中考数学一轮大单元复习2.1突破训练：方程(组)定义及解法类型题举例(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮大单元复习2.1突破训练：方程(组)定义及解法类型题举例(原卷版+解析)，共83页。试卷主要包含了解方程，解下列方程等内容，欢迎下载使用。


类型1：解一元一次方程
典例1：（2022秋·天津河东·七年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)；
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的解法；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解法，从而完成求解．
巩固练习
1．（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图表示3×3的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则x的值为（ ）
A．1，2B．1，3C．0，2D．1，0
2．（2023秋·河北唐山·七年级唐山市第十二中学校考期末）定义，若，则x的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2023秋·四川达州·七年级校考期末）解方程：
(1)
(2)
4．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
5．（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值．
6．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
7．（2022秋·北京东城·七年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)．
8．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）解方程：
(1)
(2)
9．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)
10．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期中）解下列方程：
(1)
(2)
类型2：解二元一次方程组
典例：（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，准确计算．
巩固练习
1．（2022秋·八年级单元测试）对于方程，用含x的代数式表示y的形式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2022春·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）二元一次方程组：的解是________．
5．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）解方程组：
6．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）解方程组：
7．（2022秋·广东广州·八年级广州市海珠中学校考期末）解方程组：
8．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）解方程组：．
9．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）解方程组：．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n
(1)将方程组1的解填入图中；
(2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中；
(3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合．
类型3：二元一次方程组的特殊解法
典例： （2022秋·八年级课时练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组
（i）求的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
方法或规律点拨
此题主要考查了特殊方程的解法，关键是掌握读懂题目给的材料．
巩固练习
1．（2022秋·河南新乡·七年级校联考期末）已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．B．0C．6D．8
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）已知x，y满足方程组，则的值为_________．
4．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
5．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足．则___________．
6．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）若m，n满足方程组，则的值为____________．
7．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知方程组求与的值．
8．（2022·河南洛阳·统考二模）已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值．再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量较大．其实，仔细观察两个方程未知数，的系数与所求代数式中，的系数之间的关系，本题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值．由①②得：，由①②得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
问题解决：
(1)已知二元一次方程组，则值为 ，的值为 ．
(2)某班组织活动购买奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元．则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，则的值为 ．
9．（2022·全国·七年级专题练习）感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组，则______，______．
(2)解方程组：
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
10．（2022秋·全国·八年级期末）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
考点4：含有字母参数的二元一次方程组
典例：（2022春·北京西城·七年级校考期中）如果关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求m的值．
方法或规律点拨
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是用参数分别表示出未知数．
巩固练习
1．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·广东茂名·八年级统考期末）已知方程组的解满足，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组，以下结论正确的有( )个．
①不论k取什么实数，的值始终不变；
②存在实数k，使得；
③当时，；
④当时，方程组的解也是方程的解．
A．1B．2C．3D．4
5．（2022秋·八年级单元测试）若关于、的二元一次方程组的解、为为相反数，则__．
6．（2022春·北京·七年级校考阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解也是的解，则的值为______．
7．（2022春·北京·七年级校考期末）已知关于x，y的方程组的解满足关系，则a的值为______．
8．（2021春·山东济南·七年级济南十四中校考期中）已知方程组的解和互为相反数，求的值．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）．
例如，当时，．
(1)当时， ；
(2)若，求a和b的值；
(3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值
10．（2022秋·八年级单元测试）当m，n分别取何值时，方程组与的解相同？
考点5：配方法应用
典例1：（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程配方，得到．
(1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值；
(2)求此方程的解．
方法或规律点拨
本题考查了解一元二次方程的应用，题目是一道基础题，难度适中，主要考查学生的计算能力．
典例2：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：求代数式的最小值．解答过程如下：
解：
∵
∴
∴当时，有最小值，是1
(1)仿照上述方法，求代数式的最小值；
(2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）．
方法或规律点拨
本题主要考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏句容·初一期末）已知方程组的解满足，则整数k的最小值为（ ）
A．-3B．-2C．-1D．0
2．在关于，的二元一次方程组的下列说法中，错误的是（）
A．当时，方程的两根互为相反数B．当且仅当时解得为的倍
C．，满足关系式D．不存在自然数使得，均为正整数
3．（2020·南阳市实验学校初一月考）七班“奋斗组”关于，的方程组，进行小组下面是两名成员得出的结论：
小明：是方程组的解；
小东：不论取什么实数，的值始终不变．
请判断这两名组员的结论是否正确，并说明理由．
4．（2020·绍兴市文澜中学初一期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，求k的值．
5．（2020·河南宛城·初一月考）八年级（1）班“奋斗组”对关于的方程组进行讨论，下列是两个小组成员分别得出的结论：
小金：是方程组的解；
小蝶：不论取什么实数，的值始终不变．
请问“奋斗组”的两名成员谁的结论是正确的，谁的结论是错误的？并说明理由．
6．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）已知关于，的方程组
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
考点5：配方法应用
典例1：（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程配方，得到．
(1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值；
(2)求此方程的解．
方法或规律点拨
本题考查了解一元二次方程的应用，题目是一道基础题，难度适中，主要考查学生的计算能力．
典例2：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：求代数式的最小值．解答过程如下：
解：
∵
∴
∴当时，有最小值，是1
(1)仿照上述方法，求代数式的最小值；
(2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）．
方法或规律点拨
本题主要考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．
巩固练习
1．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）明明学完“配方法”后，总结出如下内容．其中正确的个数有（ ）个．
①配方法的基本思想是通过变形，将方程的左边配成一个含有未知数的一次式的完全平方（右边是一个非负常数），从而转化为用直接开平方法求解．
②利用配方法，可以求出代数式的最小值．
③用配方法解一般形式的一元二次方程（，），能得到一元二次方程的求根公式．
④用配方法解一元二次方程，配方时，方程两边加上的数是：一次项系数一半的平方．
A．1B．2C．3D．4
3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）将配方成的形式，则___________．
4．（2022秋·全国·九年级专题练习）当_____时，代数式有最小值为______．
5．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于______．
6．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）_______=_______．
7．（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知，则_______．(填“”“”或“”)
8．（2022秋·全国·九年级专题练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
9．（2022秋·广东惠州·八年级期末）阅读理解：求代数式的最小值.
