年级校考阶段练习）在下列说法中：
①在平移过程中，对应线段一定相等；
②在平移过程中，对应线段一定平行；
③在平移过程中，周长保持不变；
④在平移过程中，对应边中点的所连线段的长等于平移的距离；
⑤在平移过程中，面积不变；其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③④⑤C．①②③⑤D．①③④⑤
4．（2023春·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，长方形ABCD的对角线，则图中五个小长方形的周长之和为（ ）
A．7B．9C．14D．18
5．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，，，，将沿所在直线向右平移得到，连接．若，则线段的长为（ ）
A．2B．4C．5D．6
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，在长为xm，宽为ym的长方形草地ABCD中有两条小路，和、为W状，为平行四边形状，每条小路的右边线都是由小路左边线右移1m得到的，则三块草地面积之和为( )
A．xy-2yB．xy-2xC．(x-1)(y-1)D．xy
7．（2023春·全国·七年级专题练习）某校为了美化校园，在长方形场地上修筑两条互相垂直的道路，即GH⊥EF（如图所示），余下部分作草坪，根据图中数据，则草坪面积为（ ）
A．小于8B．大于8C．8D．以上均不正确
8．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是，，，，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移5个单位B．将C向左平移5个单位
C．将D向左平移7个单位D．将C向左平移9个单位
9．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，⋯，按此作法进行下去，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，，若将线段平移至线段，则的值为（ ）
A．2B．3C．D．
11．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）在直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·重庆渝北·七年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）如图，已知中，，，把沿射线方向平移至后，平移距离，，则图中阴影部分的面积为________．
13．（2023·广东佛山·校考一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为，若，则的值为___________．
14．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在中，，将平移个单位长度得到，点、分别是、的中点，的取值范围__．
15．（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移后，得到直角三角形，已知，，，则阴影部分的面积为______．
16．（2023春·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为1米，则绿化的面积为______．
17．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第四十二中学校考阶段练习）如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要______米．
18．（2022秋·八年级单元测试）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知米．米．则展板的面积为 _____，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3）_____元．
20．（2022·贵州遵义·统考一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为米，剩余部分为绿化．
(1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含的代数式表示）．
(2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．
21．（2022秋·四川凉山·九年级校考阶段练习）有一块长为，宽为的矩形场地，计划在该场地上修建宽均为的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．
(1)已知，，且四块草坪的面积和为，则每条道路的宽x为多少米？
(2)已知，，且四块草坪的面积和为，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？
(3)已知，，要在场地上修建宽均为的纵横小路，场地中有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为，则______（直接写出答案）．
22．（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米20元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示，请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？
23．（2022春·山东日照·七年级日照市新营中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，．
(1)把A、B、C三点的坐标，在坐标系中描出来，画出三角形；
(2)把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形；写出平移后三点的坐标，画出三角形；
(3)在x轴上是否存在点Q，使的面积与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（2023春·八年级课时练习）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，两点的坐标分别为，．将先向右平移4个单位后，再向下平移个单位，得到．
(1)请你直接写出点，的坐标；
(2)平行四边形与的重叠部分的形状是_____，重叠部分的面积是_____；
(3)在平面内是否存在一点D，使得以O，，，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）的三个项点的坐标分别为．
(1)在所给的平面直角坐标系中画出；
(2)将沿某一方向平移得到，使平移后的点均落在坐标轴的正半轴上，画出平移后的；
(3)在（2）的条件下，为边上一点，在平移后的上，点P的对应点的坐标为_____________．
26．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知小正方形的边长为厘米，大正方形的边长为厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求小正方形平移的时间；
(3)当时，求小正方形一条对角线扫过的面积．
27．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，点B在y轴的正半轴上，，矩形的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，．
(1)如图，求点E的坐标；
(2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点D，O，C，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为．如图，当矩形与重叠部分为五边形时，、分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围．
28．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，，，，，．
(1)求的面积；
(2)如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值；
(3)如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标．
29．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）将两个能完全重合的等腰直角三角板按图①所示的位置放置，其中，边在同一条直线上，点A与点F重合，点E与点B在点的两侧．现将三角板沿射线方向平移，如图②所示，在平移的过程中始终保持边在同一条直线上，平移至点F和点B重合时停止运动．设平移的距离为．
(1)________；
(2)当________时，点C落在边上；当________时，点C落在边上；
(3)设在平移的过程中，两个三角板重合部分的图形的面积为，求出S关于x的函数关系式．
30（2023·全国·九年级专题练习）如图，三角形的三个顶点坐标分别是：，直线上的点的横坐标、纵坐标满足．
(1)如图1，三角形经平移变换后得到三角形，三角形内任意一点，在三角形内的对应点是．请直接写出此时点、、的坐标；
(2)如图2，在（1）的条件下，若三角形的两条直角边、分别与交于点、，求此时图中阴影部分的面积；
(3)在（2）的条件下，延长交轴于点，在x轴上有一动点，从点D出发，沿着x轴负方向以每秒两个单位长度运动，连接，若点P的运动时间是t，是否存在某一时刻，使三角形的面积等于阴影部分的面积的，若存在，求出t值和此时的长；若不存在，说明理由．
题型2：轴对称
类型-1 利用轴对称性质求解
（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为（ ）
A．B．C．D．
类型-2 坐标平面中的轴对称变换
（2023·广西桂林·统考一模）如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为；
(3)直接写出点，的坐标．
类型-3与轴对称有关的综合问题
（2023·河北石家庄·统考一模）如图，已知的面积，，M为边上一动点（M与点A、B不重合），过点M作，交于点N，设．
(1)的边的高______；的面积______（用含x的代数式表示）
(2)把沿折叠，设折叠后点A的对应点为，与四边形重叠部分的面积为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的范围；
②当x为何值时重叠部分的面积y最大，最大值是多少？
综合训练
1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）如图，中，，是中线，，将沿折叠至，则点C到的距离是（ ）
A．4B．C．3D．
3．（2023春·天津河北·九年级天津二中校考阶段练习）如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，连接，将菱形翻折，使点落在线段上的点处，折痕交于，则线段的长为（ ）
A．B．4C．5D．
4．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若点，关于x轴对称，则a，b的值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，在中，，，，动点M，N分别在边，上则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
6．（2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为_______．
7．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图所示，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点F，若的周长为8，的周长为，则的长为__．
8．（2023·浙江·模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上一点，将沿所在直线翻折得到，连接．当N为边的中点时，的长度为___________；点N在边上运动的过程中，长度的最小值为___________．
9．（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为__________．
11．（2022秋·江苏徐州·八年级统考阶段练习）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______．
12．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的F处，折痕为.已知.
(1)求证：.
(2)求.
13．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）平面直角坐标系中，每个小网格是长度为1个单位的小正方形，已知点，点．
完成下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出；
(2)在图中画出关于x轴的对称图形；
(3)在x轴上存在一点P，使得的值最小，请在图中画出点P（不必写过程，但要保留作图痕迹）．
14．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）图①为长方形纸带，将长方形纸带的端沿折叠成图②，点折至、点折至，
(1)若，则图． 中的度数是多少？
(2)将纸带的 端沿折叠成图③，点折至，点折至，若，用表示．
15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)已知和关于x轴对称，点，，分别是点A，B，C的对称点，请直接写出点，，的坐标；
(2)在图中画出关于y轴对称的．
16．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有，，三点的坐标分别为，，．
(1)在平面直角坐标系中描出，，三点，连接，，；
(2)求线段的长；
(3)点与点关于直线成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线．
17．（2022秋·山东临沂·八年级统考期末）如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是
(1)①请在图中画出平面直角坐标系；
②点C关于y轴的对称点的坐标是______
(2)设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点的坐标是______
②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；
③若为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n，的式子表示）．
18．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，两个村庄A、B在河的同侧，A、B两村到河的距离分别为千米，千米，千米.现要在河边上建造一水厂，向A、B两村送自来水（水管需直接到A、B村）.
