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2023-2024学年广东省华附、深中、省实、广雅四校联考高二（下）期末模拟数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年广东省华附、深中、省实、广雅四校联考高二（下）期末模拟数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|0A. [−1,1]B. (−1,1]C. (0,1]D. [0,1]
2.若复数z满足(2+i)z=|1+2i|，则z的虚部为( )
A. − 55iB. −2 55C. −2 55iD. − 55
3.多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
4.蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足AB=CD=5，BD=AC=6，AD=BC=7，则该鞠的表面积为( )
A. 55πB. 60πC. 63πD. 68π
5.已知四边形ABCD满足AD=14BC，点M满足DM=MC，若BM=xAB+yAD，则xy=( )
A. 3B. −52C. 2D. −12
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF2|=2 2|OD|，则C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 5D. 3
7.已知数列{an}中，a1=1，若an+1=(n+1)ann+1+an，则下列结论中正确的是( )
A. 1an+1−1an≥12B. 1an+2−1an<2 (n+2)(n+1)
C. 1a2n−1an≥12D. an⋅ln(n+1)>1
8.已知实数x，y满足ex=ylnx+ylny，则满足条件的y最小正整数为( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据点集合{(xi,yi)|i=1，2，…，20}(其中x−=120i=120xi=3)求得的回归直线方程l1：y=1.5x+0.5，记此模型对应的决定系数为R12.观察残差图发现：除了数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程l2：y=1.2x+a，记此模型对应的决定系数为R22，则下列结论中正确的是( )
A. 变量x与y正相关B. 记y−=120i=120yi，则y−=5
C. R12>R22D. a=1.4
10.设F是抛物线C：y2=4x的焦点，直线l：x=ty+1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. |AB|≥4
B. OA⋅OB可能大于0
C. 若P(2,2)，则|PA|+|AF|≥3
D. 若在抛物线上存在唯一一点Q(异于A，B)，使得QA⊥QB，则t=± 3
11.如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为2 3，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB//CD，AB=6，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，点M，N分别是线段CC1，AA1上的动点，点Q为上底面圆内(含边界)任意一点，则( )
A. 若平面DMN交线段BB1于点R，则NR//DM
B. 若平面DMN过点B1，则直线MN过定点
C. △ABQ的周长为定值
D. 当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面所成角分别为α，β，则1tan2α+1tan2β的取值范围是[34,92]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2ae2x−x2有三个零点，求a的取值范围______．
13.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且A=2B，b≠c，D为BC边上的中点，且AD= 2c，则csA= ______．
14.若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集.已知集合，记An={1,2,3,…,n}(n∈N∗，n≥3)，记An的超子集的个数为an，当An的超子集个数为221个时，n= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：
(1)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；
(2)医学上通常认为，人的体温不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
16.(本小题15分)
四边形ABCD是平行四边形，∠CBA=π4，四边形ABEF是梯形，BE//AF，且AB⊥AF，AB=BE=12AF=1，BC= 2，平面ABCD⊥平面ABEF．
(1)求证：AC⊥EF；
(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
设点F为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，过点F且斜率为 5的直线与C交于A，B两点S△AOB=2 6(O为坐标原点)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点E(0,2)作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知|EP|⋅|EQ|=|ER|⋅|ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−1(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)解关于n的不等式：a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+…+an+1Cnn<3；
(3)若c1=1,bn=12an=cn+1−cn,dn=1cn−1cn+1，求证：数列{bndn}前n项和小于13．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sinx−x+ax2，a∈R．
(1)若曲线y=f(x)在x=π处的切线过原点，求a的值；
(2)当x≤5时，f(x)≥0，求a的取值范围．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.A
5.B
6.C
7.C
8.B
9.ABD
10.ACD
11.AB
12.(0,12e2)
13.−13
14.11