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是1.
仿照应用求值：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值.
考点6：一元二次方程根的判别式
典例：（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程．
(1)当是方程的一个根时，求的值；
(2)方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围．
方法或规律点拨
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
巩固练习
1．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
2．（2021秋·甘肃金昌·九年级校考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
3．（2022秋·吉林长春·九年级统考期中）一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）一元二次方程根的判别式的值是（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无实数根
6．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）定义运算：，例如：．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
7．（2022秋·河南许昌·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程无实数根，则实数k的取值范围是______．
8．（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程有实数根，求实数的取值范围．
9．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）关于x的一元二次方程．
(1)判断该方程根的情况，并说明理由；
(2)若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根．
10．（2022秋·辽宁锦州·九年级统考期中）（1）小明学习了一元二次方程的解法后，在已知“关于的一元二次方程有一个根为2”的条件，很快求出了k及另一个根的值，请你帮他写出解答过程．
（2）小颖对这道题提出了新的问题：她认为无论k为何值时，该方程总有两个不相等的实数根．你同意她的看法吗？并说明理由．
11．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若抛物线经过原点，求a的值．
12．（2022秋·吉林长春·九年级统考期中）已知：关于的方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的一个根为时，求的值．
考点7：一元二次方程根的判别式
典例：14．（2023·全国·九年级专题练习）下面是小明解方程的过程，认真阅读并回答问题．
解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得第一步
∴第二步
∴第三步
∴第四步
∴第五步
(1)任务一：①上述解题过程中，第一步的最简公分母是 ；
②上述第二步到第三步变形的依据是 ；
(2)任务二：上述解题过程是否完整，若不完整，请补充完整．
方法或规律点拨
本题主要考查了解分式方程、实数的运算等知识点，熟练掌握分式方程的解法及运算法则是解本题的关键．
巩固练习
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
3．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中较小的值，如．按照这个规定，方程的解为（ ）
A．或2B．2C．D．无解
4．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·河北·八年级校联考期末）已知（，且），，，…，．
（1）根据上述规律，可得______（用含字母的代数式表示）；
（2）当时，______；
（3）若的值为5，则的值为______．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）在有理数范围内定义一种运算☆，其规则为，根据这个规则_____；若，则____.
7．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）对于两个非零的实数，，定义新运算．例如：．则______；若，则的值为______．
8．（2023秋·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以，得．①
去括号，得②
解得．
检验：当时，．③
所以原分式方程无解．④
(1)你认为小明在第______步出现了错误；（只填序号）
(2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出条解分式方程时的注意事项；
(3)写出上述分式方程的正确解法．
9．（2023秋·广东广州·八年级广东华侨中学校考期末）解分式方程：．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，若A，B两点到原点距离相等，求x的值.
11．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）解方程：
(1)；
(2)．
12．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）解分式方程
(1)；
(2)．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下面解分式方程的过程，再解答问题：
解分式方程：
解：①②③④
，把代入原分式方程检验知，是原分式方程的解．
回答问题：
(1)得到①式的具体做法是___________．得到②式的具体做法是___________．得到③式的具体做法是___________．得到④式的具体做法是___________．
(2)上述解答正确吗？答：___________；如果不正确，则从___________步开始出现错误，错误原因是___________，正确结果是：___________（如果正确，后三空不填．）
考点8：分式方程的解
典例：（2022秋·山西朔州·八年级校联考期末）已知关于x的方程
(1)当时，求方程的解；
(2)当m取何值时，此方程无解；
(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
方法或规律点拨
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
巩固练习
1．（2023秋·河北唐山·八年级唐山市第十二中学校考期末）若关于的方程的解为整数，则整数的值的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组恰有4个整数解，则满足条件的所有整数值之和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考期末）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组至多有五个整数解，则符合条件的所有整数的取值之和为（ ）
A．1B．0C．D．3
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．15B．12C．11D．10
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）若整数a既使得关于x的分式方程有整数解，又使得关于x，y的方程组的解为正数，则____．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）若关于x的方程没有增根，则k的值不能是（ ）
A．B．1C．2D．3
7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解关于的方程有增根，则的值为___________
8．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）若分式方程有增根，则a的值为________．
9．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）若关于x的方程无解，则m的值为_____．
10．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）若关于的分式方程无解，则的值为 __．
又要考虑整式方程无解的情形．
11．（2022·辽宁丹东·校考二模）若关于的方程有增根，则的值是______．
12．（2022春·安徽合肥·七年级校考阶段练习）已知关于的分式方程．
（1）若该方程有增根，则增根是______．
（2）若该方程的解大于，则的取值范围是______．
13．（重庆市江津区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4B．9C．11D．12
2.1突破训练：一次方程（组）类型题举例
类型体系（本专题共96题67页）
类型1：解一元一次方程
典例1：（2022秋·天津河东·七年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次方程的解法，依次去括号、移项、合并同类项、化系数为1，即可完成求解；
（2）根据一元一次方程的解法，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，即可完成求解．
【详解】（1）解：
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为1，得
（2）
去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为1，得．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的解法；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解法，从而完成求解．
巩固练习
1．（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图表示3×3的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则x的值为（ ）
A．1，2B．1，3C．0，2D．1，0
【答案】A
【分析】根据，得到，再根据数表，可得或，求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
根据数表，可得或，
解得：或，