(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）：
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
19．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，，点为边上异于，的一个动点，作点关于的对称点，连接，，交直线于点．
(1)若，，是边上的高线．
①求线段的长；
②当时，求线段的长；
(2)在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
19．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在中，，，，以为直角边在的上方作直角三角形，使，且，点是的中点，点从点出发，沿折线以的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为（s）．
(1)求证：；
(2)用含的式子表示的长；
(3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值；
(4)如图，在点运动的过程中，作点关于直线的对称点，连接，当所在直线与四边形的边垂直时，请直接写出的度数．
20．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）已知：在中，．点与点关于直线对称，连接交直线于点．
(1)当时，如图1．用等式表示，与的数量关系是： ，与的数量关系是： ；
(2)当是锐角()时，如图2；当是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
21．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，中，，点D为边中点，．作点B关于直线的对称点，连接交于点E，过点C作交直线于点F．
(1)依题意补全图形，并直接写出和的度数（用含的式子表示）；
(2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
22．（2022秋·北京·八年级北京市文汇中学校考期中）在等边的外侧作直线，，点C关于的对称点为D，连接、、．
(1)如图1，若，直接写出的度数；
(2)如图2，若，过点D作交直线于点E．
①依题意补全图形；
②求的度数（用含的代数式表示）；
③在变化的过程中，猜想与的数量关系，并证明．
题型3：旋转
类型1-利用旋转性质求解
（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数．
类型-2 坐标平面中的旋转变换
（2023秋·重庆永川·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，且点，．
(1)画出绕点О顺时针方向旋转后得到的并写出、的坐标；
(2)求点A在旋转过程中所走过的路径长．
类型-3与旋转有关的综合问题
（2023·陕西西安·校考一模）如图1，矩形的一边落在矩形的一边上，并且矩形矩形，其相似比为，矩形的边，．
(1)矩形的面积是 ；
(2)将图1中的矩形绕点逆时针旋转90°，若旋转过程中与夹角（图2中的）的正切的值为，两个矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式；
(3)将图1中的矩形绕点逆时针旋转一周，连接、，的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
类型-4 中心对称图形与轴对称图形
（2023春·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）剪纸文化是中国传统的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
综合训练
1．（2023·天津南开·南开翔宇学校校考一模）如图，是由绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在上，且，则的大小是（ ）
A．28°B．30°C．33°D．42°
2．（陕西省西安市2022—2023学年八年级下学期第一阶段学评检测数学试卷）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置也从A点运动到了B点，则的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
3．（2023春·江苏徐州·八年级徐州三十五中校考阶段练习）如图，将绕点A按逆时针方向旋转α，得到，若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角α的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ）
A．图①B．图②C．图③D．图④
6．（2022秋·全国·九年级专题练习）依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，△ABO是等边三角形，其中点O与原点重合，点B的坐标为（6，0），点A在反比例函数的图象上，数学兴趣小组对等边△ABO进行变换操作，得到如下结论：
①将等边△ABO沿AO方向平移6个单位长度，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；
②将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上；
③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，得到的位似图形恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；
④将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②④C．①③④D．①②③④
8．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，在正方形ABCD中，顶点，，点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点G的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A．B．C．D．
11．（2020秋·浙江·九年级期末）如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点续向右旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2020次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A．B．C．D．
12（2023·河南周口·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点到轴的距离为4．若将绕点逆时针旋转得到△，当点恰好落在轴正半轴上时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·河南南阳·校联考一模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第60秒时，点C的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将绕点B按逆时针方向旋转90°，则旋转后点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在等腰中，边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转，得到，若，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·广东广州·执信中学校考一模）如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（ ）
A．B．C．D．随若的变化而变化
18．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
19．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，B．2，C．2，D．3，
20．（2023·广东茂名·统考一模）下列图形是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
79．（2023·湖南娄底·校考一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
21．（2023·山西晋城·统考一模）位于四川省的三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其中出土的文物是宝贵的人类文化遗产，在中国的文物群体中，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一．下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023秋·重庆永川·九年级统考期末）下面四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2023春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考阶段练习）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．科克曲线
24．（2023·江西上饶·校联考一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为______．
25．（2023秋·四川广元·九年级统考期末）如图，在直角梯形中，，，，，以A为旋转中心将腰顺时针旋转至，连接，若．则的面积等于______．
26．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则的值为________．
27．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转后得到，依此方式，绕点连续旋转2023次得到，那么点的坐标是______________．
28．（2023·湖北咸宁·校联考一模）以原点为中心，把抛物线的顶点顺时针旋转，得到的点的坐标为______．
29．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末）如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为________．
30．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，一次性从中随机抽取两张，则抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的概率为______．
31．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，是边长为4cm的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接．
(1)求证：是等边三角形．
(2)当为直角三角形时，求t的值．
32．（2023秋·浙江·九年级期末）如图1，在中，，，点E是中点，四边形是正方形，连接，将正方形绕点D顺时针旋转（）如图2，在旋转过程中
(1)求证：
(2)当时，求的度数．
(3)当时，与交于点H，求的长．
34．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考一模）在等边中，点为的中点，点为上一点（不与、重合），连接、．
(1)将线段绕点顺时针旋转至，使点落在的延长线上，在图1中补全图形：
①求的度数；
②探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；
(2)将线段绕点旋转，在旋转过程中与边交于点，连接，若，当时，请直接写出的最小值．
35．（2022秋·安徽黄山·九年级统考期末）如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
(1)当时，通过上述旋转可得到三条线段、、之间的等量关系，请写出这个等量关系，并说明理由；
(2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（只填出探究结果即可）= ．
36．（2023·山东东营·东营市东营区实验中学校考一模）如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
当时，______；当时，______．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______．
7.2图形的平移、轴对称和旋转重难点题型讲练
题型1：平移
类型1-利用平移的性质求解
（2023·全国·九年级专题练习）如图，直角三角形的边长，将三角形平移得到三角形，边分别交，于点，当点为中点时，此时，则图中阴影部分的面积为 ___．
【答案】9
【分析】根据平移的性质可得，结合三角形的中位线可求解，的长，再利用图形的面积公式计算可求解．
【详解】解：由平移可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴是的中位线，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平移的性质，梯形，三角形的中位线，由平移的性质得是解题的关键．
类型2-利用平移的性质解决实际问题
（2023春·重庆渝北·七年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）动手操作：
(1)如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接，．
①线段平移的距离是________；
②四边形的面积是________；
(2)如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到．
③画出平移后的；
④连接，，多边形的面积是________
(3)拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．
【答案】(1)①；②；
(2)③见解析，④；
(3)平方米．
【分析】（1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可；
（2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可；
（3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长米，宽为b米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：①根据平移性质，线段平移的距离是；
②根据图形，四边形的面积为:；
故答案为：①；②；
（2）解：③如图所示，即为所求作；
④由图形知，，
∴多边形的面积为:
，
故答案为：；
（3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形，
长方形的长米，宽为b米，
则剩下的草坪面积是：，
故答案为：平方米．
【点睛】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键．
类型3-平移中的图形坐标
（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图所示的平面直角坐标系中，三角形 的顶点分别是 ，，．
(1)如果将三角形 向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度，得到三角形 ，则点的坐标为_____；点的坐标为_______；
(2)在平移过程中，线段扫过的面积是_____．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据平移规律“左减右加，上加下减”进行计算即可得；
（2）将扫过的图形进行分割，分割成两个平行四边形，进行计算即可得．
【详解】（1）解：三角形 的顶点分别是 ，，将三角形 向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度，
则点的坐标为；点的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：线段扫过的面积是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点平移的规律，图形平移产生的面积计算，解题的关键是掌握点平移的规律，平移后的图形分割不规则图形．
类型4-与平移有关的综合问题
（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．
(1)如图1，求点，的坐标及四边形的面积；
(2)如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
(3)如图2，点为与轴交点，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由；
【答案】(1)12；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）根据平移的性质求出点，的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形的面积；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）根据直线上点的坐标特征设出点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：（1）∵点，的坐标分别为，，线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，
∴点的坐标为，点的坐标为，，
∴四边形的面积；
（2）存在，
设点的坐标为，
由题意得：，
解得：，
∴点的坐标为或；
（3）设点的坐标为，
则，
由题意得：，
解得：或，
则点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是平移的性质、三角形的面积计算、点的坐标特征，根据平移变换的性质求出点，的坐标是解题的关键．
综合训练
1．（2023春·八年级单元测试）如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】连接，根据平移的性质可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
2．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）要用一根铁丝弯成如图所示的铁框，其中，且．若，则这根铁丝至少长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定和性质，平移不改变图形的形状和大小，求出弯曲部分的长即可．
【详解】解：∵，且．
∴，，
由平移的性质，则
，，
∴这根铁丝至少的长度为：；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
3．（2023春·河北衡水·七年级校考阶段练习）在下列说法中：
①在平移过程中，对应线段一定相等；
②在平移过程中，对应线段一定平行；
③在平移过程中，周长保持不变；
④在平移过程中，对应边中点的所连线段的长等于平移的距离；
⑤在平移过程中，面积不变；其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③④⑤C．①②③⑤D．①③④⑤
【答案】D
【分析】根据平移性质逐个小题进行分析判断即可得解．
【详解】解:：①在平移的过程中，对应线段一定相等，正确；
②在平移过程中，对应线段一定平行或在同一直线上，故本小题错误；
③在平移过程中，周长保持不变，正确；
④在平移过程中，对应边中点的连线的长度等于平移的距离，正确；
⑤在平移过程中，面积不变，正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故选D．
【点睛】本题考查了平移的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
4．（2023春·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，长方形ABCD的对角线，则图中五个小长方形的周长之和为（ ）
A．7B．9C．14D．18
【答案】C
【分析】把图中五个小长方形的边长进行平移，可得到图中五个小长方形的周长之和等于长方形的周长．
【详解】解：根据平移性质，图中五个小长方形的周长之和为．
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等
5．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，，，，将沿所在直线向右平移得到，连接．若，则线段的长为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据平移的性质可得，，再根据可得是等边三角形，即可求出的长.