15.解：(1)表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，
01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20共有12种情况，
∴估计所求的概率为1220=35，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
且用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为35，
∴P(X=0)=C30(35)0(1−35)3=8125，
P(X=1)=C31(35)1(1−35)2=36125，
P(X=2)=C32(35)2(1−35)1=54125，
P(X=3)=C33(35)3(1−35)0=27125，
故X的分布列为：
E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=225125=95．
(2)设这三人中至少有1人处于“低热”状态为事件N，
表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，
由此估计从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为15，由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为
P(N)=1−(15×15×15)=124125，
结论1：P(N)=124125，接近于1，由此认定这三人中至少有人处于“低热”状态，
结论2：P(N)=124125<1，有可能这三人都不处于“低热”状态．
16.(1)证明：因为AB=1，BC= 2，∠CBA=π4，
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠CBA=1+2−2×1× 2× 22=1，
所以AC=1，则AC2+AB2=BC2，所以∠BAC=π2，即AC⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AC⊂平面ABCD，
所以AC⊥平面ABEF，
又EF⊂平面ABEF，所以AC⊥EF；
(2)由(1)易得AC，AB，AF两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，
则E(1,1,0)、F(0,2,0)、C(0,0,1)、D(−1,0,1)，
所以EC=(−1,−1,1)，EF=(−1,1,0)，ED=(−2,−1,1)，
设平面EFD的法向量为n=(x,y,z)，所以n⋅EF=−x+y=0n⋅ED=−2x−y+z=0，
令x=1，则n=(1,1,3)，设直线EC与平面EFD所成角为θ，
则sinθ=csEC,n=|EC⋅n||EC|⋅|n|=1 3× 11= 3333，
故直线EC与平面EFD所成角的正弦值为 3333．
17.解：(1)抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F(0,p2)，
直线AB的方程y= 5x+p2，
由y= 5x+p2x2=2py，得x2−2 5py−p2=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
所以x1+x2=2 5p，x1x2=−p2，
所以|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 20p2+4p2=2 6p，
所以S△AOB=12|OF||x1−x2|=12×p2×2 6p=2 6，p>0，
所以p=2，
所以抛物线C的方程为x2=4y．
(2)存在λ=1，使得k1+λk2为定值，
由题意可得直线l1的方程y=k1x+2，直线l2的方程为y=k2x+2，
联立y=k1x+2x2=4y，得x2−4k1x−8=0，
设P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
所以x3+x4=4k1，x3x4=−8，
|EP|= 1+k12|x3|，|EQ|= 1+k12|x4|，
所以|EP|⋅|EQ|=8(1+k12)，
设R(x5,y5)，S(x6,y6)，
同理可得x5+x6=4k2，x5x6=−8，
所以|ER|⋅|ES|=8(1+k22)，
由|EP|⋅|EQ|=|ER|⋅|ES|，得8(1+k12)=8(1+k22)，
即k12=k22，而k1≠k2，
所以k1+k2=0，
所以存在λ=1，使得k1+λk2为定值0．
18.解：(1)由Sn=2an−1(n∈N∗)知当n≥2，有Sn−1=2an−1−1，
将两式相减我们可以得到an=2an−2an−1，即an=2an−1，
又由于S1=2a1−1=a1，解得a1=1，
故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以通项公式an=2n−1；
(2)结合(1)知原式=1×Cn0+2×Cn1+22×Cn2+23×Cn3+⋯+2n×Cnn=(1+2)n=3n，
由于3n随着n的增大而增大，
且36=729<2023，37=2187>2023，
所以正整数n最大可取6，
即原不等式的解集为{n|n≤6,n∈N∗}.
(3)我们可以得到bn=12n，当n=1时，c1=1；当n≥2时，由累加法得：cn=c1+(c2−c1)+(c3−c2)+…+(cn−cn−1)=1+b1+b2+……+bn−1=1+12+122+…+12n−1=1−12n1−12=2−12n−1．
由于c1符合上式，故cn=2−12n−1，此时我们可以得出：bndn=12n(12−12n−1−12−12n)=1(2n+1−2)(2n+1−1)．
从第3项看起，对数列使用裂项相消法：Sn=12⋅3+16⋅7+114⋅15+…+1(2n+1−2)⋅(2n+1−1)，由前两项我们可以得到13−17，
因此有Sn=16+16−17+114−115+…+12n+1−2−12n+1−1，
我们可重新加括号得Sn=13−[(17−114)+(115−130)+…+(12n−1−12n+1−2)]−12n+1−1，
显然12n−1−12n+1−2>0,12n+1−1>0，
故sn<13得证．
当n=1，2时，有sn<13．
综上所述sn<13，
19.解：(1)f(x)=sinx−x+ax2，则f′(x)=csx−1+2ax，
则k=f′(π)=csπ−1+2aπ=−2+2aπ，
又曲线y=f(x)在x=π处的切线过原点，
则f(π)−0π−0=k，即−1+aπ=−2+2aπ，解之得a=1π，
(2)①当a=0时，f(x)=sinx−x，x≤5，f′(x)=csx−1≤0，则f(x)在(−∞,5]上单调递减，
又f(0)=sin0=0，则x≤0时，f(x)≥0；x>0时，f(x)<0，
故a=0时，不满足当x≤5时f(x)≥0，不符合题意；
②由f(π)=sinπ−π+aπ2≥0，可得a≥1π，
则f(x)=sinx−x+ax2≥sinx−x+1πx2，