的值为1或2，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的方法，解题关键是掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2．（2023秋·河北唐山·七年级唐山市第十二中学校考期末）定义，若，则x的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】先根据题意理解“”所表示的运算法则，然后根据此运算法则将化为，解出即可．
【详解】由题意得：，可化为：，
移项合并得：，
系数化为1得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
3．（2023秋·四川达州·七年级校考期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据去括号，移项合并同类项，系数化为1，求出方程的解；
（2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，求出方程的解．
【详解】（1）解：去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，合并同类项，可得：．
（2）去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，正确掌握一元一次方程的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1是解题的关键．
4．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接去括号、移项、合并同类项，把系数化“1”，即可求解；
（2）先等式两边同时乘以12去分母，然后去括号、移项、合并同类项，把系数化“1”，即可求解．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“一元一次方程的解法与步骤”是解本题的关键．
5．（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值．
【答案】
【分析】分别求解两个方程，再根据相反数的定义，即可求出m的值．
【详解】解：由，解得：，
，
去分母，得：，
去括号，得： ，
移项合并，得：，
两个方程的解互为相反数，
，
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键．
6．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 先去括号，再移项，合并同类项，最后把系数化为“1”即可；
（2）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后把系数化为“1”即可；
【详解】（1）解：
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
（2）
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤与方法”是解本题的关键．
7．（2022秋·北京东城·七年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）解：（1）去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（2）去分母得：，
去括号得，，
移项合并得：，
解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法；掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键．
8．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】（1）转化为一元一次方程的解题步骤—去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
（2）分式方程的解题步骤—化为整式方程进行求解．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
（2）解：，
方程两边同时乘得：，
解得：，
检验：把代入最简公分母，
得：，
∴是原方程的增根，应舍去，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了一元一次方程与分式方程的解法，解题的关键是掌握一元一次方程的解题步骤——去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；掌握分式方程的解题步骤—化为整式方程进行求解．
9．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得： ，
所以原方程的解为：；
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：，
所以原方程的解为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
10．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期中）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为，即可求解；
（2）去分母，移项，合并同类项，系数化为，即可求解．
【详解】（1）解：
移项，
合并同类项，
系数化为，
∴原方程的解为：．
（2）解：
去分母，
移项，
合并同类项，
系数化为，
∴原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的方法解方程是关键．
类型2：解二元一次方程组
典例：（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴二元一次方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，准确计算．
巩固练习
1．（2022秋·八年级单元测试）对于方程，用含x的代数式表示y的形式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将当成已知数，方程的左右两边同时乘以2，再移项求解即可．
【详解】解：方程，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程，解题的关键是将当成已知数，求出．
2．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】解：，
①+②得，，
∴，
把代入①得，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
3．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解．
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程，
∴，
解得：，
故选：B
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．
4．（2022春·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）二元一次方程组：的解是________．
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：，
①+②×2得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）解方程组：
【答案】
【分析】利用代入法解方程组．
【详解】解：
由②得③，
将③代入①，得，
解得，
将代入③，得，
∴方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握二元一次方程组的解法：代入法和加减法是解题的关键．
6．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）解方程组：
【答案】
【分析】利用代入消元法求解即可．
【详解】解：，
由得：，
把代入，得，
解得：，
把代入，得．
所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法是解答本题的关键．
7．（2022秋·广东广州·八年级广州市海珠中学校考期末）解方程组：
【答案】
【分析】利用加减消元法求解．
【详解】解：，
，得，
化简，得，
解得，
将代入，得，
解得，
故该方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
8．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）解方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法解方程组．
【详解】解：，
②①得：，
∴，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法解方程组．
9．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）解方程组：．
【答案】
【分析】根据加减消元可进行求解方程组．
【详解】解：
①×2+②得：，解得：；
把代入①得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n
(1)将方程组1的解填入图中；
(2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中；
(3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合．
【答案】(1)
(2)
(3)，，方程组属于上述集合．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）由前面方程组的解发现未知数x的值为一列自然数，对应的未知数y的值为x的相反数与1的和，从而可总结出规律得答案；
（3）将代入原方程组求解，的值，再观察方程组的结构从而可得答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
把两个方程相加可得：，
解得：，
把代入上面一个方程可得：，
方程组1的解为；
（2）根据方程组的解的变化规律可得：
方程组n为，解为；
（3）∵，
将代入①得：，
解得，
把，代入②，得，解得，
∴该方程组及方程组的解属于上述集合．
【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，方程组的解的含义，方程组的解的规律探究与运用，理解题意，正确的归纳与总结规律是解本题的关键．
类型3：二元一次方程组的特殊解法
典例： （2022秋·八年级课时练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组
（i）求的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【答案】(1)方程组的解为
(2)（i）；（ii）原方程组的所有整数解是或
【分析】（1）根据例题的解法代入计算即可；
（2）（i）把方程变形后，再把将①代入方程②，即可；
（ii）根据x与y是整数且计算即可．
【详解】（1），
将方程②变形：，