【详解】解：由平移的性质可得，，
∵，，
∴，
，
∴是等边三角形，
.
故选：B
【点睛】本题主要考查了平移的性质和等边三角形的判定，平移前后对应边相等，对应角相等,“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，熟练掌握以上知识是解题的关键.
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，在长为xm，宽为ym的长方形草地ABCD中有两条小路，和、为W状，为平行四边形状，每条小路的右边线都是由小路左边线右移1m得到的，则三块草地面积之和为( )
A．xy-2yB．xy-2xC．(x-1)(y-1)D．xy
【答案】A
【分析】利用平移道路的方法计算小路的面积，进而得出答案．
【详解】解：根据题意可得：小路的面积为：xy-（x-1）y=xy-xy+y=y；
小路的面积为：xy-（x-1）y=xy-xy+y=y，
故三块草地面积之和为：xy-2y．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确理解平移的性质是解题的关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）某校为了美化校园，在长方形场地上修筑两条互相垂直的道路，即GH⊥EF（如图所示），余下部分作草坪，根据图中数据，则草坪面积为（ ）
A．小于8B．大于8C．8D．以上均不正确
【答案】A
【分析】根据平移的性质可得草坪面积等于矩形面积减去空白部分面积，求出判断即可．
【详解】解：


∵GH⊥EF，
∴小路重叠的长方形长与宽均小于1，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了平移的性质，垂线段最短，熟练掌握平移的性质是解本题的关键．
8．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是，，，，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移5个单位B．将C向左平移5个单位
C．将D向左平移7个单位D．将C向左平移9个单位
【答案】D
【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【详解】解：∵点关于y轴对称点为，
点关于y轴对称点坐标为，
需要将点向左平移个单位，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
9．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，⋯，按此作法进行下去，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】观察图象可知，偶数点在第一象限，由题意得…，可得，即可求解．
【详解】解：由题意得，偶数点在第一象限，
∵水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点，
∴，
同理可得，…
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化一平移，规律型等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
10．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，，若将线段平移至线段，则的值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴是点A向右平移个单位得到；
∵，，
∴点是点B向下平移个单位得到；
∴线段是线段先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到，
故，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的平移、点的平移，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键．
11．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）在直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出的坐标，再根据点坐标平移规律求出的坐标即可．
【详解】解：∵点关于x轴的对称点为，
∴的坐标为，
∵将点向左平移3个单位得到点，
∴的坐标为，即，
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和轴对称，正确求出的坐标是解题的关键．
12．（2023春·重庆渝北·七年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）如图，已知中，，，把沿射线方向平移至后，平移距离，，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】9
【分析】根据平移的性质和梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵沿射线方向平移至后，，平移距离为2，，，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查平移的实际应用，根据题意找到平移对应的线段长，找到是解决问题的关键．
13．（2023·广东佛山·校考一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为，若，则的值为___________．
【答案】
【分析】设与交于点，与交于点，由，及中线的性质得，，可证，则由可得．
【详解】如图，设与交于点，与交于点，
，，且为边上的中线，
，，
将沿边上的中线平移到，
，
，
，
解得（负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
14．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在中，，将平移个单位长度得到，点、分别是、的中点，的取值范围__．
【答案】
【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：如图，取的中点，的中点，连接，，，，
∵将平移个单位长度得到，，
∴，，
∵点、分别是、的中点，
∴，
∴，即，
∴的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平移的性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
15．（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移后，得到直角三角形，已知，，，则阴影部分的面积为______．
【答案】16
【分析】根据平移的性质可知：，，为和的公共部分，所以，所以求梯形的面积即可．
【详解】解：由平移的性质知，，，
为和的公共部分，
，
，
是梯形的高；
，
．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了平移的性质．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
16．（2023春·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为1米，则绿化的面积为______．
【答案】375
【分析】把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果．
【详解】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形．
（米），（米），
矩形的面积（平方米）．
答：绿化的面积为．
故答案为：375．
【点睛】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个矩形，是解决本题的关键．
17．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第四十二中学校考阶段练习）如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要______米．
【答案】18
【分析】据平移的性质，地毯的长度实际是所有台阶的长加上台阶的高，因此结合题目的条件可得出答案．
【详解】解：根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的水平长度＋台阶的高， 则红地毯至少要(米)．
故答案为：．
【点睛】本题考查了生活中平移知识的应用，比较简单，解决本题的关键是利用平移的性质，把地毯长度转化为台阶的水平长度＋台阶的高．
18．（2022秋·八年级单元测试）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知米．米．则展板的面积为 _____，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3）_____元．
【答案】 12平方米 3660
【分析】两头的扇形正好把中间的半圆补上，整个图形是一个长方形，据此列出代数式，把a，b的值代入求值即可；分别求出摆放花草部分造价，展板部分造价即可解决问题．
【详解】解：由题意：展板的面积＝（平方米），
当米，米时，展板的面积＝12（平方米）．
制作整个造型的造价＝（元）．
故答案为：12平方米；3660．
【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称图形，圆的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．设平移的距离为，两个三角形重叠部分(阴影四边形)的面积为
(1)当时，求的值．
(2)试写出与间的函数关系式，并求的最大值．
(3)是否存在的值，使重叠部分的四边形的相邻两边之比为：？如果存在，请求出此时的平移距离；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，最大值为
(3)或
【分析】（1）由正方形的性质得到和都为直角边为的等腰直角三角形，从而判定出也为等腰直角三角形，得到，从而得到的长，由四边形的面积公式底乘以高的一半即可求出；
（2）同理得到从而得到的长为，由四边形的面积公式底乘以高的一半即可表示出，根据二次函数的性质即可求解；
（3）由正方形的性质得到和都为等腰直角三角形，根据直角边方程为和，分别表示出邻边和，进而表示出两者之比等于已知的比值，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】（1）解：如图所示，
由题意可知和都为等腰直角三角形，且，
，又由平移可知，
也为等腰直角三角形， ，
，
又∵，
；
（2）由题意可知和都为等腰直角三角形，
，又由平移可知，
也为等腰直角三角形，

，
当时，有最大值，其最大值为；
（3）存在．理由如下：
由题意得到和都为等腰直角三角形，
，
，
或，
解得：或，
或时，
重叠部分的四边形的相邻两边之比为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