令g(x)=sinx−x+1πx2，(x≤5)，
要证f(x)≥0，只需证g(x)≥0，
(一)当x∈(−∞,0]时，g(x)=sinx−x+1πx2≥sinx−x，
由①知，g(x)≥sinx−x≥0，
(二)当x∈(0,π)时，g′(x)=csx−1+2πx，
令p(x)=csx−1+2πx，x∈(0,π)，
则p′(x)=−sinx+2π，x∈(0,π)，p′(x)在(0,π2)单调递减，在(π2,π)单调递增p′(0)=2π>0，p′(π2)=2π−1<0，p′(π)=2π>0，
则∃x1∈(0,π2)，x2∈(π2,π)，使得p′(x1)=p′(x2)=0，
则当x∈(0,x1)或x∈(x2,π)时p′(x)>0，当x∈(x1,x2)时p′(x)<0，
则p(x)在(0,x1)和(x2,π)单调递增，在(x1,x2)单调递减，
又由p(0)=p(π2)=p(π)=0，
可得当x∈(0,π2)时，p(x)>0；当x∈(π2,π)时，p(x)<0，
则g(x)在(0,π2)上单调递增；在(π2,π)上单调递减，
又由g(0)=g(π)=0，可得当x∈(0,π)时，g(x)>0，
(三)当x∈[π,5]时，p(x)=csx−1+2πx≥csx−1+2≥0，
则g(x)在[π,5]上单调递增，又由g(π)=0，可得当x∈[π,5]时，g(x)≥0，
综上，当a≥1π时，g(x)=sinx−x+1πx2≥0在(−∞,5]上恒成立，
则a的取值范围是a≥1π，即a∈[1π,+∞)． 序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
智能体温计测温
36.6
36.6
36.5
36.5
36.5
36.4
36.2
36.3
36.5
36.3
水银体温计测温
36.6
36.5
36.7
36.5
36.4
36.4
36.2
36.4
36.5
36.4
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
智能体温计测温
36.3
36.7
36.2
35.4
35.2
35.6
37.2
36.8
36.6
36.7
水银体温计测温
36.2
36.7
36.2
35.4
35.3
35.6
37
36.8
36.6
36.7
X
0
1
2
4
P
8125
36125
54125
27125
1.已知集合M={x|0
2.若复数z满足(2+i)z=|1+2i|，则z的虚部为( )
A. − 55iB. −2 55C. −2 55iD. − 55
3.多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
4.蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足AB=CD=5，BD=AC=6，AD=BC=7，则该鞠的表面积为( )
A. 55πB. 60πC. 63πD. 68π
5.已知四边形ABCD满足AD=14BC，点M满足DM=MC，若BM=xAB+yAD，则xy=( )
A. 3B. −52C. 2D. −12
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF2|=2 2|OD|，则C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 5D. 3
7.已知数列{an}中，a1=1，若an+1=(n+1)ann+1+an，则下列结论中正确的是( )
A. 1an+1−1an≥12B. 1an+2−1an<2 (n+2)(n+1)
C. 1a2n−1an≥12D. an⋅ln(n+1)>1
8.已知实数x，y满足ex=ylnx+ylny，则满足条件的y最小正整数为( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据点集合{(xi,yi)|i=1，2，…，20}(其中x−=120i=120xi=3)求得的回归直线方程l1：y=1.5x+0.5，记此模型对应的决定系数为R12.观察残差图发现：除了数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程l2：y=1.2x+a，记此模型对应的决定系数为R22，则下列结论中正确的是( )
A. 变量x与y正相关B. 记y−=120i=120yi，则y−=5
C. R12>R22D. a=1.4
10.设F是抛物线C：y2=4x的焦点，直线l：x=ty+1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. |AB|≥4
B. OA⋅OB可能大于0
C. 若P(2,2)，则|PA|+|AF|≥3
D. 若在抛物线上存在唯一一点Q(异于A，B)，使得QA⊥QB，则t=± 3
11.如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为2 3，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB//CD，AB=6，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，点M，N分别是线段CC1，AA1上的动点，点Q为上底面圆内(含边界)任意一点，则( )
A. 若平面DMN交线段BB1于点R，则NR//DM
B. 若平面DMN过点B1，则直线MN过定点
C. △ABQ的周长为定值
D. 当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面所成角分别为α，β，则1tan2α+1tan2β的取值范围是[34,92]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2ae2x−x2有三个零点，求a的取值范围______．
13.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且A=2B，b≠c，D为BC边上的中点，且AD= 2c，则csA= ______．
14.若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集.已知集合，记An={1,2,3,…,n}(n∈N∗，n≥3)，记An的超子集的个数为an，当An的超子集个数为221个时，n= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：
(1)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；
(2)医学上通常认为，人的体温不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
16.(本小题15分)
四边形ABCD是平行四边形，∠CBA=π4，四边形ABEF是梯形，BE//AF，且AB⊥AF，AB=BE=12AF=1，BC= 2，平面ABCD⊥平面ABEF．
(1)求证：AC⊥EF；