即③，
把方程①代入③得：，
解得，
把代入方程①，得，
所以方程组的解为；
（2）（i）原方程组化为，
将①代入方程②得：，
∴；
（ii）由（i）得，
∵x与y是整数，
∴或或或，
由（i）可求得，
∴和符合题意，
故原方程组的所有整数解是或．
方法或规律点拨
此题主要考查了特殊方程的解法，关键是掌握读懂题目给的材料．
巩固练习
1．（2022秋·河南新乡·七年级校联考期末）已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．B．0C．6D．8
【答案】D
【分析】将两个方程相加即可得到答案．
【详解】解：，
①＋②，得，
故选：D．
【点睛】此题考查了特殊法解方程组，正确掌握两个方程的特点及所求式子的特点是解题的关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用换元法，令，得到：，即：，再解二元一次方程组即可．
【详解】解：在二元一次方程组中，令，
则，
∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
解得：．
故选C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握换元法解方程组，是解题的关键．
3．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）已知x，y满足方程组，则的值为_________．
【答案】
【分析】将利用平方差公式进行因式分解，在根据方程组求解即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，能利用平方差公式进行因式分解然后在求值是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
【答案】
【分析】由题意可得，即可求方程组的解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．
5．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足．则___________．
【答案】4
【分析】由①②，可得，结合，得出，解关于a的方程即可求出a的值．
【详解】解：，
由①②，可得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
6．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）若m，n满足方程组，则的值为____________．
【答案】
【分析】用两个方程相减即可得出答案．
【详解】解：，
得：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是注意整体思想的应用．
7．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知方程组求与的值．
【答案】5，
【分析】由由①②可求出的值，由由①②可求出的值．
【详解】
由①②，
得
故
由①②，得．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
8．（2022·河南洛阳·统考二模）已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值．再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量较大．其实，仔细观察两个方程未知数，的系数与所求代数式中，的系数之间的关系，本题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值．由①②得：，由①②得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
问题解决：
(1)已知二元一次方程组，则值为 ，的值为 ．
(2)某班组织活动购买奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元．则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，则的值为 ．
【答案】(1)5，
(2)30元
(3)
【分析】（1）根据方程组中两个方程的特点，由即可求出的值，即可求出的值；
（2）设1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，列出方程组，先求出，再求出，即可得出答案；
（3）根据题意得出方程组，求出，即可求出的值．
【详解】（1）解：由，可得 ，
∴，
由，可得 ．
故答案为：5，；
（2）（2）设1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，
由题意，可得，
由，可得 ，
∴（元，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；
（3）∵，，
∴，
由，可得 ，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及三元一次方程组的整体求法，理解题意，熟练掌握整体计算方法是解题关键．
9．（2022·全国·七年级专题练习）感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组，则______，______．
(2)解方程组：
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
【答案】(1)-1，5
(2)
(3)30元
【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求；
（2）把3个方程相加得，分别减三个方程可求解；
（3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可．
【详解】（1）解：
①+②得，解得，
①-②得，
故答案为：-1，5．
（2）解：，
①+②+③得，，即④，
④-①得，，
④-②得，，
④-③得，，
方程组的解为．
（3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,
根据题意列方程组得，．
①×2-②得，，则；
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解．
10．（2022秋·全国·八年级期末）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 令，，原方程组变形为，解得，还原方程组得，求解即可．
(2)令仿照原题的解法求解即可．
【详解】（1）令，，
方程组变形为，
解得，
所以，
解得
∴原方程组的解为．
（2）令
原方程组化为
解得，
把代入
得,
解得·
【点睛】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
考点4：含有字母参数的二元一次方程组
典例：（2022春·北京西城·七年级校考期中）如果关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求m的值．
【答案】5
【分析】根据方程组的解互为相反数得出，利用代入消元法分别用m表示出x、y的值，再代入另一个方程求解m即可．
【详解】解：∵的解互为相反数，
∴③，
将③代入①得，
将代入③得，
将，代入②中得，
∴．
方法或规律点拨
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是用参数分别表示出未知数．
巩固练习
1．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将方程组中上式减去下式可得，结合，可求出，的值，再代入方程组中即可求出的值．
【详解】解：关于，的二元一次方程组，上式减去下式得，
∴，解方程组得，，代入方程得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的值求参数，掌握解二元一次方程组的方法（代入法，加减法）是解题的关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据方程组解的定义，无论c是对是错，甲和乙求出的解均为的解．将和分别代入，组成方程组，从而得出a的值．将甲的正确解代入，从而得出c的值．
【详解】解：将和分别代入，得
，
解得，
把代入，得
，
所以．
故选：A．
【点睛】本题需要对二元一次方程组的解和二元一次方程的解的定义有一个深刻的认识，知道不定方程有无数个解．
3．（2022秋·广东茂名·八年级统考期末）已知方程组的解满足，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用方程组中的第二个方程减去第一个方程，再根据可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：，
由②①得：，
方程组的解满足，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组，以下结论正确的有( )个．
①不论k取什么实数，的值始终不变；
②存在实数k，使得；
③当时，；
④当时，方程组的解也是方程的解．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由得：，故①正确；由得：，可得时，，故②正确；解出方程组可得，从而得到，此时，故③正确；求出此时方程组的解再代入，可得④错误，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
即不论k取什么实数，的值始终不变，故①正确；
由得：，
∴当，即时，，故②正确；
，解得：，
∴，
当时，，
解得：，故③正确；
当时，，
而，
即不是的解，故④错误，
∴正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有参数）是解决本题的关键．
5．（2022秋·八年级单元测试）若关于、的二元一次方程组的解、为为相反数，则__．
【答案】
【分析】方程组两方程相加表示出，根据求出的值即可．
【详解】解：，
①②得：，
由题意得：，
可得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
6．（2022春·北京·七年级校考阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解也是的解，则的值为______．
【答案】
【分析】首先用含k的代数式表示，再代入求出k．
【详解】解：，
①+②得，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握用加减消元法，代入法解二元一次方程（组）是解题关键．
7．（2022春·北京·七年级校考期末）已知关于x，y的方程组的解满足关系，则a的值为______．
【答案】1
【分析】把分别代入和，计算出x的值，通过比较即可得出a的值．
【详解】解：把代入，得，解得；
把代入，得，解得；
因此，
故答案为：1．
【点睛】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据所给方程组的特点，直接将代入计算是快速解题的关键．