20．（2022·贵州遵义·统考一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为米，剩余部分为绿化．
(1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含的代数式表示）．
(2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．
【答案】(1)，
(2)1米
【分析】（1）道路①根据长方形的面积公式求解即可，道路②利用平移，可转化为道路①求解；
（2）设道路的宽x米，则余下部分可合成长为m，宽为m的长方形，根据草坪的面积为551平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）解∶道路①的面积为平方米，道路②的面积为平方米
（2）解：根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）
答：道路的宽度为1米．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
21．（2022秋·四川凉山·九年级校考阶段练习）有一块长为，宽为的矩形场地，计划在该场地上修建宽均为的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．
(1)已知，，且四块草坪的面积和为，则每条道路的宽x为多少米？
(2)已知，，且四块草坪的面积和为，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？
(3)已知，，要在场地上修建宽均为的纵横小路，场地中有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为，则______（直接写出答案）．
【答案】(1)
(2)原来矩形场地的长为，宽为
(3)32
【分析】（1）将四块矩形场地拼成一个长方形，表示出长和宽，根据面积为列一元二次方程，解方程即可；
（2）由题意，四块矩形场地可拼合成一个长为，宽为的矩形，根据面积为列一元二次方程，解方程即可；
（3）草坪可拼合成相邻两边分别为，的矩形，则，即，将30分解为，令分别等于2，3，4，5，6，求出m和n的值，再根据题意进行取舍即可．
【详解】（1）解：四块矩形场地可拼合成一个长为，宽为的矩形．
依题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽x为．
（2）解：四块矩形场地可拼合成一个长为，宽为的矩形．
依题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
∴．
答：原来矩形场地的长为，宽为．
（3）解：草坪可拼合成相邻两边分别为，的矩形．
依题意，得，即．
，
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，；
当时，，，不满足，舍去；
当时，，，不满足，舍去．
．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及因数倍数，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将30分解质因数．
22．（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米20元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示，请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？
【答案】840元
【分析】利用线段平移的性质结合地毯面积的计算公式求解．
【详解】解： (元)
【点睛】此题考查了学生对线段平移的应用，掌握平移线段的性质是解题的关键．
23．（2022春·山东日照·七年级日照市新营中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，．
(1)把A、B、C三点的坐标，在坐标系中描出来，画出三角形；
(2)把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形；写出平移后三点的坐标，画出三角形；
(3)在x轴上是否存在点Q，使的面积与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)作图见解析；
(2)，，，作图见解析；
(3)存在，或．
【分析】（1）依题意在坐标系中找到点，顺次连接即可；
（2）按照平移规律进行平移，找到对应点并顺次连接即可；
（3）先求出的面积，再由面积相等求出即可求解．
【详解】（1）解：如图：
（2）如图：
，，；
（3）存在，如图，
，，
或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标系内图形的平移及等积法求边长即坐标；解题的关键是熟练掌握坐标与图形的关系．
24．（2023春·八年级课时练习）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，两点的坐标分别为，．将先向右平移4个单位后，再向下平移个单位，得到．
(1)请你直接写出点，的坐标；
(2)平行四边形与的重叠部分的形状是_____，重叠部分的面积是_____；
(3)在平面内是否存在一点D，使得以O，，，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)平行四边形；
(3)存在，点D的坐标是或或
【分析】（1）由平移的性质即可得出答案．
（2）过点B作轴于点E，由平行四边形的性质和平移的性质可得，，即可求解．
（3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）解： ∵先向右平移4个单位后，再向下平移个单位，得到，
∴点，点向右平移4个单位后，再向下平移个单位分别得到，，
∵，，
∴，．
故答案为：，．
（2）解：过点B作轴于点E，
∵四边形和四边形是平行四边形，
∴，，
∵经平移得到，
∴，
∴，
同理，
∴与的重叠部分的形状是平行四边形，
∵点A的坐标为，
∴，
∵点C的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵，
∴点在线段上，，．
∴点是线段的中点，
∵轴，
∴点G平分线段
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在点D，使以O，，，D为顶点的四边形是平行四边形，
如图，当为平行四边形的边时，，，，
①四边形为平行四边形，
∵点向左平移2个单位，再向平移3个单位后得到，
∴点O向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到D，
∴
②四边形为平行四边形，
∵点向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到，
∴点O向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到D，
∴；
当为平行四边形的对角线时，即为平行四边形的边时，
∵点O向右平移2个单位，再向上平移个单位后得到，
∴点向右平移2个单位，再向上平移个单位后得到D，
∴，
综上所述，点D的坐标是或或．
【点睛】本题考查了几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论思想是解题的关键．
25．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）的三个项点的坐标分别为．
(1)在所给的平面直角坐标系中画出；
(2)将沿某一方向平移得到，使平移后的点均落在坐标轴的正半轴上，画出平移后的；
(3)在（2）的条件下，为边上一点，在平移后的上，点P的对应点的坐标为_____________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据点的坐标，描出点，再依次连接即可；
（2）根据均落在坐标轴的正半轴上，找到点A，点B的对应点，从而确定点C对应点的位置，画出图形即可；
（3）根据（2）中的位置将平移方式分解，从而得到点P对应点的坐标．
【详解】（1）解：如图即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）（2）中平移方式可分解为：将向右平移3个单位，向上平移3个单位，
∴将按此方式平移可得．
【点睛】本题考查了坐标系中的点，坐标与图形变化—平移，平移—作图，解题的关键是正确得到平移的位置，由此判断平移方式．
26．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知小正方形的边长为厘米，大正方形的边长为厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求小正方形平移的时间；
(3)当时，求小正方形一条对角线扫过的面积．
【答案】(1)平方厘米
(2)小正方形平移的时间为秒或秒
(3)面积为平方厘米
【分析】（1）根据小正方形的运动速度和时间即可求得重叠部分的面积；
（2）根据重叠部分的面积可知运动的总路程，再根据本时间、速度、路程之间的关系分情况即可求得小正方形平移的时间；
（3）根据时，重叠部分正方形的对角线平移的的路线即可得到其面积．
【详解】（1）解：∵小正方形以厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为秒，
∴小正方形平移的距离：厘米，
∴大正方形与小正方形重叠部分的面积为：平方厘米，
∵秒，
∴平方厘米．
（2）解：等于时，重叠部分宽为厘米，
①如图，小正方形平移距离为厘米；
②如图，小正方形平移距离为厘米，
∴小正方形平移的距离为厘米或厘米，
∴秒或秒，
综上所述，小正方形平移的时间为秒或秒；
（3）解：如图所示，当时，小正方形的一条对角线扫过的面积为红色平行四边形，
面积为平方厘米．
【点睛】本题考查了正方形及平移的性质，明确平移前后图形的形状和面积不变是解题的关键．
27．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，点B在y轴的正半轴上，，矩形的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，．
(1)如图，求点E的坐标；
(2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点D，O，C，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为．如图，当矩形与重叠部分为五边形时，、分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围．
【答案】(1)点E的坐标为
(2)
【分析】（1）由点和，得，在中，由勾股定理得，则可求出点E坐标；
（2）由平移可知，，，由平行可知，在 中由勾股定理得，，则，从而可用含有t的式子表示s.
【详解】（1）解：由点，得，又，
∴
在矩形中，，
∴
∴在中，，
∴，即
∴点E的坐标为；
（2）由平移可知，，，．
∵，
∴
在中，．
∴由勾股定理得
∴，
则
∴，其中t的取值范围是：.