(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
设点F为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，过点F且斜率为 5的直线与C交于A，B两点S△AOB=2 6(O为坐标原点)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点E(0,2)作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知|EP|⋅|EQ|=|ER|⋅|ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−1(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)解关于n的不等式：a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+…+an+1Cnn<3；
(3)若c1=1,bn=12an=cn+1−cn,dn=1cn−1cn+1，求证：数列{bndn}前n项和小于13．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sinx−x+ax2，a∈R．
(1)若曲线y=f(x)在x=π处的切线过原点，求a的值；
(2)当x≤5时，f(x)≥0，求a的取值范围．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.A
5.B
6.C
7.C
8.B
9.ABD
10.ACD
11.AB
12.(0,12e2)
13.−13
14.11
15.解：(1)表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，
01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20共有12种情况，
∴估计所求的概率为1220=35，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
且用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为35，
∴P(X=0)=C30(35)0(1−35)3=8125，
P(X=1)=C31(35)1(1−35)2=36125，
P(X=2)=C32(35)2(1−35)1=54125，
P(X=3)=C33(35)3(1−35)0=27125，
故X的分布列为：
E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=225125=95．
(2)设这三人中至少有1人处于“低热”状态为事件N，
表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，
由此估计从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为15，由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为
P(N)=1−(15×15×15)=124125，
结论1：P(N)=124125，接近于1，由此认定这三人中至少有人处于“低热”状态，
结论2：P(N)=124125<1，有可能这三人都不处于“低热”状态．
16.(1)证明：因为AB=1，BC= 2，∠CBA=π4，
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠CBA=1+2−2×1× 2× 22=1，
所以AC=1，则AC2+AB2=BC2，所以∠BAC=π2，即AC⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AC⊂平面ABCD，
所以AC⊥平面ABEF，
又EF⊂平面ABEF，所以AC⊥EF；
(2)由(1)易得AC，AB，AF两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，
则E(1,1,0)、F(0,2,0)、C(0,0,1)、D(−1,0,1)，
所以EC=(−1,−1,1)，EF=(−1,1,0)，ED=(−2,−1,1)，
设平面EFD的法向量为n=(x,y,z)，所以n⋅EF=−x+y=0n⋅ED=−2x−y+z=0，
令x=1，则n=(1,1,3)，设直线EC与平面EFD所成角为θ，
则sinθ=csEC,n=|EC⋅n||EC|⋅|n|=1 3× 11= 3333，
故直线EC与平面EFD所成角的正弦值为 3333．
17.解：(1)抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F(0,p2)，
直线AB的方程y= 5x+p2，
由y= 5x+p2x2=2py，得x2−2 5py−p2=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
所以x1+x2=2 5p，x1x2=−p2，
所以|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 20p2+4p2=2 6p，
所以S△AOB=12|OF||x1−x2|=12×p2×2 6p=2 6，p>0，
所以p=2，
所以抛物线C的方程为x2=4y．
(2)存在λ=1，使得k1+λk2为定值，
由题意可得直线l1的方程y=k1x+2，直线l2的方程为y=k2x+2，
联立y=k1x+2x2=4y，得x2−4k1x−8=0，
设P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
所以x3+x4=4k1，x3x4=−8，
|EP|= 1+k12|x3|，|EQ|= 1+k12|x4|，
所以|EP|⋅|EQ|=8(1+k12)，
设R(x5,y5)，S(x6,y6)，
同理可得x5+x6=4k2，x5x6=−8，
所以|ER|⋅|ES|=8(1+k22)，
由|EP|⋅|EQ|=|ER|⋅|ES|，得8(1+k12)=8(1+k22)，
即k12=k22，而k1≠k2，
所以k1+k2=0，
所以存在λ=1，使得k1+λk2为定值0．
18.解：(1)由Sn=2an−1(n∈N∗)知当n≥2，有Sn−1=2an−1−1，
将两式相减我们可以得到an=2an−2an−1，即an=2an−1，
又由于S1=2a1−1=a1，解得a1=1，
故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以通项公式an=2n−1；
(2)结合(1)知原式=1×Cn0+2×Cn1+22×Cn2+23×Cn3+⋯+2n×Cnn=(1+2)n=3n，
由于3n随着n的增大而增大，
且36=729<2023，37=2187>2023，
所以正整数n最大可取6，
即原不等式的解集为{n|n≤6,n∈N∗}.