8．（2021春·山东济南·七年级济南十四中校考期中）已知方程组的解和互为相反数，求的值．
【答案】
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，得出方程组的解，再根据、互为相反数，可得m的方程，解方程即可求解．
【详解】解：，
得：，解得：，
把代入②得：，
解得：，
又∵、互为相反数，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）．
例如，当时，．
(1)当时， ；
(2)若，求a和b的值；
(3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解；
（2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可；
（3）由题意可得 ：，求解方程组即可．
【详解】（1）当时，，
（2），
，
解得：，
∴a和b的值分别为，；
（3），
，
，
化简得：，
解得：，
∴a和b的值分别为，．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．
10．（2022秋·八年级单元测试）当m，n分别取何值时，方程组与的解相同？
【答案】，
【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出解代入剩下方程求出与的值即可．
【详解】解：联立得：，
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
代入得：，
解得：，．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
考点5：配方法应用
典例1：（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程配方，得到．
(1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值；
(2)求此方程的解．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）把配方即可得出，；
（2）配方得出，开方得出，求出即可．
【详解】（1）解：
∴，
（2）解：∵
∴，
方法或规律点拨
本题考查了解一元二次方程的应用，题目是一道基础题，难度适中，主要考查学生的计算能力．
典例2：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：求代数式的最小值．解答过程如下：
解：
∵
∴
∴当时，有最小值，是1
(1)仿照上述方法，求代数式的最小值；
(2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）．
【答案】(1)3
(2)大；15
【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
【详解】（1），
，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最小值是3．
（2）,
，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，代数式的最小值是15．
故答案为：大，15．
方法或规律点拨
本题主要考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏句容·初一期末）已知方程组的解满足，则整数k的最小值为（ ）
A．-3B．-2C．-1D．0
2．在关于，的二元一次方程组的下列说法中，错误的是（）
A．当时，方程的两根互为相反数B．当且仅当时解得为的倍
C．，满足关系式D．不存在自然数使得，均为正整数
3．（2020·南阳市实验学校初一月考）七班“奋斗组”关于，的方程组，进行小组下面是两名成员得出的结论：
小明：是方程组的解；
小东：不论取什么实数，的值始终不变．
请判断这两名组员的结论是否正确，并说明理由．
4．（2020·绍兴市文澜中学初一期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，求k的值．
5．（2020·河南宛城·初一月考）八年级（1）班“奋斗组”对关于的方程组进行讨论，下列是两个小组成员分别得出的结论：
小金：是方程组的解；
小蝶：不论取什么实数，的值始终不变．
请问“奋斗组”的两名成员谁的结论是正确的，谁的结论是错误的？并说明理由．
6．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）已知关于，的方程组
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
考点5：配方法应用
典例1：（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程配方，得到．
(1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值；
(2)求此方程的解．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）把配方即可得出，；
（2）配方得出，开方得出，求出即可．
【详解】（1）解：
∴，
（2）解：∵
∴，
方法或规律点拨
本题考查了解一元二次方程的应用，题目是一道基础题，难度适中，主要考查学生的计算能力．
典例2：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：求代数式的最小值．解答过程如下：
解：
∵
∴
∴当时，有最小值，是1
(1)仿照上述方法，求代数式的最小值；
(2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）．
【答案】(1)3
(2)大；15
【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
【详解】（1），
，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最小值是3．
（2）,
，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，代数式的最小值是15．
故答案为：大，15．
方法或规律点拨
本题主要考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．
巩固练习
1．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用系数化1，移项，配方将一元二次方程转化为，即可得解．
【详解】解：，
系数化1，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即：；
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
2．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）明明学完“配方法”后，总结出如下内容．其中正确的个数有（ ）个．
①配方法的基本思想是通过变形，将方程的左边配成一个含有未知数的一次式的完全平方（右边是一个非负常数），从而转化为用直接开平方法求解．
②利用配方法，可以求出代数式的最小值．
③用配方法解一般形式的一元二次方程（，），能得到一元二次方程的求根公式．
④用配方法解一元二次方程，配方时，方程两边加上的数是：一次项系数一半的平方．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据配方法的过程和方法逐项判断即可．
【详解】解：①配方法的基本思想是通过变形，将方程的左边配成一个含有未知数的一次式的完全平方（右边是一个非负常数），从而转化为用直接开平方法求解，故①正确；
②利用配方法，，因为，所以的最小值为，所以可以求出代数式的最小值，故②正确；
③用配方法解一般形式的一元二次方程，能得到一元二次方程的求根公式，故③正确；
④用配方法解一元二次方程，配方时，先把二次项系数化为1后，再方程两边加上的数是：一次项系数一半的平方，故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是配方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程时，要先将二次项系数化为1，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方．
3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）将配方成的形式，则___________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式进行配方即可求出答案．
【详解】解：
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
4．（2022秋·全国·九年级专题练习）当_____时，代数式有最小值为______．
【答案】 3
【分析】根据偶次方的非负性可知，当时有最小值，进而可求解．
【详解】解：，
当时代数式取得最小值，最小值为，
即时，代数式的最小值为，
故答案为：3；．
【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．
5．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于______．
【答案】
【分析】由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是5．
【详解】，
，
，
代数式的最小值等于5，
故答案为：．
【点睛】此题考查了代数式的变形及配方法的应用，关键是掌握完全平方公式并正确变形、计算．
6．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）_______=_______．
【答案】
【分析】根据完全平方式的结构求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了配方法的应用和完全平方式的计算，掌握完全平方式的结构特点是解题的关键．
7．（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知，则_______．(填“”“”或“”)
【答案】
【分析】计算，然后将结果配方，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
8．（2022秋·全国·九年级专题练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
【答案】(1)，1
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小即可．
【详解】（1）解：．
（2），
∵，
∴当即时，
原式有最小值．
（3），
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的大小”是解本题的关键．
9．（2022秋·广东惠州·八年级期末）阅读理解：求代数式的最小值.