【点睛】本题考查平面直角坐标系与几何图形综合，勾股定理，平移的性质，充分利用数形结合思想是解决本题的关键．
28．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，，，，，．
(1)求的面积；
(2)如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值；
(3)如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由非负数的性质求出，求出，由三点的坐标可求出答案；
（2）根据三角形的面积关系可得出答案；
（3）连接，设，由三角形面积关系得出，由平移的性质得出，根据三角形的面积关系可求出答案．
【详解】（1），，，
，，
，，
，
，，，
，，
；
（2）由题意知：，，
，
，
．
（3）连接，，
设，
，
，
，
点向右平移个单位长度得到点，
，
，
，
，
，
【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
29．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）将两个能完全重合的等腰直角三角板按图①所示的位置放置，其中，边在同一条直线上，点A与点F重合，点E与点B在点的两侧．现将三角板沿射线方向平移，如图②所示，在平移的过程中始终保持边在同一条直线上，平移至点F和点B重合时停止运动．设平移的距离为．
(1)________；
(2)当________时，点C落在边上；当________时，点C落在边上；
(3)设在平移的过程中，两个三角板重合部分的图形的面积为，求出S关于x的函数关系式．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解；
（2）根据点的位置，分4种情况讨论，分别求得重叠面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
（2）∵，
∴当点在的中点时，即当时，点C落在上，
当点C落在边上时，；
即当时，点C落在边上；
故答案为：，．
（3）解：如图所示，
设交于点，
由（2）可得，当时，重合面积为的面积，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
当时，如图所示，
；
当重合时，此时，
当时，
如图所示，设交分别为，依题意，是等腰直角三角形，
当时，
如图所示，
∴
∴
【点睛】本题考查了动点问题的 二次函数关系式，勾股定理，平移的性质，分类讨论是解题的关键．
30（2023·全国·九年级专题练习）如图，三角形的三个顶点坐标分别是：，直线上的点的横坐标、纵坐标满足．
(1)如图1，三角形经平移变换后得到三角形，三角形内任意一点，在三角形内的对应点是．请直接写出此时点、、的坐标；
(2)如图2，在（1）的条件下，若三角形的两条直角边、分别与交于点、，求此时图中阴影部分的面积；
(3)在（2）的条件下，延长交轴于点，在x轴上有一动点，从点D出发，沿着x轴负方向以每秒两个单位长度运动，连接，若点P的运动时间是t，是否存在某一时刻，使三角形的面积等于阴影部分的面积的，若存在，求出t值和此时的长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)的坐标分别为
(2)阴影部分的面积
(3)存在，，理由见解析
【分析】（1）根据平移的性质即可求解；
（2）阴影部分的面积＝的面积﹣的面积＝的面积﹣的面积，即可求解；
（3）利用，用含有的代数式表示的坐标，进而表示出和的面积，列方程即可求解．
【详解】（1）点平移后对应点是，则三角形向右平移了2个单位向上平移了1个单位，
故点、、均向右平移了2个单位向上平移了1个单位，
故、、的坐标分别为；
（2）∵点和点的横坐标相同，将代入，
解得：，故点，
点和点的纵坐标相同，将代入，
解得：，故点，
则，
图中阴影部分的面积＝的面积﹣的面积＝的面积﹣的面积；
（3）存在，理由：
设直线交直线于点，
∵点的运动时间是t，则点，
而点，
设直线的表达式为，则，解得，
故的表达式为，
当时，则，
解得：，即点，
则，
，
解得：（舍去）或，
故，此时．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，熟练掌握一次函数的性质、图形的平移、面积的计算是解决本题的关键．
题型2：轴对称
类型-1 利用轴对称性质求解
（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，则，根据折叠可知，，从而得到是等边三角形，进而得到，，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，则，
∵将扇形沿着过点B的直线折叠，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长；
故选：C．
【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．
类型-2 坐标平面中的轴对称变换
（2023·广西桂林·统考一模）如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为；
(3)直接写出点，的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）根据轴对称变换：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标是原来相反数的性质找出对应点，再一次连接即可；
（2）根据位似变换的性质：位似图形的对应点到位似中心的距离之比为相似比，找出对应点即可，再一次连接即可；
（3）根据关于y轴对称的点的特征，即可写出的坐标，根据位似图形的性质，即可写出的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）由图可知：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵与位似，且位似比为
∴，
∴．
综上：，．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，利用位似变换作图，根据网络结构的特点，准确找出对应点的位置是解题的关键．
类型-3与轴对称有关的综合问题
（2023·河北石家庄·统考一模）如图，已知的面积，，M为边上一动点（M与点A、B不重合），过点M作，交于点N，设．
(1)的边的高______；的面积______（用含x的代数式表示）
(2)把沿折叠，设折叠后点A的对应点为，与四边形重叠部分的面积为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的范围；
②当x为何值时重叠部分的面积y最大，最大值是多少？
【答案】(1)5，
(2)①；；②当时y有最大值，最大值是
【分析】（1）第一空代入三角形面积公式即可；第二问用相似三角形的性质即可；
（2）①利用全等即可求出时的函数解析式；②利用相似时的函数解析式，再利用二次函数最大值求法求解即可
【详解】（1）∵，
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：①∵，
∴点在四边形BCNM内（如图2），
即时，有；
②当点在四边形MBCN外部或BC边上（如图3），即时，
设、与BC分别相交于E、F两点，的BC边上的高为h，的MN边上的高为，的EF边上的高为，则有，．
∴，∴．
∴．
∵，∴，
∴，即．
∴．
∴．即．
当时，；
∴当时y有最大值，最大值是．
【点睛】本题考查三角形折叠问题与二次函数的性质的综合应用，数形结合思想的应用是解题的关键．
综合训练
1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由翻折可知，再利用即可得出答案．
【详解】解：由翻折知，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、长方形的性质等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．
2．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）如图，中，，是中线，，将沿折叠至，则点C到的距离是（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】A
【分析】先由中线的定义得到，再由折叠的性质得到，进而证明是等边三角形，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵是中线，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点C到的距离是4，
故选A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，证明是等边三角形是解题的关键．
3．（2023春·天津河北·九年级天津二中校考阶段练习）如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，连接，将菱形翻折，使点落在线段上的点处，折痕交于，则线段的长为（ ）
A．B．4C．5D．
【答案】A
【分析】过点作，交延长线于点，根据在边长为4的菱形中，，是边的中点，得到，从而得到，，进而利用锐角三角函数关系求出的长，利用勾股定理求得的长，即可得出的长．
【详解】解：如图所示，过点作，交延长线于点，
∵在边长为4的菱形中，，是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解．
4．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若点，关于x轴对称，则a，b的值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：∵点，关于x轴对称，
∴，，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．
5．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，在中，，，，动点M，N分别在边，上则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
【答案】D
【分析】如图，作点C关于直线的对称点P，过点P作于点N，交于点M，连接，此时最小，再通过解直角三角形求出的长即可
【详解】如图，作点C关于直线的对称点P，过点P作于点N，交于点M，连接，此时最小.
在中，∵，，，
∴，
∴.
又∵，
∴，解得.
由对称得，.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为
故选：D
【点睛】本题考查了线路最短的问题，确定动点P的位置时，使的值最小是关键．
6．（2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为_______．
【答案】
【分析】过点作的垂线段，交于点，根据题意，可得为等腰直角三角形，再根据翻折可得，，，求出，再设，根据勾股定理求出的长，即可得到的长．
【详解】
解：如图，过点作的垂线段，交于点，
，，
为等腰直角三角形，,
，
，
设，则根据翻折，
，
在中，，
可得方程，
解得：，
将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，根据勾股定理列方程求解问题，翻折问题，正确的作出辅助线，一步一步推论是解题的关键．
7．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图所示，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点F，若的周长为8，的周长为，则的长为__．
【答案】
【分析】由平行四边形可得对边相等，可得，，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得的长．
【详解】解：由折叠可得，，．
∵的周长为8，的周长为，
∴，．
∴平行四边形的周长，
∴
∵的周长为
∴．
故填：．
【点睛】本题考查轴对称和平行四边形的性质，熟练掌握轴对称图形沿某直线翻折后能够相互重合、及平行四边形对边平行且相等的性质是解此题的关键．
8．（2023·浙江·模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上一点，将沿所在直线翻折得到，连接．当N为边的中点时，的长度为___________；点N在边上运动的过程中，长度的最小值为___________．
【答案】 7−1##-1+7
【分析】①连接、，先证明点三点共线，再说明是等边三角形，再利用三角函数即可解答；②先说明长度的最小值时，点应在上，过点M作，交延长线于点F，再利用勾股定理即可求出．
【详解】①连接、
∵将沿所在直线翻折得到
∴
∵M是边的中点，N为边的中点
∴是中位线
∴
∴
∴点三点共线
∵四边形为菱形
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
故答案为
∵是定值
∴长度的最小值时，点应在上，过点M作，交延长线于点F．
则有，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为；．
【点睛】本题考查了菱形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
9．（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点D′在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于D′，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论．
【详解】解：在边长为4的菱形中，，
∴，，
将沿射线的方向平移得到，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的最小值的最小值，
∵点在过点且平行于的定直线上，
∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
11．（2022秋·江苏徐州·八年级统考阶段练习）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______．
【答案】##60度
【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答．
【详解】解：连接，，，如图，
∵点P关于的对称点，
∴，，
∴平分，
∴，
同理可证明：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键．
12．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的F处，折痕为.已知.
(1)求证：.
