2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校（广雅、华附、省实、深中）联考高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校（广雅、华附、省实、深中）联考高二（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校（广雅、华附、省实、深中）联考高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．分钟
1．（5分）已知集合，1，2，3，，，则　　
A．，3， B．， C．， D．，
2．（5分）已知，则“”是“为纯虚数”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．（5分）多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项，，，中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为　　
A． B． C． D．
4．（5分）若的展开式中的系数为20，则　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知四边形满足，点满足，若，则　　
A．3 B． C．2 D．
6．（5分）已知为第四象限角，且，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点、、、，满足，，，则该鞠的表面积为　　

A． B． C． D．
8．（5分）已知函数，且，，，则，，的大小为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.
9．（5分）函数，，的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是　　

A．的最小正周期为
B．的最大值为2
C．在区间上单调递增
D．为偶函数
10．（5分）已知由样本数据点集合，，2，，（其中求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为．观察残差图发现：除了数据点和明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为，则下列结论中正确的是　　
A．变量与正相关 B．记，则
C． D．
11．（5分）设是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是　　
A．
B．可能大于0
C．若，则
D．若在抛物线上存在唯一一点（异于，，使得，则
12．（5分）已知函数，下列关于的说法中正确的是　　
A．当且仅当时，有唯一的零点
B．最多有两个极值点
C．若，则仅有一个极值点
D．若无极值点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，是两个不同的平面，，是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）；（2） （3） （4）．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　　（答案不唯一，写出一个即可）．
14．（5分）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为
　　．
15．（5分）已知公差不为0的等差数列满足，则　　．
16．（5分）在三棱锥中，侧面，侧面，侧面与底面所成的角均为，若，，且是锐角三角形，则三棱锥体积的取值范围为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知数列的前项和为，，且满足_____．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和为．
18．（12分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
智能体温计测温
36.6
36.6
36.5
36.5
36.5
36.4
36.2
36.3
36.5
36.3
水银体温计测温
36.6
36.5
36.7
36.5
36.4
36.4
36.2
36.4
36.5
36.4
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
智能体温计测温
36.3
36.7
36.2
35.4
35.2
35.6
37.2
36.8
36.6
36.7
水银体温计测温
36.2
36.7
36.2
35.4
35.3
35.6
37
36.8
36.6
36.7
（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求的分布列与数学期望值；
（2）医学上通常认为，人的体温不低于且不高于时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
19．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且若为的中点，，记．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．

20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，点在线段上，且平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．

21．（12分）（1）（ⅰ）证明：，；
（ⅱ）证明：时，；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的值．
22．（12分）已知双曲线的左、右顶点分别是、，且经过点，双曲线的右焦点到渐近线的距离是．不与坐标轴平行的直线与双曲线交于、两点（异于、，关于原点的对称点为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在双曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求出该定值．

2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校（广雅、华附、省实、深中）联考高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．分钟
1．（5分）已知集合，1，2，3，，，则　　
A．，3， B．， C．， D．，
【解答】解：，1，2，3，，，
，．
故选：．
2．（5分）已知，则“”是“为纯虚数”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】解：①对于复数，若，不一定为纯虚数，可以为0，充分性不成立，
②若为纯虚数，设，，，，必要性成立，
是为纯虚数的必要非充分条件．
故选：．
3．（5分）多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项，，，中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：四个选项，，，中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．
某题的正确答案是，某考生随机选了两项，
基本事件总数，
其中其能得分包含的基本事件个数，
其能得分的概率为．
故选：．
4．（5分）若的展开式中的系数为20，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由于的展开式中的系数为，则，
故选：．
5．（5分）已知四边形满足，点满足，若，则　　
A．3 B． C．2 D．
【解答】解：四边形满足，点满足，
，故点为线段的中点，
．
又，，，
故，
故选：．
6．（5分）已知为第四象限角，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：为第四象限角，且，
，
．
故选：．
7．（5分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点、、、，满足，，，则该鞠的表面积为　　

A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，所以可以把，，，四点放到长方体的四个顶点上，
则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．
设该长方体的长、宽、高分别为，，，
“鞠”的半径为，则．
因为，，，
所以，所以．
故选：．
8．（5分）已知函数，且，，，则，，的大小为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，定义域是，
而，
故是偶函数，图像关于轴对称，
时，，
令，，
则，
在，递增，而，
故在，恒成立，
故在，恒成立，
故在，递增，在递减，
而，
故，
故，
故选：．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.
9．（5分）函数，，的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是　　