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是1.
仿照应用求值：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值.
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案；
（2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最小值，最小值是9；
（2）解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查代数式配方及根据非负性求最值，解题的关键是配方．
考点6：一元二次方程根的判别式
典例：（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程．
(1)当是方程的一个根时，求的值；
(2)方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围．
【答案】(1)的值为
(2)且
【分析】（1）把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可；
（2）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：把代入一元二次方程得，
解得，
即的值为；
（2）根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且．
方法或规律点拨
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
巩固练习
1．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出结论．
【详解】∵，，，
∴ ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根”．
2．（2021秋·甘肃金昌·九年级校考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可得出结论．
【详解】解：∵在方程中，，
∴该方程无解．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记时方程无解是解题的关键．
3．（2022秋·吉林长春·九年级统考期中）一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】B
【分析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
4．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）一元二次方程根的判别式的值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将，，的值代入根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式的计算，找出公式中的、、的值是解题的关键
5．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无实数根
【答案】D
【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴方程无实数根，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
6．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）定义运算：，例如：．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】先根据定义运算得到，即，再计算根的判别式，根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【详解】解：根据题意可得：，即，
，
方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7．（2022秋·河南许昌·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程无实数根，则实数k的取值范围是______．
【答案】##
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
8．（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程有实数根，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于的不等式，求解不等式即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得．
即实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
9．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）关于x的一元二次方程．
(1)判断该方程根的情况，并说明理由；
(2)若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根．
【答案】(1)方程有两个实数根，理由见解析
(2)，方程的另一个根为2
【分析】（1）求出的值，再根据根的判别式判断即可；
（2）把代入方程，求出m的值，再解方程求出即可．
【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根．
理由∶∵关于x的一元二次方程中，
，，，
∴，
∵无论m为任意实数，，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
设方程的另一个根为，
∵，
∴．
∴，方程的另一个根为2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．
10．（2022秋·辽宁锦州·九年级统考期中）（1）小明学习了一元二次方程的解法后，在已知“关于的一元二次方程有一个根为2”的条件，很快求出了k及另一个根的值，请你帮他写出解答过程．
（2）小颖对这道题提出了新的问题：她认为无论k为何值时，该方程总有两个不相等的实数根．你同意她的看法吗？并说明理由．
【答案】（1），，；（2）同意，见解析
【分析】（1）由已知的方程的根，求得k的值，然后解方程即可求得另外一个根
（2）利用判别式即可说明理由
【详解】（1）∵关于的一元二次方程有一个根为2，
∴，
解得：，
∴方程为：，
∴，
∴或，
∴，
（2）同意．理由如下：
∵，
∴
∵
∴
∴ 无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了解一元二次方程及根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系是解决问题的关键
11．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若抛物线经过原点，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）要证明该方程总有两个不相等的实数根，只要证明△即可；
（2）根据抛物线经过原点，将原点的坐标代入解析式中，求出值即可．
【详解】（1）证明：
，
，即，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：抛物线经过原点，
解得：，
的值为．
【点睛】本题主要考查根的判别式、解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
12．（2022秋·吉林长春·九年级统考期中）已知：关于的方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的一个根为时，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的值为
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论为何值，方程总有实数根；
（2）将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】（1）证明：，
，
无论为何值，方程总有实数根；
（2）解：将代入原方程得：，
，
的值为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程解是解题的关键．
考点7：一元二次方程根的判别式
典例：14．（2023·全国·九年级专题练习）下面是小明解方程的过程，认真阅读并回答问题．
解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得第一步
∴第二步
∴第三步
∴第四步
∴第五步
(1)任务一：①上述解题过程中，第一步的最简公分母是 ；
②上述第二步到第三步变形的依据是 ；
(2)任务二：上述解题过程是否完整，若不完整，请补充完整．
【答案】(1)①；②等式的基本性质1：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个式子，结果仍相等
(2)不完整，见解析
【分析】（1）①找出分式方程的最简公分母即可；②利用等式的基本性质判断即可；
（2）不完整，补充检验过程即可．
【详解】（1）解：①上述解题过程中，第一步的最简公分母是；
故答案为：．
②等式的基本性质1：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个式子，结果仍相等；
故答案为：等式的基本性质1：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个式子，结果仍相等．
（2）解：不完整，
在第五步后补充如下内容：
检验：当时，，
所以，分式方程的解为．
方法或规律点拨
本题主要考查了解分式方程、实数的运算等知识点，熟练掌握分式方程的解法及运算法则是解本题的关键．
巩固练习
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可．
【详解】解：设，
可化为，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查换元法解方程，解题的关键是熟练掌握换元法．
2．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】先由所给方程找出规律，根据规律写出第个方程再求该方程的解．
【详解】解：（1）可化为；（2）可化为；（3）可化为；
经观察，第个方程为：．
将方程两边同乘以，得
，即．
由题意知
经检验是原方程的解，
故选：B．
【点睛】本题考查了方程的规律及其解，解题的关键是应先根据所给方程找出规律，根据规律列出第个方程，最后求解．
3．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中较小的值，如．按照这个规定，方程的解为（ ）
A．或2B．2C．D．无解
【答案】D
【分析】根据新定义运算的规定，分两种情况讨论：当，即时，当，即时，分别得到分式方程，再求解即可．
【详解】解：当，即时，，
解得：，
经检验：是方程的根，
∵，
∴不是方程的解；
，
解得：，
经检验：是方程的根，
∵，
∴不是方程的解；
∴方程无解．
故选：D
【点睛】本题考查了解分式方程，新定义运算等知识，理解规定符号的意义是解答本题的关键．
4．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】方程两边同乘以即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
5．（2022秋·河北·八年级校联考期末）已知（，且），，，…，．
（1）根据上述规律，可得______（用含字母的代数式表示）；
（2）当时，______；
（3）若的值为5，则的值为______．
【答案】
【分析】（1）把代入中即可求得；
（2）再求出，，，，，则可得出规律，即可求得，从而求得当时的值；
（3）由（2）的结论，当的值为5时，得关于的方程，解方程则可求得的值．
【详解】（1）把代入中，得，
故答案为：；
（2）当时，；当时，；当时， ，当时，；当时，；…，由此可得：每三次一循环，而，即，
当时，；
故答案为：；
（3），则，解得；
故答案为：．
【点睛】本题是分式的规律探索问题，考查了分式的运算，解分式方程等知识，关键是由特殊出发得到一般规律．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）在有理数范围内定义一种运算☆，其规则为，根据这个规则_____；若，则____.