(2)求.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据折叠性质和等腰三角形性质得出，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可；
（2）根据折叠性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）由折叠性质，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵
∴
∴
在中，，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查折叠性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余、勾股定理，熟练掌握折叠性质和等腰三角形的性质，利用勾股定理建立方程思想是解答的关键．
13．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）平面直角坐标系中，每个小网格是长度为1个单位的小正方形，已知点，点．
完成下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出；
(2)在图中画出关于x轴的对称图形；
(3)在x轴上存在一点P，使得的值最小，请在图中画出点P（不必写过程，但要保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据点的坐标，在平面直角坐标系中分别描出点A、B，再连接、、即可；
（2）分别画出点A、B关于x轴的对称点、，再连接，，即可；
（3）画出点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点p，则点P即为所要求画的．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，
（3）解：如图所示，点P即为所求，
∵点B与点关于x轴的对称点，
∴，
∴，
根据两点间线段最短，此时，值最小，最小值等于线段长度．
【点睛】本题考查根据坐标画点，作轴对称图形，最短距离问题，熟练掌握利用轴对称性质求最小值的作图是解题的关键．
14．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）图①为长方形纸带，将长方形纸带的端沿折叠成图②，点折至、点折至，
(1)若，则图． 中的度数是多少？
(2)将纸带的 端沿折叠成图③，点折至，点折至，若，用表示．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据长方形的对边是平行的，所以；在四边形中，，即可得出；
（2）根据（1）的结论，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴
由对折可知：，
在四边形中，，
；
（2）解：时，与（1）同理，，，
则，
∴．
当
∵，，
∴
由对折可知：，
在四边形中，，
∵，，
∴．
综上所述或
【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)已知和关于x轴对称，点，，分别是点A，B，C的对称点，请直接写出点，，的坐标；
(2)在图中画出关于y轴对称的．
【答案】(1)，，
(2)见解析
【分析】（1）根据坐标系确定三个点的坐标，然后求出关于x轴对称的点的坐标即可；
（2）先确定关于y轴对称的点，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：由图得：
∴，，；
（2）解：如图所示：即为所求．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，轴对称图形的作法，熟练掌握关于坐标轴对称的点的特点是解题关键．
16．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有，，三点的坐标分别为，，．
(1)在平面直角坐标系中描出，，三点，连接，，；
(2)求线段的长；
(3)点与点关于直线成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据三点的坐标描点，然后再连线即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）利用网格的特点，作直线的垂直平分线即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：如图，直线即为所求．
【点睛】本题考查了点的坐标、作图—轴对称变换、两点之间的距离公式、网格的特点，解本题的关键在正确作图，并熟练掌握网格的特点．
17．（2022秋·山东临沂·八年级统考期末）如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是
(1)①请在图中画出平面直角坐标系；
②点C关于y轴的对称点的坐标是______
(2)设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点的坐标是______
②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；
③若为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n，的式子表示）．
【答案】(1)①见解析；②
(2)①；②见解析；③．
【分析】（1）①根据A，B两点坐标作出平面直角坐标系即可；
②根据轴对称的性质解决问题即可；
（2）①利用轴对称的性质解决问题；
②作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求；
③利用中点坐标公式解决问题即可．
【详解】（1）解：①建立的直角坐标系如图所示；
；
②，．
故答案为：；
（2）解：①；
故答案为：；
②如图，点P即为所求；
③设，则有，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图－复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，两个村庄A、B在河的同侧，A、B两村到河的距离分别为千米，千米，千米.现要在河边上建造一水厂，向A、B两村送自来水（水管需直接到A、B村）.
(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）：
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
【答案】(1)见解析
(2)元
【分析】（1）属于“将军饮马”类型的题目，作点A的对称点E，连接，与的交点的位置就是修建水厂的位置
（2）先作出直角三角形，再利用勾股定理即可
【详解】（1）如图，作点A的对称点E，连接，交于点P，点P的位置就是修建水厂的位置
（2）如图，过点E，作的垂线，交的延长线于点F
元
答：最节省的铺设水管的费用为元
【点睛】本题考查“将军饮马”类型题的作图，以及勾股定理，准确作图是解题的关键
19．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，，点为边上异于，的一个动点，作点关于的对称点，连接，，交直线于点．
(1)若，，是边上的高线．
①求线段的长；
②当时，求线段的长；
(2)在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】(1)①；②
(2)或
【分析】（1）①根据题意，作出高线，利用等面积法列等式求解即可得到答案；
②根据对称性，结合①中即可得到；
（2）根据是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；结合条件求解即可得到答案．
【详解】（1）解：①如图所示：
在中，，，，
，
是边上的高线，
，即，解得；
②根据题意，如图所示：
点关于对称点为，
，
由①知，则，
；
（2）解：如图所示：
由是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；
①，
点关于对称点为，
，
在中，，
是的一个外角，
，即；
②，
点关于对称点为，
，
在中，，
是的一个外角，
，即；
③，
点关于对称点为，
，
是的一个外角，
，即（舍弃）；
综上所述，在的情况下，当是等腰三角形时，或．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及勾股定理、等面积法求高、对称性质、等腰三角形性质、三角形内角和、三角形外角性质等知识，熟练掌握三角形相关性质，作出辅助线是解决问题的关键．
19．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在中，，，，以为直角边在的上方作直角三角形，使，且，点是的中点，点从点出发，沿折线以的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为（s）．
(1)求证：；
(2)用含的式子表示的长；
(3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值；
(4)如图，在点运动的过程中，作点关于直线的对称点，连接，当所在直线与四边形的边垂直时，请直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)当时，；当时，
(3)或
(4)的度数为或或或
【分析】（1）易证，再由平行线的性质得到，然后由ASA得到即可；
（2）先由含角直角三角形的性质得cm，当点在上运动时，则，当点在上运动时，；
（3）先求出四边形的周长为12cm，cm，再由将四边形的周长分成两部分可列方程或，即可求解；
（4）先证，再分四种情况讨论：当，且点在上时；当，且点在上时；当，且点在上时；当，且点在上时；分别求出相应的的度数即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
（ASA）；
（2）解：，
，
，
（cm），
，
，
（cm），
当时，；当时，；
（3）解：，
，
（cm），
为的中点，
（cm），
将四边形的周长分成两部分，
或，
解得：或；
（4）解：点与点关于直线成轴对称，
点、点都在对称轴上，
与关于直线成轴对称，
，
当，且点在上时，如图所示：
，
，
；
当，且点在上时，如图所示：
，
；
当，且点在上时，如图所示：
延长交于点，则，
，
，
，
，
当，且点在上时，如图所示：
，
，
综上所述，的度数为或或或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角形内角和定理及其推论、平行线的性质以及分类讨论等知识，此题综合性较强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
20．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）已知：在中，．点与点关于直线对称，连接交直线于点．
(1)当时，如图1．用等式表示，与的数量关系是： ，与的数量关系是： ；
(2)当是锐角()时，如图2；当是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①；见解析；②，证明见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质，得出，，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，，进而得出；
（2）在图2，图3中任选一种情况，补全图形，根据等腰三角形的性质，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：，点与点关于直线对称，
，，，
则
，，
，，
∴．
故答案为：；．
（2）选择图2时．
①补全图形如图2，
图2
②数量关系：．
证明：在上取点，使，连接．
点与点关于直线对称，
，．
，．．
， ．
，
．
，
．
．
．
，
．
选择图3时．
①补全图形如图3，
图3-
②数量关系：．
证明：在的延长线上取点，使，连接．
点与点关于直线对称，
，．
，．
， ．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
21．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，中，，点D为边中点，．作点B关于直线的对称点，连接交于点E，过点C作交直线于点F．
(1)依题意补全图形，并直接写出和的度数（用含的式子表示）；
(2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)图见解析，，；
(2)，证明见解析．
【分析】（1）根据题意，补全图形，再利用轴对称的性质以及平行线的性质，求解即可；
（2）连接，通过平行线的性质证明，得到，即可求证．
【详解】（1）解：如下图所示：
由题意可得：，，
∴为等腰三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2），证明如下：
连接，如下图：
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【点睛】此题考查了轴对称的性质，平行线的判定与性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
22．（2022秋·北京·八年级北京市文汇中学校考期中）在等边的外侧作直线，，点C关于的对称点为D，连接、、．
(1)如图1，若，直接写出的度数；
(2)如图2，若，过点D作交直线于点E．
①依题意补全图形；
②求的度数（用含的代数式表示）；
③在变化的过程中，猜想与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①补全图形见解析；②；③，证明见解析
【分析】（1）根据对称性和等边三角形的性质即可求解；
（2）①根据已知条件进行作图即可；②根据对称性和等边三角形的性质即可求解；③根据等边三角形的性质和直角三角形的性质证明两个三角形全等即可证明．
【详解】（1）解：点关于对称点为，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
答：的度数为．
（2）解：①如图即为补全的图形．
②如图，同（1），，
，
=AC，
．
答：的度数为．
③，，
，
，
，
点关于对称点为，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了复杂作图、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、对称性，解决本题的关键是综合以上知识．
题型3：旋转
类型1-利用旋转性质求解
（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据条件证出，即可得证．
（2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可．
【详解】（1）解：证明：∵绕点B按逆时针方向旋转，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴．
（2）解：由旋转可得：，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键．
类型-2 坐标平面中的旋转变换
（2023秋·重庆永川·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，且点，．
(1)画出绕点О顺时针方向旋转后得到的并写出、的坐标；
(2)求点A在旋转过程中所走过的路径长．
【答案】(1)画图见解析，，
(2)
【分析】（1）补成网格结构，找出点、的位置，然后顺次连接，根据平面直角坐标系写出点、的坐标即可；
（2）利用勾股定理列式求出的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解：如图所示；