(3)我们可以得到bn=12n，当n=1时，c1=1；当n≥2时，由累加法得：cn=c1+(c2−c1)+(c3−c2)+…+(cn−cn−1)=1+b1+b2+……+bn−1=1+12+122+…+12n−1=1−12n1−12=2−12n−1．
由于c1符合上式，故cn=2−12n−1，此时我们可以得出：bndn=12n(12−12n−1−12−12n)=1(2n+1−2)(2n+1−1)．
从第3项看起，对数列使用裂项相消法：Sn=12⋅3+16⋅7+114⋅15+…+1(2n+1−2)⋅(2n+1−1)，由前两项我们可以得到13−17，
因此有Sn=16+16−17+114−115+…+12n+1−2−12n+1−1，
我们可重新加括号得Sn=13−[(17−114)+(115−130)+…+(12n−1−12n+1−2)]−12n+1−1，
显然12n−1−12n+1−2>0,12n+1−1>0，
故sn<13得证．
当n=1，2时，有sn<13．
综上所述sn<13，
19.解：(1)f(x)=sinx−x+ax2，则f′(x)=csx−1+2ax，
则k=f′(π)=csπ−1+2aπ=−2+2aπ，
又曲线y=f(x)在x=π处的切线过原点，
则f(π)−0π−0=k，即−1+aπ=−2+2aπ，解之得a=1π，
(2)①当a=0时，f(x)=sinx−x，x≤5，f′(x)=csx−1≤0，则f(x)在(−∞,5]上单调递减，
又f(0)=sin0=0，则x≤0时，f(x)≥0；x>0时，f(x)<0，
故a=0时，不满足当x≤5时f(x)≥0，不符合题意；
②由f(π)=sinπ−π+aπ2≥0，可得a≥1π，
则f(x)=sinx−x+ax2≥sinx−x+1πx2，
令g(x)=sinx−x+1πx2，(x≤5)，
要证f(x)≥0，只需证g(x)≥0，
(一)当x∈(−∞,0]时，g(x)=sinx−x+1πx2≥sinx−x，
由①知，g(x)≥sinx−x≥0，
(二)当x∈(0,π)时，g′(x)=csx−1+2πx，
令p(x)=csx−1+2πx，x∈(0,π)，
则p′(x)=−sinx+2π，x∈(0,π)，p′(x)在(0,π2)单调递减，在(π2,π)单调递增p′(0)=2π>0，p′(π2)=2π−1<0，p′(π)=2π>0，
则∃x1∈(0,π2)，x2∈(π2,π)，使得p′(x1)=p′(x2)=0，
则当x∈(0,x1)或x∈(x2,π)时p′(x)>0，当x∈(x1,x2)时p′(x)<0，
则p(x)在(0,x1)和(x2,π)单调递增，在(x1,x2)单调递减，
又由p(0)=p(π2)=p(π)=0，
可得当x∈(0,π2)时，p(x)>0；当x∈(π2,π)时，p(x)<0，
则g(x)在(0,π2)上单调递增；在(π2,π)上单调递减，
又由g(0)=g(π)=0，可得当x∈(0,π)时，g(x)>0，
(三)当x∈[π,5]时，p(x)=csx−1+2πx≥csx−1+2≥0，
则g(x)在[π,5]上单调递增，又由g(π)=0，可得当x∈[π,5]时，g(x)≥0，
综上，当a≥1π时，g(x)=sinx−x+1πx2≥0在(−∞,5]上恒成立，
则a的取值范围是a≥1π，即a∈[1π,+∞)． 序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
智能体温计测温
36.6
36.6
36.5
36.5
36.5
36.4
36.2
36.3
36.5
36.3
水银体温计测温
36.6
36.5
36.7
36.5
36.4
36.4
36.2
36.4
36.5
36.4
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
智能体温计测温
36.3
36.7
36.2
35.4
35.2
35.6
37.2
36.8
36.6
36.7
水银体温计测温
36.2
36.7
36.2
35.4
35.3
35.6
37
36.8
36.6
36.7
X
0
1
2
4
P
8125
36125
54125
27125
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