【答案】 1
【分析】根据新定义的规则计算即可；根据新定义可得，解分式方程即可．
【详解】解：，
☆，
，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
，
故答案为：，1．
【点睛】本题考查了解分式方程，新定义有理数的运算，理解新定义并熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
7．（北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）对于两个非零的实数，，定义新运算．例如：．则______；若，则的值为______．
【答案】
【分析】根据定义新运算的法则，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得：；
，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项合并，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
故答案为：，．
【点睛】本题考查定义新运算，解分式方程．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键．
8．（2023秋·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以，得．①
去括号，得②
解得．
检验：当时，．③
所以原分式方程无解．④
(1)你认为小明在第______步出现了错误；（只填序号）
(2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出条解分式方程时的注意事项；
(3)写出上述分式方程的正确解法．
【答案】(1)①
(2)如：去分母时，每项都乘以最简公分母，不能漏乘；去分母时，若分子是多项式，去掉分数线后以小括号代替，表示整体等（答案合理即可）
(3)见解析
【分析】（1）出现错误的步骤为第一步，原因是各项都要乘以最简公分母；
（2）解分式方程的方法写出注意事项即可；
（3）写出正确解题过程即可．
【详解】（1）解：去分母时，每项都乘以最简公分母，小明在第①步出现了错误，
故答案为：①；
（2）解：如：去分母时，每项都乘以最简公分母，不能漏乘；
去分母时，若分子是多项式，去掉分数线后以小括号代替，表示整体等（答案合理即可）
（3）解：方程两边同时乘以，
得，


．
检验：当时，，
∴原方程的解是．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
9．（2023秋·广东广州·八年级广东华侨中学校考期末）解分式方程：．
【答案】
【分析】先将分式方程化为整式方程，求出根后进行检验即可．
【详解】解：方程两边同时乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得，
检验：当时，，
因此是原分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握求解过程，注意验根．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，若A，B两点到原点距离相等，求x的值.
【答案】5或2
【分析】根据，两点到原点距离相等得出两种情况：①，②，再求出分式方程的解即可．
【详解】解：有两种情况：
①，
方程两边乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解；
②，
方程两边乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解；
综合上述：的值是5或2．
【点睛】本题考查了解分式方程和数轴，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
11．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：方程两边乘，
得

检验：当，
所以原分式方程的解为．
（2）解：方程两边乘，得

解得
检验：当， ．因此不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）解分式方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将分式方程转化为一般方程，再解一元一次方程，最后检验即可得出答案；
（2）先将分式方程转化为一般方程，再解一元一次方程，最后检验即可得出答案．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得，
解得 ，
检验：当将时，
所以是原分式方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以得
，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟知解分式方程的一般步骤是解题关键，注意解完分式方程以后一定要进行检验，只有当最简公分母不等于0时，整式方程的解才是原分式方程的解．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下面解分式方程的过程，再解答问题：
解分式方程：
解：①②③④
，把代入原分式方程检验知，是原分式方程的解．
回答问题：
(1)得到①式的具体做法是___________．得到②式的具体做法是___________．得到③式的具体做法是___________．得到④式的具体做法是___________．
(2)上述解答正确吗？答：___________；如果不正确，则从___________步开始出现错误，错误原因是___________，正确结果是：___________（如果正确，后三空不填．）
【答案】(1)移项，方程两边分别通分，方程两边同除以（﹣2x+10），分式值相等，分子相等，则分母相等
(2)不正确，③，可能为零，
【分析】（1）根据解分式方程的步骤进行回答即可；
（2）先根据方程特点，进行整理然后去分母，将分式方程转化为整式方程求解．
【详解】（1）移项，方程两边分别通分，方程两边同除以，分式值相等，分子相等，则分母相等；
故答案为：移项，方程两边分别通分，方程两边同除以，分式值相等，分子相等，则分母相等；
（2）不正确．从第③步出现错误，原因：可能为零；当时，即，解得，
经检验知也是原方程的解，故原方程的解为．
故答案为：不正确，③，可能为零，．
【点睛】本题考查解分式方程，根据方程特点选择合适的方法，并且要考虑全面，不能漏解，不能出现增根是解题关键．
考点8：分式方程的解
典例：（2022秋·山西朔州·八年级校联考期末）已知关于x的方程
(1)当时，求方程的解；
(2)当m取何值时，此方程无解；
(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)且
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将代入计算，即可求出m的值；
（3）表示出分式方程的解，由解为正数确定出m的范围即可．
【详解】（1）解：分式方程去分母得：，
整理得：，
（1）当时，，
解得：，
经检验：是原方程的解；
（2）解：∵分式方程无解，
∴，
∴，
当时，，
∴时该分式方程无解；
（3）解：解关于x的分式方程得：，
∵方程有解，且解为正数，
∴ ，
解得：且．
方法或规律点拨
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
巩固练习
1．（2023秋·河北唐山·八年级唐山市第十二中学校考期末）若关于的方程的解为整数，则整数的值的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解确定出整数的取值即可得到结论．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解为整数，
∴是，且，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
综上，符合条件的整数为，
∴所有符合条件的整数a有3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，熟练分式方程的解法是解本题的关键．