其中，；
（2）由勾股定理得，，
所以，点在旋转过程中所走过的路径长．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，在平面直角坐标系中准确确定出对应点的位置是解题的关键．
类型-3与旋转有关的综合问题
（2023·陕西西安·校考一模）如图1，矩形的一边落在矩形的一边上，并且矩形矩形，其相似比为，矩形的边，．
(1)矩形的面积是 ；
(2)将图1中的矩形绕点逆时针旋转90°，若旋转过程中与夹角（图2中的）的正切的值为，两个矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式；
(3)将图1中的矩形绕点逆时针旋转一周，连接、，的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，最大值为，最小值为
【分析】（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可得出答案；
（2）先求出矩形的边长为、，再分①当时，重叠部分是直角三角形和②当时，重叠部分是四边形，矩形剩余部分是直角三角形两种情况求解；
（3）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以的边上的高就是点到的距离，也就是到圆上的点的距离，最大值为点O到的距离与圆的半径的和，最小值为点O到的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可得出答案．
【详解】（1）矩形矩形，其相似比为，
（2）矩形矩形，其相似比为，矩形的边，
，
①当时，重叠部分是直角三角形，如图
；
②当时，重叠部分是四边形，如图
，
（3）存在
，
点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
解得
当点E到的距离为时，的面积有最大值，
当点E到的距离为时，的面积有最小值，
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分情况讨论的思想，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，熟练掌握性质是解题的关键．
类型-4 中心对称图形与轴对称图形
（2023春·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）剪纸文化是中国传统的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
综合训练
1．（2023·天津南开·南开翔宇学校校考一模）如图，是由绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在上，且，则的大小是（ ）
A．28°B．30°C．33°D．42°
【答案】C
【分析】先由旋转的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，接着求出，即可利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（陕西省西安市2022—2023学年八年级下学期第一阶段学评检测数学试卷）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置也从A点运动到了B点，则的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】C
【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
【详解】解：∵秋千旋转了，小林的位置也从A点运动到了B点，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
3．（2023春·江苏徐州·八年级徐州三十五中校考阶段练习）如图，将绕点A按逆时针方向旋转α，得到，若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角α的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和即可求解．
【详解】解：绕点A按逆时针方向旋转α，得到，
，
，，
，
，
，
故选：D ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可．
【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度数是．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和旋转的性质．求出是解题的关键．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ）
A．图①B．图②C．图③D．图④
【答案】B
【分析】探究规律后利用规律解决问题即可．
【详解】观察图形可知每4次循环一次，，
∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题．
6．（2022秋·全国·九年级专题练习）依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图形规律可知，从左到右是依次顺时针旋转图形，据此即可求解．
【详解】解：由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形，
∴第四个图形是D．
故答案为：D
【点睛】本题考查了旋转的性质，根据三个图形找出旋转的规律是解题关键．
7．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，△ABO是等边三角形，其中点O与原点重合，点B的坐标为（6，0），点A在反比例函数的图象上，数学兴趣小组对等边△ABO进行变换操作，得到如下结论：
①将等边△ABO沿AO方向平移6个单位长度，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；
②将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上；
③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，得到的位似图形恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；
④将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的对称性，通过画出相应图形，可得出结论．
【详解】解：过点A作AH⊥OB于点H，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=OA=OB=6，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°
∴OH=3，
∴A的坐标为（ ， ）
∴反比例函数表达式为
①如图所示，△ABO沿AO方向平移6个单位长度，点A恰好与O重合，点O平移到E点，此时OE=OA=6，
∴A、E关于原点对称，
∴点E在反比例函数图象上，①正确．
②若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，点A恰好落在y轴上（0，6），此时，点B恰好落在（ ， ），
∵
∴B的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转60°，点B恰好落在（ ， ）处，在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转180°，点A恰好落在（- ，- ），
∵
∴A的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转210°，点A恰好落在y轴上（0，-6），此时，点B恰好落在（- ，- ）处，
∵
∴B的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转240°，点B恰好落在（- ，- ）处，在反比例函数图象上；
∴将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上，②正确．
③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，相当于将A绕点O旋转180°，点A的对应点恰好落在为（- ，- ），在反比例函数图象上，③正确．
④根据反比例函数图象的对称性，将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，点A的对应点都在反比例函数的图象上，④正确．
故选：D
【点睛】本题考查反比例函数图象的对称性质，轴对称、旋转、位似、翻折等，灵活运用反比例函数对称性是解题的关键．
8．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，在正方形ABCD中，顶点，，点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点G的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质得到AB=BC=CD=10，∠C=∠ABF=90°，根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠CBE，根据余角的性质得到∠BGF=90°，过G作GH⊥AB于H，根据相似三角形的性质得到BH=2，根据勾股定理得到HG=3，求得G（3，4），找出规律即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=10，∠C=∠ABF=90°，
∵点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，
∴CE=BF=5，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠BAF=∠CBE，
∵∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠FBG+∠BFG=90°，
∴∠BGF=90°，
∴BE⊥AF，
∵ ，
∴ ，
过G作GH⊥AB于H，
∴∠BHG=∠AGB=90°，
∵∠HBG=∠ABG，
∴△ABG∽△GBH，
∴ ，
∴BG2=BH•AB，
∴
，
∴G（3，4），
∵将正方形ABCD绕点O顺时针每次旋转90°，
∴第一次旋转90°后对应的G点的坐标为（4，-3），
第二次旋转90°后对应的G点的坐标为（-3，-4），
第三次旋转90°后对应的G点的坐标为（-4，3），
第四次旋转90°后对应的G点的坐标为（3，4），
…，
∵2022=4×505+2，
∴每4次一个循环，第2022次旋转结束时，相当于正方形ABCD绕点O顺时针旋转2次，
∴第2022次旋转结束时，点G的坐标为（-3，-4）．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变换-旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
10．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向．
【详解】解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置．
11．（2020秋·浙江·九年级期末）如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点续向右旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2020次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
【详解】解：，，
，
转动一次的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点转动四次经过的路线长为：，
，
顶点转动四次经过的路线长为：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．
12（2023·河南周口·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点到轴的距离为4．若将绕点逆时针旋转得到△，当点恰好落在轴正半轴上时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点作轴，过点作于，过点作轴，先求出，再证明得出，，，再证明，推出，，从而求出点的坐标．
【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作轴，
，
，点到轴的距离为4，
，
，
，
，，
，
，即，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
13．（2023·河南南阳·校联考一模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第60秒时，点C的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求出，根据菱形性质得出，，得出，根据每秒旋转，则第60秒时旋转了，得出点在第三象限，且与点C关于原点对称，即可得出答案．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵每秒旋转，则第60秒时，得：
，
周，
∴旋转了7周半，
∴点在第三象限，且与点C关于原点对称，
∴点，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，关于原点对称点的特点，解题的关键是根据旋转角度得出在第三象限，且与点C关于原点对称．
14．（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，过点作轴于，根据旋转的性质可得，，根据互余的性质可得，利用可证明，可得，，根据、坐标可得、的长，即可求出、的长，可得答案．
【详解】如图，过点作轴于，
，，
把线段绕点逆时针旋转后得到线段，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，，
点坐标为
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
15．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将绕点B按逆时针方向旋转90°，则旋转后点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意直接利用网格特点和旋转的性质画出绕点B逆时针旋转90°后的图形，然后写出旋转后点A的坐标．
【详解】解：如图所示，绕点B按逆时针方向旋转90°得到，则旋转后点A的坐标是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正确画出旋转后的图形是解题的关键．
16．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在等腰中，边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转，得到，若，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过B作于，直线交y轴于D，由，可得，再由旋转可得轴，由直角三角形求出、的长即可．