A．的最小正周期为
B．的最大值为2
C．在区间上单调递增
D．为偶函数
【解答】解：由图象可知，函数的周期为，故选项错误；
所以，
由“五点法”可得，，解得，
又，所以，
所以，
又的图象经过点，则有，解得，
所以，
所以的最大值为2，故选项正确；
令，解得，
故函数的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，故选项错误；
因为，
所以为偶函数，故选项正确．
故选：．
10．（5分）已知由样本数据点集合，，2，，（其中求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为．观察残差图发现：除了数据点和明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为，则下列结论中正确的是　　
A．变量与正相关 B．记，则
C． D．
【解答】解：由回归直线方程，且可得变量与正相关，故正确；
，且样本点的中心在回归直线上，，故正确；
当剔除两个数据点后其余各点均密集均匀分布，说明用回归直线方程拟合效果更好，
则残差平方和变小，相关指数变大，有，故错误；
剔除两个数据点后的样本点的中心坐标没变，，故正确．
故选：．
11．（5分）设是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是　　
A．
B．可能大于0
C．若，则
D．若在抛物线上存在唯一一点（异于，，使得，则
【解答】解：选项，，所以直线过焦点，所以，选项说法正确．
设，，，，联立，得，所以，，
所以，
选项，，选项说法错误．
选项，抛物线的准线方程为，则点到准线的距离为，从而，选项说法正确．
选项，设，由，有，即，
代入韦达定理，整理得，
因为点唯一，且异于、两点，所以关于的方程有两个相同的实数根．
由△，解得，故选项说法正确．
故选：．
12．（5分）已知函数，下列关于的说法中正确的是　　
A．当且仅当时，有唯一的零点
B．最多有两个极值点
C．若，则仅有一个极值点
D．若无极值点，则
【解答】解：，
对于，当时，，令，得，
所以当时，有唯一零点，
若有唯一零点，则或的根为1，所以或，
令，，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（e），所以，
所以若有唯一零点，则或，故错误；
对于，，，
令，可得且，
，令，可得，，
所以在递增，在，递减，在，递减，在，递增，
又（1），，所以最多有2个解，即最多有两个极值点，故正确；
对于，当时，只有一个解，即仅有一个极值点，故正确；
对于，当时，有2个解，此时有2个极值点，故错误．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，是两个不同的平面，，是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）；（2） （3） （4）．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　，，或，，　（答案不唯一，写出一个即可）．
【解答】解：，，，由面面垂直的性质定理得正确；
，，，由面面垂直的判定定理得正确；
，，，这里与相交、平行或，故不正确；
，，，这里与相交、平行或，故不正确．
故答案为：，，或，，．
14．（5分）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为
　5　．
【解答】解：直线始终平分圆的周长，
圆的圆心在直线上，可得，又，，，
则
，当且仅当时等号成立．
的最小值为5．
故答案为：5．
15．（5分）已知公差不为0的等差数列满足，则　0　．
【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为，
又由，则有，
变形可得，
即，
因为，则，
由等差数列的性质得，即，
所以；
故答案为：0．
16．（5分）在三棱锥中，侧面，侧面，侧面与底面所成的角均为，若，，且是锐角三角形，则三棱锥体积的取值范围为 　，　．
【解答】解：作平面于，则，
作于，于，于，连接，，，
，、平面，
平面，，
为二面角的平面角，
同理可得，，分别为二面角和二面角的平面角，
，
，
为的内心，

连接，，，设，则，
，，
，
，
点在以，为焦点的椭圆上，
以所在直线为轴，以的中垂线所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，
椭圆中的，，，
椭圆的标准方程为，

设，要使，均为锐角，则，，
，
，，，即，解得，
点在椭圆上，，
，，
，，即，，
，．
故答案为：，．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知数列的前项和为，，且满足_____．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和为．
【解答】解：若选择条件①：
由，得，两式相减得，
又当时，有，，得，满足，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；
若选择条件②：
由，得，
所以；
若选择条件③：
由，得，两式相减得，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
（2）根据题意，；则，
两式相减得，所以．
18．（12分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
智能体温计测温
36.6
36.6
36.5
36.5
36.5
36.4
36.2
36.3
36.5
36.3
水银体温计测温
36.6
36.5
36.7
36.5
36.4
36.4
36.2
36.4
36.5
36.4
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
智能体温计测温
36.3
36.7
36.2
35.4
35.2
35.6
37.2
36.8
36.6
36.7
水银体温计测温
36.2
36.7
36.2
35.4
35.3
35.6
37
36.8
36.6
36.7
（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求的分布列与数学期望值；
（2）医学上通常认为，人的体温不低于且不高于时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
【解答】解：（1）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，
01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20共有12种情况，
估计所求的概率为，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为，
，，
，，
故的分布列为：

0
1
2
4





．
（2）设这三人中至少有1人处于“低热”状态为事件，表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由此估计从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为，由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为
，
结论，接近于1，由此认定这三人中至少有人处于“低热”状态，
结论，有可能这三人都不处于“低热”状态．
19．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且若为的中点，，记．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．

【解答】解：（1），而，
．，．
在中，，即，故．
（2）中，由可知，
由正弦定理及，可得，
所以，
，
由，可知，，
．
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，点在线段上，且平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：平面，，
，，平面，
平面，，
，为中点，
，，
平面．
（2）过点作交于点，连接，易证平面，
平面，，平面平面，
平面平面，平面平面，
，，
如下图，以为原点分别以，，平行于向上为轴，轴，轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，0，，
，可得，
，，
设，，，为平面的一个法向量，
则，可得，
设二面角的大小为，则，
，则二面角的正弦值为．
21．（12分）（1）（ⅰ）证明：，；
（ⅱ）证明：时，；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的值．
【解答】解：（1）令，则，
令可得，令可得，
在单调递减，在单调递增，
，即；
令，，
则，
由可知，故，
所以在上单调递减，故，
即当时，；
（2）令，
当时，，由（1）知，则恒成立，符合题意；
当时，由（1）可知，与题意不符；
当时，，，
在单调递减，
，
，使得，且时，，
故在单调递增，此时（1），与题意不符．
综上，．
22．（12分）已知双曲线的左、右顶点分别是、，且经过点，双曲线的右焦点到渐近线的距离是．不与坐标轴平行的直线与双曲线交于、两点（异于、，关于原点的对称点为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在双曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求出该定值．
【解答】解：（1）设双曲线的右焦点，一条渐近线为，
联立，
解得，，
所以双曲线的标准方程为．
（2）证明：设，，，，，，，，
设直线的方程为，
联立，
得，，
因为△，所以，
所以，
所以，，
，，
所以，
由题知，，
由，，三点共线可得，即，
由，，三点共线可得，即，
相交可得，
所以，
所以直线的方程为，
联立，解得，
所以点在定直线上，
则使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与双曲线的交点，
此时，且．
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