2．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组恰有4个整数解，则满足条件的所有整数值之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有7个整数解，得到的值相加即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程解为正整数，且，得到
，
，
解得：，
不等式组整理得：，
解得：，
由不等式组有解且恰有4个整数解，得到整数解为4，3，2，1，
，
，
则满足题意的值只能为，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
3．（2022秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考期末）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组至多有五个整数解，则符合条件的所有整数的取值之和为（ ）
A．1B．0C．D．3
【答案】C
【分析】分别求出分式方程与一元一次不等式组的解，再由已知得到，是2的倍数，由分式方程增根的情况可到，结合所求的解情况即可求出满足条件的．
【详解】解：化简不等式组为，
解得：，
∵不等式组至多有五个整数解，
∴，
∴，
将分式方程的两边同时乘以，得
，
解得：，
∵分式方程的解为正整数，
∴是2的倍数，
∵，
∴或或，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴符合条件的所有整数的取值之和为，
故选：C．
【点睛】本题考查解分式方程、一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．15B．12C．11D．10
【答案】C
【分析】根据分式方程的解集为非负数以及增根的定义可以得到且，再根据不等式组的解集可得到，进而确定a的取值范围，再进行计算即可．
【详解】解：关于x的分式方程整理得，，
解得，
∵是分式方程的增根，即1＝，也就是a＝3，
∴当时，分式方程有增根，
因此，
又∵数a使关于x的分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
由于关于y的不等式组的解集为，即的解集为，
∴，
综上所述，且，
所以符合条件的所有整数a的和为，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式、解不等式组，掌握解分式方程、解不等式组的步骤，根据题意列不等式组是解题关键．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）若整数a既使得关于x的分式方程有整数解，又使得关于x，y的方程组的解为正数，则____．
【答案】5
【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求出a的值，再解不等式组，根据不等式组解为正求出a的取值范围，再综合得出结论．
【详解】解：解方程得，
，
∵分式方程有整数解，且，
∴或或或1或2或4，且，
∴或1或2或4或5，
解方程组得，
，
∵方程组的解为正数，
∴，
解得，
综上，．
故答案为：5．
【点睛】本题考查解分式方程与不等式组，熟练掌握根据分式方程与不等式组解的情况求字母参数值是解题的关键．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）若关于x的方程没有增根，则k的值不能是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．
【详解】解：，
去分母，得,
移项，得．
∵关于x的方程没有增根，
∴,
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根．增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．
7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解关于的方程有增根，则的值为___________
【答案】##
【分析】根据分式方程增根的产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解．
【详解】解：根据题意，得
该分式方程的增根是，
该分式方程转化为整式方程，得，
把代入，得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0．
8．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）若分式方程有增根，则a的值为________．
【答案】
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程算出a的值即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
∵方程有增根，
∴，解得．
∴，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x的值是解答此题的关键．
9．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）若关于x的方程无解，则m的值为_____．
【答案】
【分析】先根据解方式方程的步骤，求解该方程，再根据分式方程无解的条件是分式方程分母为0，即可进行解答．
【详解】解：去分母，得：，
移项，得：，
∵原方程无解，
∴，解得：，
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程和分式方程无解的条件，解题的关键是掌握分式方程无解的条件是分母为0．
10．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）若关于的分式方程无解，则的值为 __．
【答案】10或或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得；
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
故答案为：10或或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
11．（2022·辽宁丹东·校考二模）若关于的方程有增根，则的值是______．
【答案】
【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题．
【详解】解：，
方程两边同乘，得．
移项，得．
的系数化为，得．
关于的方程有增根，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．
12．（2022春·安徽合肥·七年级校考阶段练习）已知关于的分式方程．
（1）若该方程有增根，则增根是______．
（2）若该方程的解大于，则的取值范围是______．
【答案】 ，且．
【分析】根据分式方程有增根，得到最简公分母为，即可求出的值；
首先把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到，再根据解大于且，求出的范围即可．
【详解】解：这个方程有增根，
，
．
故答案为：；
分式方程去分母得：，
去括号合并得：，即，
根据题意得：，且，
解得：，且．
故答案为：，且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，弄清题意是解本题的关键．
13．（重庆市江津区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4B．9C．11D．12
【答案】B
【分析】首先解分式方程，根据解是非负数，且不是增根，即可得a的取值范围；再解每一个一元一次不等式，根据解集为得到a的取值范围，据此即可得到a的最终范围，即可求得所有整数a的值，再求和即可．
【详解】解：分式方程两边都乘以得：，
解得，
∵分式方程的解是非负数，且，
且，
解得：且，
解不等式组得到：，
∵不等式组的解集为，
，
，
且，
∴符合条件的整数a的值为：，，0，1，2，4，5，
∴符合条件的所有整数a的和为：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．