【详解】过B作于，直线交y轴于D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕原点O逆时针旋转，得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴点A的对应点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．（2023·广东广州·执信中学校考一模）如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（ ）
A．B．C．D．随若的变化而变化
【答案】B
【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解．
【详解】解：根据旋转有：，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
18．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，
由旋转可知，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
19．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，B．2，C．2，D．3，
【答案】B
【分析】利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数．
【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出是等边三角形是解题关键．
20．（2023·广东茂名·统考一模）下列图形是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合；熟练掌握概念是解题的关键．
79．（2023·湖南娄底·校考一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：第1个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
故不合题意；
第2个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
故不合题意；
第3个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，
故不合题意；
第4个图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，
故不合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合的两个图形；中心对称图形即绕某点旋转180°与原图形完全重合的两个图形；熟练掌握定义是解题的关键．
21．（2023·山西晋城·统考一模）位于四川省的三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其中出土的文物是宝贵的人类文化遗产，在中国的文物群体中，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一．下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义即可选择．
【详解】A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查识别中心对称图形．掌握如果一个图形绕某一个点旋转后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形是解题关键．
22．（2023秋·重庆永川·九年级统考期末）下面四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对各选项分析判断后即可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
23．（2023春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考阶段练习）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．科克曲线
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
24．（2023·江西上饶·校联考一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为______．
【答案】1
【分析】如图所示，过点B作于E，先利用证明，得到，再由旋转的性质可得，则由三线合一定理得到，在中，由勾股定理得，即可求出．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，三线合一定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．（2023秋·四川广元·九年级统考期末）如图，在直角梯形中，，，，，以A为旋转中心将腰顺时针旋转至，连接，若．则的面积等于______．
【答案】10
【分析】连接，延长，由旋转的性质可得，，可证垂直平分，可得，，则可证四边形是矩形，可得，，即可求解．
【详解】解：如图，连接，延长，
以为旋转中心将腰顺时针旋转至，
，，
，
，，
垂直平分，
，，
∵，，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
的面积，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了旋转的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定和性质，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键．
26．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则的值为________．
【答案】
【分析】根据整个函数图象的特点可知，每隔个单位长度，函数值就相等，再根据可得时的函数值与时的函数值相等，由此即可得答案．
【详解】解：由题意得：每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴时的函数值与时的函数值相等，
即的值等于时的纵坐标，
对于函数，
当时，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，正确发现整个函数的图象规律是解题的关键．
27．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转后得到，依此方式，绕点连续旋转2023次得到，那么点的坐标是______________．
【答案】
【分析】依次写出的坐标，观察总结规律即可．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
，
根据旋转可得：
，
，
周期为8，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了规律探究，相关知识点有：图形的旋转、勾股定理等知识点，找到旋转变换中得规律是解题关键．
28．（2023·湖北咸宁·校联考一模）以原点为中心，把抛物线的顶点顺时针旋转，得到的点的坐标为______．
【答案】
【分析】根据抛物线解析式可得顶点坐标为，然后根据点的坐标关于原点旋转可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知顶点坐标为，所以该顶点关于原点顺时针旋转如图所示：
分别过点A、B作轴，轴，垂足分别为点C、D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质及旋转，熟练掌握二次函数的性质及旋转是解题的关键．
29．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末）如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为________．
【答案】
【分析】转动前根据菱形的性质，可得的坐标，根据旋转的性质，可得转动后的坐标．
【详解】转动前菱形的顶点，，
的坐标，
每秒旋转，则第秒时得，
，
周，
与转动前位置比，移动了半周，
此时的坐标为．
故答案为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题的关键．
30．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，一次性从中随机抽取两张，则抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的概率为______．
【答案】##
【分析】利用列举法求概率即可．
【详解】解：在等腰三角形，矩形，菱形，正方形四张卡片中，矩形，菱形，正方形为中心对称图形，分别用表示等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片，一次性随机抽取两张卡片共有，共种情况，其中抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的有，共种情况，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，列举法求概率．熟练掌握矩形，菱形，正方形为中心对称图形，以及列举法求概率，是解题的关键．
31．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，是边长为4cm的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接．
(1)求证：是等边三角形．
(2)当为直角三角形时，求t的值．
【答案】(1)见解析
(2)当或8s时，是直角三角形
【分析】（1）利用旋转的性质，得到，即可得证；
（2）分和，两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：①当时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
②当时，则：，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
综上所述：当或8s时，是直角三角形．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
32．（2023秋·浙江·九年级期末）如图1，在中，，，点E是中点，四边形是正方形，连接，将正方形绕点D顺时针旋转（）如图2，在旋转过程中
(1)求证：
(2)当时，求的度数．
(3)当时，与交于点H，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用证明，即可证明；
（2）先证明三点共线， 在图1中，点E是的中点，得到，解，求出，则；
（3）证明，由全等三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，在中，由勾股定理可求的长，通过证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴三点共线．
∵在图1中，点E是的中点，
∴．
∵在中，，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点作于．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由题干知是的中点，旋转后长度不变，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
34．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考一模）在等边中，点为的中点，点为上一点（不与、重合），连接、．
(1)将线段绕点顺时针旋转至，使点落在的延长线上，在图1中补全图形：
①求的度数；
②探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；
(2)将线段绕点旋转，在旋转过程中与边交于点，连接，若，当时，请直接写出的最小值．
【答案】(1)图见解析，①120°；②，证明见解析；
(2)．
【分析】（1）①如图，以为圆心，为半径作圆，与的延长线交点即为，延长与交于点，连接，，在等边中，点为的中点，可得垂直平分，结合题意可得，由三角形外角可得，，最后由可求解；②如图，在上截取，过E作于M，连接，可得，在中，解三角形可求得即，等量代换即可求证；
（2）如图，将绕点顺时针旋转至，连接，连接，证，得到，可知，当N、E、C三点共线时最小，在等腰直角中求解即可．
【详解】（1）解：①如图，以为圆心，为半径作圆，与的延长线交点即为，
延长与交于点，连接，，
在等边中，点为的中点，
垂直平分，
，，
即，
，
由旋转可知，
，
，
，
，
；
②证明：如图，在上截取，过E作于M，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
（2）如图，将绕点顺时针旋转至，连接，连接
则，，
，
又，
，
，
，
当N、E、C三点共线时最小，
在等腰直角中：
，
的最小值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角，全等三角形的证明和性质，勾股定理解直角三角形等；解题的关键是合理做出辅助线，进行转换证明．
35．（2022秋·安徽黄山·九年级统考期末）如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
(1)当时，通过上述旋转可得到三条线段、、之间的等量关系，请写出这个等量关系，并说明理由；
(2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（只填出探究结果即可）= ．
【答案】(1)，理由见解析
(2)或或
【分析】（1）由旋转的性质可得即，进而得到是等边三角形即则，最后根据勾股定理即可解答；
（2）分、、三种情况，然后分别根据等腰三角形的性质和旋转的性质求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵将绕点按顺时针方向旋转得
∴，
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∴是直角三角形
∴
∴．
（2）解：①要使，需
∵，
∴，解得：；
②要使，需
∴
∴，
∴；
③要使，需
∴，
∴，解得
综上，当的度数为或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键．
36．（2023·山东东营·东营市东营区实验中学校考一模）如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
当时，______；当时，______．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______．
【答案】(1)；
(2)没有，证明见解析
(3)满足条件的的长为或
【分析】（1）当时，在Rt中，勾股定理，可求的长，然后根据点分别是边的中点，分别求出的大小，即可求出的的值；当时，可得，然后根据，可求的值；
（2）首先判断出，再根据，判断出，然后由相似三角形的对应边成比例，可求解；
（3）分两种情形：当点在的延长线上时；当点在线段上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：当时，
Rt中，，
，
点分别是边的中点，
，，
，
故答案为：；
如图，
当时，可得，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，
当时，的大小没有变化，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，
在Rt中，，，
，
，
，
；
如图，当点在线段上时，
在Rt中，，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．